【单元举一反三八04】一次函数（专项训练）数学北师大版八年级上册（2024）

第四章 一次函数（举一反三+测评把控） 1.理解一次函数的概念，并解释 和 的几何意义。 2.掌握函数的表示方法，学生熟悉一次函数的三种表示形式（解析式、图象和列表），并能相互转换。 3.认识函数图象性质，学生理解一次函数图象（直线）的特征，如斜率的正负对图象倾斜方向的影响，以及截距的作用。 4.学生能将一次函数应用于实际情境（如匀速运动、成本计算等），建立数学模型并解决。 5.通过函数解析式与图象的对应关系，学生发展数形结合的思维能力，逻辑推理和误差分析。 一、定义 1.一次函数概念：形如y=kx+b（k≠0）的函数称为一次函数。 2.特殊形式：当b=0时，y=kx称为正比例函数。 3.自变量范围：通常为全体实数，实际应用需考虑具体情境限制。 二、图象特征 1.基本形状：一条直线。 2.绘制方法： o列表、描点法：列出表格求出直线过的点的坐标，在平面直角坐标系中标点，连线即可。 o两点法：取(0,b)和(-b/k,0)两个特殊点。 3.图象位置：当k>0时直线经过一、三象限；当k<0时直线经过二、四象限；b值决定直线与y轴交点位置 三、基本性质 1.单调性： a.当k>0时，函数单调递增 b.当k<0时，函数单调递减 2.特殊点： a.与y轴交点：(0,b) b.与x轴交点：(-b/k,0) 3.变化率： a.|k|越大，直线越陡峭 b.|k|越小，直线越平缓 四、实际应用 1.行程问题：匀速运动中路程与时间的关系 2.经济问题：固定成本与可变成本组成的费用函数 3.工程问题：工作效率与工作时间的关系 4.物理应用：匀速直线运动的位移-时间图象 五、易错点提示 1. 注意k≠0的条件限制 2. 实际问题中需注意自变量取值范围 3. 图象平移时k值保持不变，求交点坐标时注意联立方程求解 六、备考策略 1.知识梳理计划：掌握函数定义、图像绘制、解析式求解。教材中的例题是基础。 2.有效学习方法：通过绘制图象直观理解 k 和 b 的作用。 3.练习强化：多练斜率计算和函数图像；关注教材中的典型问题，如“买票费用与数量关系”（培养实际建模能力）；记录常见错误类型（如计算失误或概念混淆），每周复习一次。 题型一 函数的概念及表示方法 【例1】下列关系式中变量y不是变量x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B、D符合函数中一个确定的自变量的值只对应唯一一个函数值，而C选项当取正数时，对应的y值有正负两个；不符合函数的概念． 故选：C． 【变式1-1】下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．它符合函数的定义，则A符合题意； B．对于x在某一范围内的任意一个值，y不是有唯一确定的值与它对应，则B不符合题意； C．对于x在某一范围内的任意一个值，y不是有唯一确定的值与它对应，则C不符合题意； D．对于x在某一范围内的任意一个值，y不是有唯一确定的值与它对应，则D不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意；故选：D． 【变式1-3】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氯肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/t 15．18 21．36 25．72 32．29 34．03 39．45 43．15 43．46 40．83 39．45 根据表格可知，下列说法正确的是（     ） A．氮肥施用量越大，土豆产量越高 B．氮肥施用量是110kg时，土豆产量为34t C．氯肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【答案】C 【分析】从表格中的变量之间的变化关系以及对应值逐项进行判断即可． 【详解】解：A．随着氮肥施用量的增大，土豆产量先是逐渐的增加，然后又逐渐减少，因此选项A不符合题意； B．由于表格中缺少数据，无法判定氮肥施用量是110kg时的土豆产量，因此选项B不符合题意； C．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，是正确的，因此选项C符合题意； D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量为202kg或471kg，因此选项D不符合题意； 故选：C．题型二 正比例函数的定义 【例2】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，是正比例函数，故本选项符合题意； D、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴， 故选：． 【变式2-2】若是x的正比例函数，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和一次函数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义和一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：是的正比例函数， 设， 是一次函数， 故选：B． 【变式2-3】若是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：是正比例函数， 得， 解得， 故， 故 故答案为：．题型三 正比例函数的图象与性质 【例3】已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【详解】解： 选项A：正比例函数的图象是一条过原点的直线，而非双曲线（双曲线是反比例函数的图象），因此A错误； 选项B：将代入函数，得，即图象经过点，而非，故B错误； 选项C：系数，正比例函数中当时，图象经过第一、三象限，因此C正确； 选项D：由于，函数中随的增大而增大，而非减小，因此D错误； 故选：C 【变式3-1】函数的图象一定经过下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，当时，，所以A不符合题意； 当时，，所以B不符合题意； 当时，，所以C不符合题意； 当时，，所以D符合题意； 故选D． 【变式3-2】若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵、、三点都在函数的图象上，且， ∴． 故选：D 【变式3-3】如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接： ． 【答案】 【详解】解：对于和，它们的图象经过一、三象限，所以，，又因为的图象比的图象更靠近轴，所以． 对于，它的图象经过二、四象限，所以． 综上，． 故答案为： ．题型四 一次函数的定义 【例4】下列函数关系式中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、该选项不是y关于x的一次函数，不符合题意； B、该选项是y关于x的一次函数，符合题意； C、该选项不是y关于x的一次函数，是反比例函数，不符合题意； D、该选项不是y关于x的一次函数，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】关于的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式4-2】下面的三个问题中都有两个变量： ①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积； ②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间； ③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）． 其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】B 【详解】解：情境①：压强与受力面积的关系为（为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数的形式，故①不符合； 情境②：温度与时间的关系为（每分钟下降），此式为，符合一次函数的形式（），故②符合； 情境③：弹簧长度与拉力的关系为（为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合； 综上，符合一次函数的是②③， 故选：B． 【变式4-3】已知函数． (1)若它是一次函数，求的值． (2)是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 【详解】（1）解：因为是一次函数， 所以， 解得， 所以． （2）不存在． 理由：当是正比例函数时，， 解得， 所以这样的不存在．题型五 一次函数的求值 【例5】当时，函数的值是（　　）． A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】,, 故选：C． 【变式5-1】已知点在一次函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】已知一次函数，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的函数值，解决本题的关键是理解自变量和因变量之间的关系，确定函数值．将代入函数表达式即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【变式5-3】根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值2，则输出的y值为 ． 【答案】0 【详解】解：∵x＝2， ∴满足1＜x≤2， ∴把x＝2代入y＝﹣x+2中， 得y＝﹣2+2＝0． 故答案为：0． 题型六 一次函数的图象与性质 【例6】一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】A 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴， ， ∴一次函数图像过一、二、三象限， ∴函数图像不经过第四象限． 故选：A． 【变式6-1】已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 【变式6-2】直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 【变式6-3】已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下： ∵一次函数不经过第四象限， ∴且， ∴解得． ∵m为整数， ∴或． 题型七 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例7】下列直线中，与轴的交点在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：所求直线与轴的交点在直线上，直线与轴交点的横坐标为0，代入得，所以该交点坐标为，选项中，直线与轴交点为的只有 故选：B 【变式7-1】若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，，，， 即选项中的函数图象都经过点， A.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； B. 当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离不相等，符合题意； C. 当时，， 当时，，解得， ∴过原点，与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，不符合题意； D.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）一次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， 解得：； （2）在一次函数中， ， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 代入得， ， 解得：． 故答案为：①；②． 【变式7-3】平面直角坐标系内，一次函数经过点和． (1)求m，n的值； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，，则， ∴． （2）解：当时，， 解得：， ∴该直线与x轴的交点坐标为． 题型八 一次函数图象的平移问题 【例8】将直线先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后，所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据一次函数图像平移规律：向左平移个单位，自变量需加；向下平移个单位，函数值需减． 原直线表达式为，向左平移个单位后，表达式变为, 再向下平移个单位后，表达式变为, 化简可得：, 故选：C． 【变式8-1】将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线沿轴向左平移个单位， 平移后的直线解析式为， 整理得：， 当时，可得：， 平移后的直线与轴的交点坐标是． 故选：A． 【变式8-2】将直线向上平移3个单位后，平移后的直线经过点，则 ． 【答案】1 【详解】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， 把点代入，得， 解得， 故答案为：1． 【变式8-3】已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数（k为常数，且）的图象经过点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式为； （2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为． 题型九 比较一次函数值的大小 【例9】若点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】解：， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 【变式9-1】已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，， ∴， 故选：B． 【变式9-2】若点在一次函数的图像上，且，则的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【详解】解：由题意可知一次函数解析式为,， 随的增大而增大， 当，， 点在一次函数上， 也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知． 故答案为：． 【变式9-3】关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是 ． 【答案】①④ 【详解】解：①当时，，当时，， 而一次函数，y随x的增大而减小，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而增大， ∴当时，，因此②不正确； ③解方程组，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 当时，，，此时交点在第一象限，所以③不正确； ④若点点在函数的图象上，点在函数的图象上， 则， ， ∴，， 当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故答案为：①④ 题型十 利用增减性求参数的取值范围 【例10】一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：C． 【变式10-1】已知点A（1，）和点B（2，）在一次函数的图象上，且，则的值可能是（   ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可知，当1<2时，，可得y随x的增大而增大，可知k>0进而求解． 【详解】解：∵当1<2时，， ∴一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴k>0， ∴k的值可以是2． 故选：A． 【变式10-2】一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式10-3】已知一次函数，当时，，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，一次函数随增大而增大， ∴当时，且当时，， 把代入，解得， 把代入，解得， ∴此时的值都不符合题意， 当时，一次函数随增大而减小， ∴且， 把代入，解得， 把代入，解得， ∴符合题意， 故答案为：． 题型十一 图象法解一元一次方程 【例11】数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 【变式11-1】如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 【变式11-2】如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 【变式11-3】已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 题型十二 行程问题 【例12】周末，小辰从家出发，步行前往距家的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小辰从超市出来后的速度变为原来的倍，到达集合地，小辰与家的距离与所用时间的关系如图，那么小辰在超市购物用了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：小辰从家出发，到达集合地，则总用时， 由图象可知，小辰去超市前的速度为， 小辰出超市后到社区所用的时间为， ∴小海在超市购物用的时间为． 故选：C． 【变式12-1】甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【答案】B 【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 【变式12-2】如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次 m赛跑； （2）先到终点的是 ； （3）王平在赛跑中速度是 ． 【答案】 500 李明 5 【详解】解：（1）根据两人所跑的路程都是，则这是一次的赛跑． 故答案为：500； （2）根据图象可得，李明到达终点用了，王平到达终点用了，则先到终点的是李明． 故答案为：李明； （3）王平的速度是：． 故答案为：5． 【变式12-3】小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他离家距离与骑车所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是___________，函数是___________； (2)小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了___________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)骑车所用时间，离家的距离 (2)1500，4 (3)分钟时速度最快，速度在安全限度内 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是骑车所用时间，因变量是离家的路程． 故答案为：骑车所用时间，离家的距离； （2）轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是1500米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：1500，4； （3）由图象可知分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 在整个上学的途中分钟时速度最快且小于300米/分，在安全限度内． 题型十三 营销问题 【例13】如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 【答案】B 【详解】解：根据图象分析可得：两条直线交点为，也就是销售收入与销售成本相等， 所以公司盈利需要大于4万件． 故选B． 【变式13-1】某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克． 【答案】30 【详解】根据题意可设AB段的解析式为：，且经过点A(0，240)，B(60，480)， ∴ ， 解得：， ∴AB段的解析式为：； 设OC段的解析式为：，且经过点C(60，720)， ∴， 解得：， ∴OC段的解析式为：． 当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即， ∴， 解得：． 所以这天的产量是30千克． 故答案为：30． 【变式13-2】王过酥梨，山西省运城市盐湖区特产，全国农产品地理标志．酥梨果皮光滑，皮质较厚，果肉白色，多汁、味甜、可口，营养丰富．某梨农今年共投入15000元，风调雨顺，酥梨喜获丰收．他了解到酥梨的市场销售信息为：秋季新鲜的酥梨直接销售每千克6元，若将酥梨储存到第二年春天再销售，售价为每千克8元，但重量会减少20%，还需要付冷藏费5000元． （1）设该梨农今年收获新鲜酥梨千克，直接销售的利润为元，储存到第二年春天再销售的利润为元．请写出，与之间的关系式． （2）帮该梨农计算一下，如何销售可以获得较多利润？ 【答案】（1），；（2）当时，选择第二种方式出售；当时，两种方式都可以；当时，选择第一种方式出售. 【分析】（1）第一年的售价乘以重量减去成本即可得出第一年的利润；第二年的售价乘以重量的80%减去成本以及冷藏费即可得出第二年的利润； （2）令求出临界点，再分三种情况进行讨论即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意可得：， ； （2）令，解得：， ∴当时，选择第二种方式出售； 当时，两种方式都可以； 当时，选择第一种方式出售． 【变式13-3】某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于，且不高于．该店通过分析销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系． 售价x（元/瓶） … 24 25 26 27 … 销售量y（瓶） … 32 30 28 26 … （1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量． （2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？ （3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）28元或32元；（3）24，768． 【详解】解：（1）设消毒液售价为元/瓶，进价为元/瓶，当利润不低于时，售价不低于 （元/瓶）， 当利润不超过时，售价不高于， （元/瓶）， 的取值范围为： 设一次函数表达式： 分别把和代入可得， 解得 当时， 当天该消毒液的销售量瓶． （2）设利润为元，根据题意得， 整理得 或 答：当天该消毒液的售价为28元或32元． （3）总利润 时，函数值最大，此时 （元） 答：当消毒液的售价定为24元时，可获得的日利润最大，最大日利润是768元． 题型十四 方案问题 【例14】某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为元 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式14-1】周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 【变式14-2】游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下： 方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费； 方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费． 设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示． (1)求直线的解析式； (2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义； (3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案． 【答案】(1) (2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元 (3)见解析 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由图可知的图象经过． 解得 ． （2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元． 办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费， 每次游泳的原价为（元） 设直线的解析式为， ． 点为直线的交点， 此时， 即． 解得． 此时． 点的坐标为． 点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以； 当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠； 当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠． 【变式14-3】应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 【答案】(1)15；30 (2)25元， (3)方案一，见解析 【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可； （2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值； （3）写出两个函数关系式，分别代入计算，并比较大小即可求解． 【详解】（1）将和带入， ， 解得：，故答案为：15，30. （2）由题意，得打折前的每次健身费用为（元），则． （3）选择方案一所需费用较少．理由如下： 由题意可知，． 当健身8次时，选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． 因为，所以选择方案一所需费用较少． 题型十五 一次函数中的规律问题 【例15】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，先求出，得出，，，从而得出…，由，…得出的坐标为，当时可得结论． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴…， 又，…， ∴的坐标为， 当时，顶点的横坐标为 故答案为：． 【变式15-1】正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出，的坐标，从而找到规律，从而得到，再根据提示即可求得答案． 【详解】解：∵点和点分别在直线和轴上， ∴，， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ， ∴ ． 故选：A． 【变式15-2】如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ，解得， ，即点的横坐标为， 同理，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在直线上， 点的横坐标为． 故选：D． 【变式15-3】如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点 ，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴将代入得：， ∴， ∴ ∴将代入得：， ∴， ∴, ∴将代入得：， ， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 1．已知点，都在直线上，则m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：在直线中，， 随着x的增大而增大， ， ， 故选：C． 2．若点在一次函数的图象上，则关于的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：， 随的增大而减小， 又，且，是一次函数图象上的两个点， ． 故选：A． 3．已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线与直线 在第二象限交于点， 直线过二、三、四象限， ， 直线与轴的交点为， 把点为代入得，， 直线与直线在第二象限交于点，则． 故选：A． 4．已知点都在直线上，则的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 5．常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 【答案】B 【详解】解：A、随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大，说法正确，不符合题意； B、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力逐渐增大，原说法错误，符合题意； C、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大，说法正确，不符合题意； D、随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为，说法正确，不符合题意； 故选：B． 6．位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（   ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．小陆家距离基地350千米 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【答案】B 【详解】解：由题意可知，小陆家距离研学基地225千米，选项B的判定错误，选项B符合题意； 汽车经过80分钟后到达服务区，选项C的判断正确，选项C不合题意； 他们在服务区休息了（分钟），选项A的判断正确，选项A不合题意； 在服务区休息前的行驶速度：， 休息后的行驶速度：， 则在服务区休息前的行驶速度比休息后快，选项D的判定正确，选项D不合题意； 故选：B． 7．如图，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．有下列说法：①点A的坐标为；②长方形的面积为8；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：令直线， 解得：， 点的坐标为， 由函数图象可知：当时，直线经过点， ∴， 点的坐标为，①错误； 由函数图象可知：当时，直线经过点， ∴， 点的坐标为， ， 矩形的面积，②正确； 如图1所示；当直线经过点时，直线交于点． 点的坐标为，， 点的坐标为 设此时直线的解析式为， 将点代入得:， ， 此时直线的解析式为， 当时， 解得， 点的坐标为， ∴， ， ∴，③正确； 如图2所示，当直线经过点时，直线交轴于点． 点的坐标为，， 点的坐标为， 设此时的解析式为， 将代入得：， 解得， 此时直线的解析式为， 当时， 解得， 点的坐标为， ∴平移距离为， ，④正确； 故选：B 8．设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，   ∴， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小. ∵, ∴. 故答案为：. 9．有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表，那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为 ． 重量 1 1.5 2 2.5 3 3.5 长度 4.5 5 5.5 6 6.5 7 【答案】13.5 【详解】解：由表格可知，弹簧的长度与物体重量的关系是一次函数关系， 则设， 根据表格中提供的数据知：得当时，；当时，， ，解得：， ， 弹簧秤最多能称， 当时，， 即在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为， 故答案为： 10．某公司行李托运的费用（单位：元）与质量（单位：）的关系为一次函数．由如图所示的图象可知，的值为 ． 【答案】 【详解】解：把代入得： ， 解得， ； 把代入得 ， 解得， 故答案为： ． 11．图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．小浩和小辰通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，且与成一次函数关系，下表给出了其中的部分数据： （cm） … 13 … （cm） … … (1)求与之间的关系式； (2)当凳面一端两个榫眼的内侧距离为时，求该板凳的凳面宽度． 【答案】(1)； (2)该板凳的凳面宽度为． 【详解】（1）解：设x与y之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与y之间的函数关系式为； （2）解：将代入， 得， 解得， 答：该板凳的凳面宽度为． 12．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 【答案】(1)，不是一次函数，不是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 (3)，是一次函数，也是正比例函数 【详解】（1）解：由，可得，不是一次函数，不是正比例函数； （2）由，可得，是一次函数，不是正比例函数； （3），是一次函数，也是正比例函数． 13．如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当线段在平行线上向右匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长为，则请用含x的式子表示长方形的面积 (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积会怎么变化？ 【答案】(1)的长度；的长度 (2)(3)当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到 【详解】（1）解：在这个变化过程中，常量是的长度，变量是的长度， 故答案为：的长度；的长度； （2）解：由题意得：； （3）解：当时，； 当时，； 当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 14．2021年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改 进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． （1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； （2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元；（2）第15天的利润最大，最大利润为12500元． 【详解】解：（1）由图象可知，第30天时的成本为500元， 此时的产量为（台）， 则第30天的利润为：（元）， 答：第30天该乡镇企业生产该产品的利润为6000元． （2）设线段的式为， 把，代入得， ，解得， 线段的解析式为， ，其中为整数， 设第天该网络销售平台的利润为元， ①当时， ， ，开口向下，对称轴为直线， 当时，， ②当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：第15天的利润最大，最大利润为12500元． 15．小宏对某种植物光合作用强度与光照强度关系进行实验，测得以下数据（以单位叶面积计算）：当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时；当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时．生物老师告诉小宏，在内，该种植物光合作用强度y与光照强度x满足一次函数关系．请你根据小宏的实验数据，解决以下问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若光合作用强度为17毫克小时，且此时光照强度满足，求此时的光照强度是多少千勒克斯？ 【答案】(1) (2)此时的光照强度是5千勒克斯 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由题意得，， ∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， 答：此时的光照强度是5千勒克斯． 16．小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 【答案】(1)40，70 (2)8 【详解】（1）解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用， ∴， ∵小亮比姐姐早到家， ∴， 故答案为：40，70； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为， 根据题意得：， 解得， ∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为． 17．如图，已知直线l1的解析式为，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1、l2相交于点C． (1)求直线l2的解析式； (2)求△ADC的面积； (3)在y轴上是否存在点P使得△PAD的面积与△ADC的面积相等，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)直线l2的解析式为 (2) (3)P（0，3）或P（0，－3） 【详解】（1）解：设直线l2的解析式为y＝kx＋b， 把A（4，0），B（3，）代入得， 解得， 所以直线l2的解析式为； （2）解：联立方程得， 则C点坐标为（2，－3），   直线l1与x轴相交于点D． 令y＝0时，－3x＋3＝0，解得x＝1，则D（1，0） （3）解： 要使 则，即OP＝3 P（0，3）或P（0，－3） 18．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 【答案】(1) (2)这个家庭本月的实际用电量为210度 (3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元 【详解】（1）解：当时，则 ， 答：当时，与之间的函数关系式为； （2）解：∵度电费为：， 度电费为：， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令，则， 解的， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． （3）解：当时，则； ， 把代入得元； 当时，则， 当时，则元． 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数（举一反三+测评把控） 1.理解一次函数的概念，并解释 和 的几何意义。 2.掌握函数的表示方法，学生熟悉一次函数的三种表示形式（解析式、图象和列表），并能相互转换。 3.认识函数图象性质，学生理解一次函数图象（直线）的特征，如斜率的正负对图象倾斜方向的影响，以及截距的作用。 4.学生能将一次函数应用于实际情境（如匀速运动、成本计算等），建立数学模型并解决。 5.通过函数解析式与图象的对应关系，学生发展数形结合的思维能力，逻辑推理和误差分析。 一、定义 1.一次函数概念：形如 的函数称为一次函数。 2.特殊形式：当b=0时，y=kx称为 3.自变量范围：通常为全体实数，实际应用需考虑具体情境限制。 二、图象特征 1.基本形状： 2.绘制方法： o列表、描点法：列出表格求出直线过的点的坐标，在平面直角坐标系中标点，连线即可。 o两点法：取 和 两个特殊点。 3.图象位置：当k>0时直线经过 象限；当k<0时直线经过 象限；b值决定直线与 交点位置 三、基本性质 1.单调性： a.当 时，函数单调递增 b.当k<0时，函数 2.特殊点： a.与y轴交点：(0,b) b.与x轴交点：(-b/k,0) 3.变化率： a.|k|越大，直线 b.|k|越小，直线 四、实际应用 1.行程问题：匀速运动中路程与时间的关系 2.经济问题：固定成本与可变成本组成的费用函数 3.工程问题：工作效率与工作时间的关系 4.物理应用：匀速直线运动的位移-时间图象 五、易错点提示 1. 注意k≠0的条件限制 2. 实际问题中需注意自变量取值范围 3. 图象平移时k值保持不变，求交点坐标时注意联立方程求解 六、备考策略 1.知识梳理计划：掌握函数定义、图像绘制、解析式求解。教材中的例题是基础。 2.有效学习方法：通过绘制图象直观理解 k 和 b 的作用。 3.练习强化：多练斜率计算和函数图像；关注教材中的典型问题，如“买票费用与数量关系”（培养实际建模能力）；记录常见错误类型（如计算失误或概念混淆），每周复习一次。 题型一 函数的概念及表示方法 【例1】下列关系式中变量y不是变量x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氯肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/t 15．18 21．36 25．72 32．29 34．03 39．45 43．15 43．46 40．83 39．45 根据表格可知，下列说法正确的是（     ） A．氮肥施用量越大，土豆产量越高 B．氮肥施用量是110kg时，土豆产量为34t C．氯肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 D．土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg题型二 正比例函数的定义 【例2】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若是x的正比例函数，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 【变式2-3】若是正比例函数，则的值是 ．题型三 正比例函数的图象与性质 【例3】已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条双曲线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【变式3-1】函数的图象一定经过下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接： ． 题型四 一次函数的定义 【例4】下列函数关系式中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】关于的函数是一次函数，则的值为 ． 【变式4-2】下面的三个问题中都有两个变量： ①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积； ②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间； ③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）． 其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【变式4-3】已知函数． (1)若它是一次函数，求的值． (2)是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．题型五 一次函数的求值 【例5】当时，函数的值是（　　）． A．0 B． C．3 D．4 【变式5-1】已知点在一次函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】已知一次函数，当时， ． 【变式5-3】根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值2，则输出的y值为 ． 题型六 一次函数的图象与性质 【例6】一次函数，y随x的增大而增大，该函数图像不经过第（   ）象限 A．四 B．三 C．二 D．一 【变式6-1】已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【变式6-3】已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 题型七 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例7】下列直线中，与轴的交点在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【变式7-3】平面直角坐标系内，一次函数经过点和． (1)求m，n的值； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 题型八 一次函数图象的平移问题 【例8】将直线先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后，所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】将直线向上平移3个单位后，平移后的直线经过点，则 ． 【变式8-3】已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 题型九 比较一次函数值的大小 【例9】若点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式9-1】已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式9-2】若点在一次函数的图像上，且，则的大小关系是 （用“”连接）． 【变式9-3】关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是 ． 题型十 利用增减性求参数的取值范围 【例10】一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知点A（1，）和点B（2，）在一次函数的图象上，且，则的值可能是（   ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【变式10-2】一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【变式10-3】已知一次函数，当时，，则m的值为 ． 题型十一 图象法解一元一次方程 【例11】数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 题型十二 行程问题 【例12】周末，小辰从家出发，步行前往距家的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小辰从超市出来后的速度变为原来的倍，到达集合地，小辰与家的距离与所用时间的关系如图，那么小辰在超市购物用了（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【变式12-2】如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次 m赛跑； （2）先到终点的是 ； （3）王平在赛跑中速度是 ． 【变式12-3】小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他离家距离与骑车所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是___________，函数是___________； (2)小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了___________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 题型十三 营销问题 【例13】如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 【变式13-1】某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克． 【变式13-2】王过酥梨，山西省运城市盐湖区特产，全国农产品地理标志．酥梨果皮光滑，皮质较厚，果肉白色，多汁、味甜、可口，营养丰富．某梨农今年共投入15000元，风调雨顺，酥梨喜获丰收．他了解到酥梨的市场销售信息为：秋季新鲜的酥梨直接销售每千克6元，若将酥梨储存到第二年春天再销售，售价为每千克8元，但重量会减少20%，还需要付冷藏费5000元． （1）设该梨农今年收获新鲜酥梨千克，直接销售的利润为元，储存到第二年春天再销售的利润为元．请写出，与之间的关系式． （2）帮该梨农计算一下，如何销售可以获得较多利润？ 【变式13-3】某药店购进一批消毒液，进价为20元/瓶，要求利润率不低于，且不高于．该店通过分析销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系． 售价x（元/瓶） … 24 25 26 27 … 销售量y（瓶） … 32 30 28 26 … （1）若某天这种消毒液的售价为30元/瓶，求当天该消毒液的销售量． （2）如果某天销售这种消毒液获利192元，那么当天该消毒液的售价为多少元？ （3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20元，则当消毒液的售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？ 题型十四 方案问题 【例14】某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． 【变式14-1】周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【变式14-2】游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下： 方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费； 方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费． 设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示． (1)求直线的解析式； (2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义； (3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案． 【变式14-3】应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 (1)________， ________； (2)求打折前的每次健身费用和的值． (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 题型十五 一次函数中的规律问题 【例15】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 【变式15-1】正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【变式15-2】如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点 ，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 1．已知点，都在直线上，则m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．若点在一次函数的图象上，则关于的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知点都在直线上，则的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（   ）      A．随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C．随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D．随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 6．位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（   ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．小陆家距离基地350千米 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 7．如图，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．有下列说法：①点A的坐标为；②长方形的面积为8；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 9．有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表，那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为 ． 重量 1 1.5 2 2.5 3 3.5 长度 4.5 5 5.5 6 6.5 7 10．某公司行李托运的费用（单位：元）与质量（单位：）的关系为一次函数．由如图所示的图象可知，的值为 ． 11．图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．小浩和小辰通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，且与成一次函数关系，下表给出了其中的部分数据： （cm） … 13 … （cm） … … (1)求与之间的关系式； (2)当凳面一端两个榫眼的内侧距离为时，求该板凳的凳面宽度． 12．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 13．如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当线段在平行线上向右匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量是______，变量是______． (2)若长方形的长为，则请用含x的式子表示长方形的面积 (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积会怎么变化？ 14．2021年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改 进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． （1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； （2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元? 15．小宏对某种植物光合作用强度与光照强度关系进行实验，测得以下数据（以单位叶面积计算）：当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时；当光照强度千勒克斯时，光合作用强度毫克小时．生物老师告诉小宏，在内，该种植物光合作用强度y与光照强度x满足一次函数关系．请你根据小宏的实验数据，解决以下问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若光合作用强度为17毫克小时，且此时光照强度满足，求此时的光照强度是多少千勒克斯？ 16．小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 17．如图，已知直线l1的解析式为，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1、l2相交于点C． (1)求直线l2的解析式； (2)求△ADC的面积； (3)在y轴上是否存在点P使得△PAD的面积与△ADC的面积相等，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 18．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $