第四单元 专题02：解简易方程（计算专项）数学沪教版五年级上册

数学沪教版五年级上册 第四单元：简易方程（一） 专题02：解简易方程（计算专项） 知识点01：方程的概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 【名师点拨】 （1）需要注意的是，方程必须同时满足“含有未知数”和“是等式”这两个条件。 （2）方程的解与解方程区分不清：“方程的解”是使方程左右两边相等的未知数的值，是一个数；“解方程”是求这个值的过程。 知识点2：解方程的原理——等式的性质 1、等式的性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 2、等式的性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【名师点拨】 （1）忽略除数不为0的条件：运用等式性质二时，除以的数不能为0。 （2）解方程过程中，等号需上下对齐，这是基本书写规范。 （3）解方程前要先写“解”字。 知识点03：解方程 1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3、解方程的方法： （1）消元法：利用等式的性质 （2）公式法： 一步方程 ①当未知数在减数位置：减数＝被减数－差； ②当未知数在除数位置：除数＝被除数÷商。 两步方程 ①对于有不同级运算的两步方程，应先进行逆运算消除加减法，再进行乘除法的逆运算。 ②当未知数出现在减数和除数时，要把含有未知数的部分看作一个整体。 题型01：方程的认识 【典型例题】下列各式中，（     ）是方程。 A．4.3÷x＝7×1.5 B．3x＋2 C．3x＋5＜5 D．15÷3＝5 【跟踪训练1】下面各式中，（     ）是方程。 A．a＋6 B．4x－5＞8 C．3a＜6b D．8m＋2m＝28 【跟踪训练2】在12a＋6＞26，x＋0.5x＝30，3y÷4＝12，45×3＝135，1.4b＝70，8m－3.6k中，方程有（     ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练3】下面（     ）是方程。 A．5x＋32＝47 B．x＋24 C．6－x＞2 题型02：列简易方程 【典型例题】根据如图可列方程为（     ）。 A．2x＝105 B．2x－x＝105 C．x＋2x＝105 【跟踪训练1】根据x的2倍比3.2多0.6列方程，下面方程（     ）是正确的。 A．2x－3.2＝0.6 B．2x＋3.2＝0.6 C．2（x－0.6）＝3.2 D．x－2×3.2＝0.6 【跟踪训练2】一个数的4倍比9.8多2，设这个数为x，所列方程为（     ）。 A．4＋x－9.8＝2 B．4x－9.8＝2 C．4x＋9.8＝2 D．9.8＝4x＋2 【跟踪训练3】绿绳长48米，比红绳多6米，设红绳为x米，列方程为( )。 题型03：等式的性质 【典型例题1】如果x＝y，根据等式的性质可知（     ）。 A．x－7＝y＋7 B．x－7＝y－7 C．x×7＝y÷7 【典型例题2】在横线上填上运算符号，在（    ）里填上数。 (1)如果x＋5＝8，那么x＋5－5＝8－( )。 (2)如果x－11＝29，那么x－11＋11＝29 ( )。 (3)如果3x＝9，那么3x÷3＝9 ( )。 【跟踪训练1】根据等式的性质填空。 (1)12＋m＝4×3＋( ) ； a－6÷2＝( )－3 (2)如果△＝□－5，那么，△×6＝（□－5）×( )，△÷3＝（□－5）÷( )。 【跟踪训练2】如果3a＝2b。根据等式的性质填空。 3a－( )＝2b－4         3a÷( )＝2b÷6        3a×d＝2b×( ) 【跟踪训练3】已知x＝y，则x＋12＝y＋( )，7x＝( )。 题型04：应用等式的性质解方程 【典型例题1】解方程。 3x－50＝136     x－0.36x＝1.6     2.6x＋5.8x＝5.88 【典型例题2】在括号里填上数，使每个方程的解都是x＝8。 x＋( )＝18              x－( )＝3.5 ( )－2x＝1            （5x－13）÷( )＝3 【跟踪训练1】方程 x＋8＝13与mx＝1有相同的解，那么x＝( )，m＝ ( )。 【跟踪训练2】解下列方程。 96－4x＝15         5.5x＋x＝13         2x－23×4＝134 【跟踪训练3】解方程。 x＋9.4＝67           x－1.2×3＝2.4 题型05：解含括号的方程 【典型例题1】解方程。 0.8（5x－12）＝2.4                 18x－58＝374                 （12.6＋x）÷1.4＝47.5 【典型例题2】方程（－9）÷2＝4的解是（     ）。 A．＝7 B．＝11 C．＝13 D．＝17 【跟踪训练1】方程4（－11）＝12的解是（     ）。 A．＝8 B．＝14 C．＝37 D．＝59 【跟踪训练2】解下列方程。 4.3－1.8＝97.5        （100－4）÷2＝8.4          3（＋2.1）＝10.5 【跟踪训练3】解方程。 （1）x÷5.2＝4     （2）8（x＋4.2）＝41.6     （3）7x－5.6x＝3.5     （4）4（x－3）＝23.2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学沪教版五年级上册 第四单元：简易方程（一） 专题02：解简易方程（计算专项） 知识点01：方程的概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 【名师点拨】 （1）需要注意的是，方程必须同时满足“含有未知数”和“是等式”这两个条件。 （2）方程的解与解方程区分不清：“方程的解”是使方程左右两边相等的未知数的值，是一个数；“解方程”是求这个值的过程。 知识点2：解方程的原理——等式的性质 1、等式的性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 2、等式的性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【名师点拨】 （1）忽略除数不为0的条件：运用等式性质二时，除以的数不能为0。 （2）解方程过程中，等号需上下对齐，这是基本书写规范。 （3）解方程前要先写“解”字。 知识点03：解方程 1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3、解方程的方法： （1）消元法：利用等式的性质 （2）公式法： 一步方程 ①当未知数在减数位置：减数＝被减数－差； ②当未知数在除数位置：除数＝被除数÷商。 两步方程 ①对于有不同级运算的两步方程，应先进行逆运算消除加减法，再进行乘除法的逆运算。 ②当未知数出现在减数和除数时，要把含有未知数的部分看作一个整体。 题型01：方程的认识 【典型例题】下列各式中，（     ）是方程。 A．4.3÷x＝7×1.5 B．3x＋2 C．3x＋5＜5 D．15÷3＝5 【答案】A 【分析】要判断哪个是方程，需依据方程的定义：方程是含有未知数的等式，据此对每个选项分析。 【详解】A．式子4.3÷x＝7×1.5，其中含有未知数x，同时它是一个等式，左右两边用等号连接，因为既含有未知数又是等式，所以符合方程的定义，是方程； B．式子3x＋2，它虽然含有未知数x，但只是一个代数式，不是等式（没有等号表示左右两边相等的关系），所以不是方程； C．式子3x＋5＜5，含有未知数x，但它是不等式（用小于号“＜”连接），不是等式，不符合方程定义，不是方程； D．式子15÷3＝5，是等式，但其中不含有未知数，不满足方程“含有未知数”这一条件，所以不是方程。 故答案为：A 【跟踪训练1】下面各式中，（     ）是方程。 A．a＋6 B．4x－5＞8 C．3a＜6b D．8m＋2m＝28 【答案】D 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】A．a＋6，不是等式，所以不是方程； B．4x－5＞8，不是等式，所以不是方程； C．3a＜6b，不是等式，所以不是方程； D．8m＋2m＝28，是等式，有未知数，所以是方程。 8m＋2m＝28是方程。 故答案为：D 【跟踪训练2】在12a＋6＞26，x＋0.5x＝30，3y÷4＝12，45×3＝135，1.4b＝70，8m－3.6k中，方程有（     ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】含有未知数的等式叫做方程。 12a＋6＞26，未含有等式，不是方程； x＋0.5x＝30，是方程； 3y÷4＝12，是方程； 45×3＝135，不含有未知数，不是方程； 1.4b＝70，是方程； 8m－3.6k，未含有等式，不是方程； 据此解答即可。 【详解】由分析可知，x＋0.5x＝30、3y÷4＝12、1.4b＝70是方程，有3个。 故答案为：C 【跟踪训练3】下面（     ）是方程。 A．5x＋32＝47 B．x＋24 C．6－x＞2 【答案】A 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】A．5x＋32＝47，是等式，有未知数，所以是方程； B．x＋24，不是等式，所以不是方程； C．6－x＞2，不是等式，所以不是方程。 5x＋32＝47是方程。 故答案为：A 题型02：列简易方程 【典型例题】根据如图可列方程为（     ）。 A．2x＝105 B．2x－x＝105 C．x＋2x＝105 【答案】C 【分析】由线段图可知，苹果树有x棵，梨树的棵数是苹果的2倍，苹果树和梨树共有105棵。等量关系：苹果的棵数＋梨的棵数＝总棵数，据此列方程解答即可。 【详解】由分析可知： 根据如图可列方程为x＋2x＝105。 故答案为：C 【跟踪训练1】根据x的2倍比3.2多0.6列方程，下面方程（     ）是正确的。 A．2x－3.2＝0.6 B．2x＋3.2＝0.6 C．2（x－0.6）＝3.2 D．x－2×3.2＝0.6 【答案】A 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。x的2倍是2x，根据题意用2x减去3.2等于0.6。 【详解】A．“2x－3.2＝0.6”表示x的2倍比3.2多0.6； B．“2x＋3.2＝0.6”表示x的2倍加上3.2是0.6； C．“2（x－0.6）＝3.2”表示x减去0.6的差的2倍是3.2； D．“x－2×3.2＝0.6”表示x比3.2的2倍多0.6。 所以，根据x的2倍比3.2多0.6列方程为2x－3.2＝0.6。 故答案为：A 【跟踪训练2】一个数的4倍比9.8多2，设这个数为x，所列方程为（     ）。 A．4＋x－9.8＝2 B．4x－9.8＝2 C．4x＋9.8＝2 D．9.8＝4x＋2 【答案】B 【分析】根据题意，求一个数的几倍是多少，用乘法，所以这道题的等量关系是：这个数×4－9.8＝2，根据这个等量关系，列出方程即可。 【详解】解：设这个数为x。 4x－9.8＝2 4x－9.8＋9.8＝2＋9.8 4x＝11.8 4x÷4＝11.8÷4 x＝2.95 故答案为：B 【跟踪训练3】绿绳长48米，比红绳多6米，设红绳为x米，列方程为( )。 【答案】x＋6＝48 【分析】用红绳的长度加上6米，求出绿绳的长度为（x＋6）米，而绿绳长48米，据此可列方程为x＋6＝48。 【详解】设红绳为x米，列方程为x＋6＝48。 x＋6＝48 解：x＋6－6＝48－6 x＝42 红绳长42米。 题型03：等式的性质 【典型例题1】如果x＝y，根据等式的性质可知（     ）。 A．x－7＝y＋7 B．x－7＝y－7 C．x×7＝y÷7 【答案】B 【分析】根据等式的性质： 1．在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立。 2．在等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。据此逐一分析各项即可。 【详解】如果x＝y A．由x－7＝y＋7可知，在等式左边减去7，等式右边加上7，不符合等式的性质； B．由x－7＝y－7可知，在等式两边同时减去7，符合等式的性质； C．由x×7＝y÷7可知，在等式左边乘7，在等式右边除以7，不符合等式的性质。 故答案为：B 【典型例题2】在横线上填上运算符号，在（    ）里填上数。 (1)如果x＋5＝8，那么x＋5－5＝8－( )。 (2)如果x－11＝29，那么x－11＋11＝29 ( )。 (3)如果3x＝9，那么3x÷3＝9 ( )。 【答案】(1)5 (2) ＋ 11 (3) ÷ 3 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立； （1）根据等式的性质1，方程两边同时减去5即可； （2）根据等式的性质1，方程两边同时加上11即可； （3）根据等式的性质2，方程两边同时除以3即可。 【详解】（1）如果x＋5＝8，那么x＋5－5＝8－5 （2）如果x－11＝29，那么x－11＋11＝29＋11。 （3）如果3x＝9，那么3x÷3＝9÷3。 【跟踪训练1】根据等式的性质填空。 (1)12＋m＝4×3＋( ) ； a－6÷2＝( )－3 (2)如果△＝□－5，那么，△×6＝（□－5）×( )，△÷3＝（□－5）÷( )。 【答案】(1) m a (2) 6 3 【分析】（1）等式右边乘法算式的积为12，则括号里面填m；等式左边除法算式的商为3，则括号里面填a； （2）把（□－5）看作一个整体，等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等，据此解答。 【详解】（1）分析可知，12＋m＝4×3＋m，a－6÷2＝a－3。 （2）如果△＝□－5，那么，等式两边同时乘6，等式仍然成立，则△×6＝（□－5）×6；如果△＝□－5，那么，等式两边同时除以3，等式仍然成立，则△÷3＝（□－5）÷3。 【跟踪训练2】如果3a＝2b。根据等式的性质填空。 3a－( )＝2b－4         3a÷( )＝2b÷6        3a×d＝2b×( ) 【答案】 4 6 d 【分析】等式的基本性质： 性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个数，等式仍然成立。 性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。 【详解】如果3a＝2b， 3a－4＝2b－4 3a÷6＝2b÷6 3a×d＝2b×d 【跟踪训练3】已知x＝y，则x＋12＝y＋( )，7x＝( )。 【答案】 12 7y 【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 根据等式的性质解决此题即可。 【详解】（1）根据等式的性质1，在x＝y的两边同时加上12，可得x＋12＝y＋12。 （2）根据等式的性质2，在x＝y的两边同时乘7，可得7x＝7y。 题型04：应用等式的性质解方程 【典型例题1】解方程。 3x－50＝136     x－0.36x＝1.6     2.6x＋5.8x＝5.88 【答案】x＝62；x＝2.5；x＝0.7 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时加上50，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3即可解答； （2）把方程左边化简为0.64x，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.64即可解答； （3）把方程左边化简为8.4x，再根据等式的性质2，方程两边同时除以8.4即可解答。 【详解】3x－50＝136   解：3x－50＋50＝136＋50 3x＝186 3x÷3＝186÷3 x＝62   x－0.36x＝1.6   解：0.64x＝1.6 0.64x÷0.64＝1.6÷0.64 x＝2.5   2.6x＋5.8x＝5.88 解：8.4x＝5.88 8.4x÷8.4＝5.88÷8.4 x＝0.7 【典型例题2】在括号里填上数，使每个方程的解都是x＝8。 x＋( )＝18              x－( )＝3.5 ( )－2x＝1            （5x－13）÷( )＝3 【答案】 10 4.5 17 9 【分析】把x＝8代入到每个方程中，求出括号里的数，据此解答即可。 【详解】当x＝8时，则： 8＋10＝18； 所以；； ；。 【跟踪训练1】方程 x＋8＝13与mx＝1有相同的解，那么x＝( )，m＝ ( )。 【答案】 5 0.2 【分析】先利用等式的性质1解出x的值，再将x的值代入mx＝1中，再利用等式的性质2求出m的值。 【详解】x＋8＝13 解：x＋8－8＝13－8 x＝5 m×5＝1 解：m×5÷5＝1÷5 m＝0.2 x＝5，m＝0.2 【跟踪训练2】解下列方程。 96－4x＝15         5.5x＋x＝13         2x－23×4＝134 【答案】x＝20.25；x＝2；x＝113 【分析】（1）96－4x＝15，根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上4x，再交换两边的位置，然后根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去15，再同时除以4即可。 （2）5.5x＋x＝13，先将左边合并为6.5x，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以6.5即可。 （3）2x－23×4＝134，先计算出23×4等于92，然后根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上92，再同时除以2即可。 【详解】（1）96－4x＝15 解：96－4x＋4x＝15＋4x 15＋4x＝96 15＋4x－15＝96－15 4x＝81 4x÷4＝81÷4 x＝20.25 （2）5.5x＋x＝13 解：6.5x＝13 6.5x÷6.5＝13÷6.5 x＝2 （3）2x－23×4＝134 解：2x－92＝134 2x－92＋92＝134＋92 2x＝226 2x÷2＝226÷2 x＝113 【跟踪训练3】解方程。 x＋9.4＝67           x－1.2×3＝2.4 【答案】x＝57.6；x＝6 【分析】x＋9.4＝67，根据等式的性质1，两边同时－9.4即可； x－1.2×3＝2.4，根据等式的性质1，两边同时＋1.2×3的积即可。 【详解】x＋9.4＝67 解：x＋9.4－9.4＝67－9.4 x＝57.6 x－1.2×3＝2.4 解：x－3.6＝2.4 x－3.6＋3.6＝2.4＋3.6 x＝6 题型05：解含括号的方程 【典型例题1】解方程。 0.8（5x－12）＝2.4                 18x－58＝374                 （12.6＋x）÷1.4＝47.5 【答案】x＝3；x＝24；x＝53.9 【分析】（1）根据等式的性质1和性质2，方程左右两边先同时除以0.8，再同时加12，最后同时除以5，解出方程； （2）根据等式的性质1和性质2，方程左右两边先同时加58，再同时除以18，解出方程； （3）根据等式的性质1和性质2，方程左右两边先同时乘1.4，再同时减去12.6，解出方程。 【详解】0.8（5x－12）＝2.4 解：0.8（5x－12）÷0.8＝2.4÷0.8 5x－12＝3 5x－12＋12＝3＋12 5x＝15 5x÷5＝15÷5 x＝3 18x－58＝374 解：18x－58＋58＝374＋58 18x＝432 18x÷18＝432÷18 x＝24 （12.6＋x）÷1.4＝47.5 解：（12.6＋x）÷1.4×1.4＝47.5×1.4 12.6＋x＝66.5 12.6＋x－12.6＝66.5－12.6 x＝53.9 【典型例题2】方程（－9）÷2＝4的解是（     ）。 A．＝7 B．＝11 C．＝13 D．＝17 【答案】D 【分析】根据等式的性质解方程，方程两边先同时乘2，再同时加上9，求出方程的解。 【详解】（－9）÷2＝4 解：（－9）÷2×2＝4×2 －9＝8 －9＋9＝8＋9 ＝17 方程（－9）÷2＝4的解是＝17。 故答案为：D 【跟踪训练1】方程4（－11）＝12的解是（     ）。 A．＝8 B．＝14 C．＝37 D．＝59 【答案】B 【分析】根据等式的性质解方程，方程两边先同时除以4，再同时加上11，求出方程的解。 【详解】4（－11）＝12 解：4（－11）÷4＝12÷4 －11＝3 －11＋11＝3＋11 ＝14 故答案为：B 【跟踪训练2】解下列方程。 4.3－1.8＝97.5        （100－4）÷2＝8.4          3（＋2.1）＝10.5 【答案】＝39；＝20.8；＝1.4 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）先计算方程左边的4.3－1.8，把方程化简成2.5＝97.5，然后方程两边同时除以2.5，求出方程的解； （2）方程两边先同时乘2，然后同时加上4，再同时减去16.8，最后同时除以4，求出方程的解； （3）方程两边先同时除以3，再同时减去2.1，求出方程的解。 【详解】（1）4.3－1.8＝97.5 解：2.5＝97.5 2.5÷2.5＝97.5÷2.5 ＝39 （2）（100－4）÷2＝8.4 解：（100－4）÷2×2＝8.4×2 100－4＝16.8 100－4＋4＝16.8＋4 16.8＋4＝100 16.8＋4－16.8＝100－16.8 4＝83.2 4÷4＝83.2÷4 ＝20.8 （3）3（＋2.1）＝10.5 解：3（＋2.1）÷3＝10.5÷3 ＋2.1＝3.5 ＋2.1－2.1＝3.5－2.1 ＝1.4 【跟踪训练3】解方程。 （1）x÷5.2＝4     （2）8（x＋4.2）＝41.6     （3）7x－5.6x＝3.5     （4）4（x－3）＝23.2 【答案】（1）x＝20.8；（2）x＝1；（3）x＝2.5；（4）x＝8.8 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时乘5.2即可； （2）根据等式的性质，方程的两边先同时除以8，然后两边同时减去4.2即可； （3）先化简方程，再根据等式的性质，方程的两边同时除以1.4即可； （4）根据等式的性质，方程的两边先同时除以4，然后两边同时加上3即可。 【详解】（1）x÷5.2＝4 解：x÷5.2×5.2＝4×5.2 x＝20.8 （2）8（x＋4.2）＝41.6 解：8（x＋4.2）÷8＝41.6÷8 x＋4.2＝5.2 x＋4.2－4.2＝5.2－4.2 x＝1 （3）7x－5.6x＝3.5 解：1.4x＝3.5 1.4x÷1.4＝3.5÷1.4 x＝2.5 （4）4（x－3）＝23.2 解：4（x－3）÷4＝23.2÷4 x－3＝5.8 x－3＋3＝5.8＋3 x＝8.8 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $