第十四章全等三角形 第3讲全等辅助线1尖子班讲义2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第3讲全等辅助线（一） 截长补短 全等辅助线（一） 倍长中线 知识点1截长补短 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 如图，在线段AB上截取AD=AC 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 如图，延长AC到点D,使得AD=AB 【典例】 1.如图，在△ABC中，LB=2LC,LBAC的平分线AD交 BC于点D, 求证：AB+BD=AC. 【方法总结】 若题目条件或求证结论中含有“α=b+c”,需要添加辅助线时多考虑“截长补短” 1 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系 【随堂练习】 1.如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,AD为∠BAC的角平分线，求证：AB=AC +CD 小明同学经过思考，得到如下解题思路： 在AB上截取AE=AC,连接DE,得到△ADE≌△ADC,从而易证AB=AC +CD (1)请你根据以上解思路写出证明过程； (2)如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D, ∠D=25°，其他条件不变，求∠B的度数. A 图① D 图② 2.如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD,那么∠ACB 与∠ABC有怎样的数量关系呢？ 2 D 图1 图2 图3 (1)通过观察、实验提出猜想：∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为： (2)小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种 想法： 想法I:如图2，延长AC到F,使CF-CD,连接DF.通过三角形全等、三角 形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系， 想法2：在AB上取一点E,使AE=AC,连接ED,通过三角形全等、三角形的 性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系 请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种 方法即可) 知识点2倍长中线 倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍， 其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角， 例如： 3 其中BD=CD,延长AD使得DE=AD,则△BDE≌△CDA· 【典例】 1.如图，已知△ABC中，AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB.给 出下列结论：①AD=2AC;②CD=2CE;③∠ACE=∠BCD;④CB平分∠DCE,则以上 结论正确的是 【方法总结】 本题综合性强，主要考察全等三角形的倍长中线知识点，在做全等三角形相关题目时，一旦 给出“中线”、“中点等条件时，我们应考虑到是否可以使用倍长中线法 【随堂练习】 4 1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD 于点F,已知AE=EF.求证：AC=BF. D 综合运用 1如图，△ABC中，AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D点.求证： BC=AC+CD. 2.已知：在△ABC中，AB=CD-BD,AD⊥BC,求证：∠B=2LC. 3.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°，求证：EF=DE+BF. 4.已知△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别平分LABC和LACB,BD、CE交于点O, 试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明. 5.已知△ABC中，AD平分∠BAC,且BD=CD,求证：AB=AC. 6.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F, AF=EF,求证：AC=BE. 7如图所示，已知△ABC中，AD平分LBAC,E、F分别在BD、AD上，DE=CD, EF=AC·求证：EF∥AB. 7 第3讲 全等辅助线（一） 知识点1 截长补短 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段. 如图，在线段上截取. 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等. 如图，延长到点D，使得. 【典例】 1. 如图，在中，，的平分线交于点． 求证：． 【解析】方法一：（截长）在上截取AE=AB，连接． 在和中 ，， ∴（SAS） ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵AE+EC=AC ∴． 方法二：（补短）延长到点使得，连接． 在和中，，， ∴(SAS)， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵AB+BE=AE ∴． 方法三：（补短）延长到点使得，连接 则有， 又∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴AB+BD=AC 【方法总结】 若题目条件或求证结论中含有“”，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”. 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系. 【随堂练习】 1．如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB=AC+CD 小明同学经过思考，得到如下解题思路： 在AB上截取AE=AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB=AC+CD （1）请你根据以上解思路写出证明过程； （2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D=25°，其他条件不变，求∠B的度数． 【解答】证明：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠CAD， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴ED=CD，∠C=∠AED， ∵∠ACB=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠B+∠BDE=∠AED， ∴∠B=∠BDE， ∴BE=ED=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD； （2）在射线BA上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠EAC的角平分线， ∴∠EAD=∠CAD， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴ED=CD，∠ACD=∠AED， ∵∠ACB=2∠B， ∴设∠B=x，则∠ACB=2x， ∴∠EAC=3x， ∴∠EAD=∠CAD=1.5x， ∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x， ∴∠ADC=0.5x=25°， 解得：x=50°∴∠EDC=x， ∴∠B=∠EDC=50°， ∴BE=ED=CD， ∴AB+AE=BE=AC+AB=CD． 　 2．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系呢？ （1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为：　______． （2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：如图2，延长AC到F，使CF=CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系． 想法2：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系． 请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种方法即可）． 【解答】解：（1）∠ACB=2∠ABC， 故答案为：∠ACB=2∠ABC， （2）想法1 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=∠CAB， ∵AF=AC+CF，且CD=CF， ∴AF=AC+CD， 又∵AB=AC+CD， ∴AB=AF， 又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AFD， ∴∠B=∠F， ∵CD=CF， ∴∠F=∠CDF， 又∵∠ACB=∠F+∠CDF， ∴∠ACB=2∠F， ∴∠ACB=2∠B， 想法2 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=∠CAB， 又∵AC=AE，AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴ED=CD，∠C=∠AED， 又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC， ∴CD=BE， ∴DE=BE， ∴∠B=∠EDB， 又∵∠AED=∠B+∠EDB， ∴∠AED=2∠B， 又∵∠C=∠AED， ∴∠C=2∠B． 知识点2 倍长中线 倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角． 例如： 其中，延长使得，则． 【典例】 1. 如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是____． 【答案】①、②、④ 【解析】①正确．∵，，∴AD=2AC． ②、④正确． 延长到，使，连接． ∵是边上的中线，∴． 在和中 ∴（SAS） ∴， ∴ 在和中 ∴(SAS) ∴，∠FCB=∠DCB 即CD=2CE，CB平分∠DCE． ③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等． 【方法总结】 本题综合性强，主要考察全等三角形的倍长中线知识点，在做全等三角形相关题目时，一旦给出“中线”、“中点”等条件时，我们应考虑到是否可以使用倍长中线法. 【随堂练习】 1．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF． 【解答】证明：延长AD到G，使得DG=AD． 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB， ∴AC=BG 且∠CAD=∠G ∵AE=EF， ∴∠EFA=∠EAF， ∴∠G=∠EFA， ∵∠EFA=∠BFG， ∴∠G=∠BFG， ∴BG=BF， ∵AC=BG， ∴BF=AC． 　 综合运用 1.如图，中，，，平分交于点．求证：． 【解析】方法一：在上截取点使，连结． ∵平分， ∴． 在与中 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． 又∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 方法二：如图，延长到，使，连结． ∵，且， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵ ∴． ∴． ∴． 2.已知：在中，，，求证：． 【解析】方法一：在上取一点，使DE=BD，如图1， 在和中，，，． ∴． ∴，． 又∵ ∴， ∴ ∴． 方法二：延长到点，使，如图2， ∴． ∵， ∴． 在和中，∠ADE=∠ADC，，． ∴． ∴． ∵ ∴． 3.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF． 【解析】 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG 由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB 又∵DG=BF ∴△ADG ≌△ABF（SAS） ∴GAD=FAB， ∴AG=AF 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF ∴GAE=GAFEAF=90°45°=45° ∴GAE=FAE=45° 又∵AG=AF，AE=AE ∴△EAG ≌△EAF（SAS） ∴EF=GE=GD+DE=BF+DE 4. 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明． 　　　　 【解析】 ， 理由是：在上截取，连结， 利用证得≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 利用证得≌， ∴， ∴． 5. 已知中，平分，且，求证：． 【解析】解：延长到，使，连接． 则， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：． 【解析】 解：延长到，使，连接 ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴，∴． 7.如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥． 【解析】解：延长到，使，连结， 利用证明， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴∥． 14 学科网（北京）股份有限公司 $