江苏省扬州市2025-2026学年上学期期中数学模拟卷02

2025-2026学年江苏省扬州市上学期期中模拟卷02 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版2012九年级上册第1章-第4章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 2．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．如图，是的直径．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 6．已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 7．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．将一元二次方程化成的形式，则 ． 10．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 11．若一组数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4，则这组数据的中位数为 ． 12．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ． 13．已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为 ． 14．小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 15．如图，正五边形ABCDE内接⊙O，点F是的中点，连接BD，CF于交于点G，则∠BGF的度数是 　 ． 16． 16．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数 。 17．如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 18．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 20．（8分）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率． 21．（8分）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 22．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 23．（10分）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A．全部喝完；B．剩约；C．剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)参加这次会议的有___________人；图中D所在扇形的圆心角是___________． (2)补全条形统计图； (3)若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算估计这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？ 24．（10分）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根互为倒数，求的值． 25．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点（请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 26．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 27．（12分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 28．（12分）【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省扬州市上学期期中模拟卷02 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版2012九年级上册第1章-第4章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的一般式定义是解决问题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后按照一元二次方程的一般式形式化简即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：B． 2．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在内， 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义得到，由根的判别式得到△，由此求得的值． 【详解】解：当时，此方程是一元二次方程， 方程有实数根， △，即△，解得． 综上所述，的取值范围是且 故选：C． 4．如图，是的直径．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识．根据直径所对的圆周角和三角形的内角和定理求出度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 【详解】若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 6．已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差．根据题意可得，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组数据、、、、的平均数是，方差是， ∴，， ∴数据、、2、、的平均数为 ； 数据、、2、、的方差为 故选C. 7．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵阴影部分的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：A． 8．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切于点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题； 【详解】解：如图所示，设与相切于点K，    由题意得，， 由切线长定理可知，   设正方形边长为，，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 二、填空题 9．将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 10．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 11．若一组数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4，则这组数据的中位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了众数的定义及求一组数据的中位数，正确理解众数的定义及中位数的定义是解题的关键．先根据众数求出x的值，再根据中位数的定义即可求得答案． 【详解】解：因为数据3，4，4，x，5，5，7，9的众数是4， 所以， 所以八个数中中间两个数为4和5， 则这组数据的中位数为． 故答案为：． 12．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 13．已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体换元的思想；把方程看作是关于的一元二次方程，则利用方程的两根为，，得到或，可求出的两根，然后得到两根之和. 【详解】解：把方程看作是关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的两根为，， ∴或， 解得，， ∴. 故答案为：. 14．小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【分析】本题考查平均数，设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y，根据平均数列二元一次方程，根据，y是正数且，，求出x和y的值解答即可． 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 15．如图，正五边形ABCDE内接⊙O，点F是的中点，连接BD，CF于交于点G，则∠BGF的度数是 　 　 ． 【答案】54° 【分析】连接OA，OF，OB，OC，OD，首先根据多边形和圆的性质得到∠AOB＝∠COD＝360°÷5＝72°，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接OA，OF，OB，OC，OD， ∵正五边形ABCDE内接⊙O， ∴∠AOB＝∠COD＝360°÷5＝72°， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∠BGF＝∠BCG+∠CBG＝54°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）． 故答案为：54°． 16． 对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数 。 【答案】4 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴4， 综上，4， 故选：B． 17．如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，连接，作于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以，根据圆周角定理得，所以，则，由，得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点E，则， 将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D， ， 与所对的圆周角相等， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 18．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理可知是的直径，圆心在上，利用勾股定理可以求出，以为斜边构造等腰直角，根据，利用勾股定理可知，以点为圆心为半径作圆，在优上取一点，连接、，则，因为，可知点、、、四点共圆，所以点在劣弧上运动，根据两点之间线段最短，可知当点在线段上时的值最小，其中的长度是的半径，则有，利用勾股定理可以求出，利用即可得到的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是的直径，圆心在上， ， ， ， ， 以为斜边构造等腰直角， 则有，， ， 以点为圆心，为半径作圆， 在优弧上取一点，连接、，则， ， 点在的劣弧上运动， 当点、、三点共线时，的值最小， ，， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 三、解答题 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)无实数根 【分析】本题考查一元二次方程的解法： （1）利用直接开平方的方法即可求解； （2）整理方程，求出其判别式即可判断方程无实数根． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ， ∴方程无实数根． 20．某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率问题，列表法或树状图方法是解题的关键． （1）由题可直接得到概率； （2）根据题意列出树状图，再计算概率即可． 【详解】（1）总共4本法律，所以抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为， 故答案为：． （2）根据题意树状图如下： 抽取两本法律共有12种，其中有《民法典》的共有6种， 所以抽取的两本法律中有《民法典》的概率为． 21．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种玩具应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 22．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，据此可证明结论； （2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A．全部喝完；B．剩约；C．剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)参加这次会议的有___________人；图中D所在扇形的圆心角是___________． (2)补全条形统计图； (3)若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算估计这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)毫升 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，加权平均数，画条形统计图，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据扇形统计图和条形统计图中B所对应的人数和所占的百分比，即可求出总人数，再根据D所对应的人数占总人数的百分比即可求出圆心角的度数； （2）根据总人数求出C种情况的人数，即可补全条形统计图； （3）用总的浪费量除以总人数就能得到平均每人的浪费量． 【详解】（1）解：参加这次会议的有（人）， 图中D所在扇形的圆心角是， 故答案为：，； （2）解：C的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； （3）解：（毫升）， 答：估计这次会议平均每人浪费矿泉水毫升． 24．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根互为倒数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程根的情况的关系，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）整理方程，由根的判别式列式得出，即可得证； （2）整理方程，由根与系数关系得出方程，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：整理原方程，得. ∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的两个根互为倒数， ∴，即 解得，． 25．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点（请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则点D和即为所求； （2）连接，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，则，由等边对等角得到，则，则，据此可得，即的半径为． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，平分， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 26．如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 27．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 【答案】(1)② (2)作图见解析， (3)； 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【详解】（1）解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； （3）如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 28．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）由可知点在以点为圆心、的长为半径的圆上，作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，同理（）知，当三点共线时，取最小值，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 在中，， 即， ∵， ∴； （）如图，由两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为； （）由折叠可得，， ∴点在以点为圆心、的长为半径的圆上， 作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，如图， 同理（）知，当三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两点之间线段最短，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，轴对称的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $