湖南省湘西土家族苗族自治州2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

保密★启用前 高三质检一数学 圈 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 郑 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 帅 是符合题目要求的 1.(2+i)(4+i)的实部为 会 A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知集合A,B满足A={1,2,3},A∩B={1,2},AUB={1,2,3,4,5},则B= A.{1,2,4,5} B.{4,5} C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5} B,以椭圆C名+为1(>6>0的左石焦点和上、下顶点为顶点的四边形是方形.则0 毁 浆 的离心率为 A号 B② C③ 蜜 4若函数了=m(2x+φ)的图象的一条对称轴为直线x=,则？可以取 A君 B罗 c受 5.已知函数f代x)的定义域为R,若f(x+1)=x2-1,则f代x)的极大值点为 赵 A.-1 B.0 C.1 D.2 6.若圆C,:x+y+12x+16y=0和圆C2:(x+3)2+(y+12)2=2(r>0)内切，则它们的公切 线的斜率为 c.- 数学试题第1页（共4页） 7若g+=子，则4 cos 0-sin 将 B.72 32 C.-72 16 8.设某地海拔（单位：m)为h,处的大气压（单位：kPa)为p1,海拔为h2处的大气压为P2,且满 足n-g(h2-h P2 RT ,其中M,g,R都是大于零的常数，T表示海拔h,~h2的平均气温（单 位：K),记该地海拔为0m处的大气压为po,下表列出了不同季节In po的数据： 季节 春季 夏季 秋季 冬季 In po (4.55,4.65] (4.45,4.55] (4.65,4.7] (4.7,4.75] 若某天该地海拔0~1000m的平均气温为300K,海拔1000~2000m的平均气温为285K,该地 海拔1000m处的大气压为90kPa,海拔2000m处的大气压为80kPa,则这一天的季节为 附：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6. A.春季 B.夏季 C.秋季 D.冬季 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在平行四边形ABCD中，B面=}币，F心=D心，记店=m,而=n,则下列说法正确的是 AD呢=2-3” B元=子m+ C.若(m+3m)1m,则(E元，D)= D.若C1=,则(m,）=受 10.已知样本数据5,6,5,8,5，x的中位数与平均数相等，则 A.x=7 B.这组样本数据的上四分位数为6 C.这组样本数据的极差为7 D.这组样本数据的方差为13 11.已知函数代x)=c（x+,其中a∈R且a≠-1，则下列说法正确的是 x-1 A.f(x)有且仅有1个零点 B.存在a(a≠-1)，使得f(x)在定义域内单调递增 C.若a>-1,则f(x)>f'(x) D.若a>0,则f(x)I≥x 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知各项均为正数的等比数列{a,}满足1=4，ag=1,则a6= asas 13.在正四棱柱ABCD-A1B,C,D,中，AA1=2,且四棱锥C-BDD,B,的体积为6，则AB= 4,已知双曲线C:安-名1(@>0，b>0)的右焦点为F,直线x+m侧=0与C交于A,B两点 若∠A0F=∠AFB(0为坐标原点)，且0京·AB=10a2,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 有6张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中每次随机抽取1张卡片，连续抽取两 次，记抽到的卡片上的数字依次为m,n. (1)若有放回地抽取，记事件A为“m+n=4”,求P(A); (2)若无放回地抽取，记X=Im-nl,求X的分布列与数学期望. 16.（15分) 记数列16的前m项和为S,已知a,=2,且是公差为2的等差数列， (1)求{an}的通项公式； (2)设6.-”、2，求数列1b.}的前n项和T 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，△BCD内接于圆柱的下底面圆，BC是圆柱下底面圆的直径，AB是圆柱的母线， LCBD=君，且AB=3,BC=4 (1)求点C到平面ABD的距离； (2)P是圆柱上底面圆周上一点，若二面角P-CD-B的大小为钙，求AP D 18.(17分) 在直角坐标系x0y中，已知抛物线C,:x2=4y与C2:x2=-8y,过点(0,2)的直线与C1交 于A,B两点，直线A0和B0分别与C2交于点D和E(异于原点O) (1)证明：0A.0B为定值； (2)证明：AB∥DE; (3)设P为直线AE,BD的交点，Q(0,14),求1PQ1的最小值， 19.(17分) 已知函数f(x)=ln(1+x)-asin x,其中a≥1. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明：(x)在区间(0，π)上存在唯一的极值点x,与唯一的零点x2; (3)在(2)的条件下，证明：ln(1+x2)> 2sin x 1+名1 数学试题第4页（共4页）高三质检一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案B 命题透析本题考查复数的概念及运算， 解析由(2+i)(4+i)=7+6i,得其实部为7. 2.答案A 命题透析本题考查集合的表示与运算， 解析由A={1,2,3}和AUB=1,2,3,4,5},得4,5eB,由A∩B={1,2},得1,2∈B,且3B,故B={1,2,4,5} 3.答案B 命题透析本题考查椭圆的定义与几何性质 解析设C的半焦距为c(c>0),由C的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得b=c,由椭圆 的定义得d=+c,联立解得椭圆C的离心率e=二=巨 4.答案D 命题透析本题考查三角函数的图象. 解析由三角函数图象的性质得，函数y=smx的图象的对称轴为直线x=受+km(keZ),可得2×+p= 6 受+m(ke2),当k=4时，p=要成立 6 5.答案B 命题透析本题考查函数的表示、导数的概念与应用 解析设t=x+1,则x=1-1,'()=(1-1)2-1=2-2t,即f'(x)=x2-2x,所以f'(x)在区间(-0,0)上为 正，在区间(0,2)上为负，故(x)的极大值点为0. 6.答案A 命题透析本题考查圆与圆、直线与圆的位置关系， 解析由题意知圆C的圆心坐标为(-6，-8)，圆C,的圆心坐标为(-3，-12)，两圆内切，则它们的公切线 与两圆圆心所在直线垂直，又两圆圆心所在直线的斜率为二8号-号，所以它们的公切线的斜率为 -6+3 4 7.答案C 命题透析本题考查三角恒等变换， 解析 原式-gm8-2如200080=2如29(m0+sm0)=2万n2an(0+）-号n29,其中 cos 6-sin cos 0-sin 6 sm20=-(20+）=-[1-2(0+)月-子，故原式=-72 16 8.答案A 命题透析本题考查对数在实际生活中的应用. 解析由题意，代入数据得h品=198，h号-190，所以h务-器n铝整理得n=号h90- 80=285R 90=300R ln80)+ln90.根据参考数据可知ln90=ln2+2ln3+ln5≈4.5，ln80=4ln2+ln5≈4.4，所以lnPo≈0.95× (4.5-4.4)+4.5=4.595,由于4.595∈(4.55,4.65]，故此时当地的季节为春季 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BCD 命题透析本题考查平面向量的基底、平面向量的运算， 解析对于A,应=子=子（破-动=子m-子，放A错误： 对于B,成=动+D成=-+D成=-子m-子，即B武=m+子，故B正确： 对于C,E元=子(m+3n),亦=之m,若(m+3m)1m,则武1D亦，即〈武，D耐)=受，故C正确； 对于D,醉=成+亦=子m+子n-之m=-子m+子，由1店1=11，得(-子m-子)广 (-子m+子，所以mn=0,所以(m,）=受故D正确 10.答案BC 命题透析本题考查样本数据的统计与分析 解析对于A,由题意知，该组数据的平均数为2，当≤5时，中位数为5，令“名2=5，解得x=1,符合题 6 意：当5<6时，中位数为产生，生.2，解得x=7,不符合题意当≥6时，中位数为55，令“9。 2 6 5.5,解得x=4,不符合题意，故x=1,故A锴误 对于B,6×0.75=4.5,将样本数据从小到大排列，第五个数为6，故B正确. 对于C,最大的数为8，最小的数为1，极差为7，故C正确 对于D,=石(4+02×3+12+3)=号，故D错误 11.答案ACD 命题透析本题考查导数及其应用. 2 解析对于A,令x)=0,由。>0，得智=0，则方程有唯一解x=-,即)有1个零点，故A正确 对于B,由题意知f(x)的定义域为(-0,1)U(1,+∞).若a>-1,当x从左边趋近于1时，e→e,x+a→l+ a>0,x-10且x-1<0,所以f八x)→-0；当x从右边趋近于1时，ee,x+a→1+a>0,x-10且x-1>0, 所以f(x)→+0，因此f(x)不可能单调递增.同理可分析a<-1的情形，故B错误 对于C)±2-山，当a>-1时)-收>0，即>，故c正跪 (x-1)2 对于D,当x≤0时，显然f(x)1≥0≥x成立；当x>0时，x+a>x>0,易知e>x+1>1x-1l,此时f(x)1= e'(x+a) x-1 ->>出=x放D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12答案号 命题透析本题考查等比数列的通项公式， 解析设1a,的公比为g(g>0),则g=82=4,得=7，所以，=a,9=之 asas a gaq 13.答案3 命题透析本题考查几何体的体积计算： 解析四棱维C-B0,B的商为号1B,其体积为了×号1B×2×EB=6,解得6=3， 2 14.答案22 命题透析本题考查双曲线的几何性质，双曲线与直线的位置关系， 解析如图设C的左焦点为r,连接AP,BaP,∠A0F=∠APA△40F△MPR职-品-物- 1MP1=1401-号4B1,P8l=E1P0L设C的半焦距为c(e>0),则1BF1=反c,由对称住，可得 IAFI=IBFI=√2c,.IAF1=5c+2a,.IA01=c+5a.在△A0F中，由余弦定理得210A1 IOFIcos∠A0F= 10A2+10F12-1AF12.又O求.A=10a2,即O市.Oi=-5a2=10F110A1·cos∠A0F,联立两式，得(c+ 万a)2+c2-(万c+2a)2=-10a2,化简，得c=2万a,故离心率e=二=2万. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望. 解析（1)有放回地抽取两次，则不同的结果共有6×6=36（种）. 满足m+n=4的有序数对(m,n)有(1,3)，（2,2)，(3,1)，共3种情况，…（2分) 放P(A)=君-宣 …(5分） (2)X的所有可能取值为1,2,3,4,5， X=)后分(X=2)意房X=)是方 44 31 PX=4a后PX=)吉 (10分) 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 4 品 1 3 (11分) 所以(X)=1×写+2×告+3×5+4×后+5×方=子 4 2 (13分) 16.命题透析 本题考查数列的递推关系，以及数列求和. 解析(1)因为子1一侣}是公差为宁的等关数别。 所以2=1+2(a-)=空，即s.=生， a 20。…………（3分) ≥2时，0=5。-S0,-0,整理可得(n-1)0,=m,, (5分) 所以品品号会号2 累乘得会-一×二×…×号×2=，所以a=2(e也满足该式， 故a。=2n. (8分) (2)由(1)知S.=n(n+1), 所以6=2怎 n·2" 2+12” S.=(n+1)n+2)t2n+,… (12分) 所以T。=b,+b2+b3+…+bn =32+2222 空3*本3+54+大2 2 n+2n+1 2a1 %t2 (15分) 4 17.命题透析本题考查空间向量及其应用. 解析（1)AB是圆柱的母线，∴.AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD, BC是下底面圆的直径，CD⊥BD. 又：AB∩BD=B,.CD⊥平面ABD. (3分) 又CD=BCsin∠CBD=4×7=2, 故点C到平面ABD的距离为2.… (5分) (2)如图所示，以D为坐标原点，DB,DC所在的直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系. 由题意知圆柱底面圆的半径为2，可设P(3+2cos0,1+2sin0,3),0e[0,2π). 由已知可得D(0,0,0),C(0,2,0),则D元=(0,2,0)，D=(5+2cs0,1+2sin0,3).…(8分) 设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),则 rD元·n=0,y=0, 可取n=(-3,0,5+2c0sg).…（10分) D币.n=0【(5+2cos0)x+3z=0, A 易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1). :二面角P-CD-B的大小为号， I3 +2cos 01 1 Icos(m=ImlIn 1244.3csoo 二= 2, 解得c0s0=0或-3（舍去）.… （13分) ∴.sin0=±1，.P(5,3,3)或P(5,-1,3), 又A(25,0,3),故AP=25或AP=2.…(15分) 18.命题透析本题考查抛物线的性质. 解析(1)由题意设直线AB的方程为y=kx+2, 联立C,与直线AB的方程，消去y,得x2-4-8=0, 设4)，B(,等)则名+=4，出=-8 …(3分) 一5 破=+号亭=-8+4=4，为定批 (5分) (2)直线0A:y=子，与C的方程联立，消去，得2+2x=0, =0或-2…0(-24，》同理，(-2，》 成=2-2 (8分) 又威=(k-,:成=2威放B/D服 (10分) (3)由(2)知D成=2BAAB是△PDE的中位线，A,B分别是PE,PD的中点. 如图，取B的中点，则0耐=之耐+子成。 0币=0i+A市=0+E=0i+E动+0=20Oi+20成=40i (12分) :色空，，我中云+店=(%+6)产-24,5=16416. M(2k,2+2),即0i=(2k,2k2+2), .O币=(8k,82+8),… …(14分) PQ1=8+(8歌+8-14可=√64(-)广+32≥4万，当k=±之时，取等号， .IPQ1的最小值为4万.… (17分) /D 19.命题透析本题考查函数与导数的综合问题. 解析（1)若a=2,则f(x)=ln(1+x)-2sinx, 了()=+-2asx,所以0)=-l, 又f(0)=0,所以所求的切线方程为y=一x… (3分) (2)/(x)=1+-acsx 当xe[受时，十>0.msx≤0，又a≥1，所以f()>0.…(4分) 6 当xe(0,受）时，令u()=f(),则r()=++asin, 1 0,号》上隐始且uo-10-》-,引 +a>0 所以存在6∈(0，罗），使得u'(x)=0. (6分) 所以当0<x<,时，u(x)<0(x)单调递减，当<x<受时，(x)>0(x)单调递增， 所以f'(xo)<f'(0)=1-a≤0， ”罗=雪0，所以存在。，使得∫(x)=0 当0<x<x,时f'(x)<0f(x)单调递减，当x1<x<π时f'(x)>0,f八x)单调递增， 所以f(x)在(0，T)上存在唯一极（小）值点x……(8分) 所以f(x)<f(0)=0,又因为f(m）=l1n(1+)>0, 所以存在2∈(x1,π)，使得f八x2）=0, 所以f(x)在(0，)上存在唯一零点x2,得证.… (9分) (3)由f(x2)=0,得ln(1+x2)=asin2, 由r(,）=7中名-a与=0，得7名=as名，所以钟2=2a咖名m=24 1+x1 因为a≥1，所以待证不等式等价于sin名3>sin2x. 所以∈（平，受），即2∈（受，，同理可得e(Ξ， 由于sinx在区间（7，m上单调递减，要证sin名>sin2x,只需证名<2x… (11分) 又因为f(x)在(x1,π)上单调递增，所以只需证f2x)>f(x2)=0. … (12分) 2x,)=ln(1+2x,)-asin2x,=lh(1+2x)-+ 2sin 2x1 借助x>sinx(x>0),可得2x,)>lh(1+2x)-+名 令e+2条则uw220产20恒， 2x2 所以叫(x)在(-，+∞上单调递增，所以(x)>(0)=0, 即(2x)>0成立，故原不等式成立 (17分) 7 高三质检一数学·命题报告 本套试卷整体结构规范，题型分布合理，严格对标《普通高中数学课程标准》和近年高 考命题趋势，体现出“基础性、综合性、应用性、创新性”四位一体的命题理念。 首先，注重基础，突出主干知识考查。试卷覆盖高考全部内容。如第1题复数运算、第 2题集合运算、第12题等比数列等，均立足基础知识，强调通性通法，体现对数学基本概 念与运算能力的重视。 其次，强化综合，提升关键能力要求。多道题目融合多个知识点，考查学生知识迁移与 综合应用能力。例如第18题以抛物线为载体，融合直线与圆锥曲线的位置关系、向量数量 积、平行判定及最值问题，层层递进，逻辑严密：第19题函数与导数综合题，结合切线、 极值、零点与不等式证明，全面考查学生的逻辑推理与数学抽象素养。 再次，关注应用，体现数学建模意识。第8题以大气压随海拔变化为背景，引入对数模 型与实际数据表，要求学生结合物理情境进行数学分析与判断，体现了“数学建模”核心素 养的落地，呼应新高考“无情境不命题”的导向。 此外，适度创新，引导深度学习。如第14题双曲线与向量数量积、角度条件结合，第 17题圆柱的空间几何问题，均在传统题型基础上设置新颖条件，考查学生在陌生情境中分 析问题、转化问题的能力。 最后，结构科学，难度梯度合理。选择题由易到难，填空题与解答题层次分明，压轴题 (如第18、19题)具有较强区分度，既保障了基础分的获取，又为优秀学生提供了展示空 间。 综上，本套试卷命题严谨、导向明确，既夯实基础，又聚焦素养，较好地发挥了诊断教 学、引导复习的功能，具有较高的模拟价值与教学参考意义。 多维命题细目表 关键能力 题号 题型 分值 预设 具体知识点 逻辑 运算 空间 数学 创新 难度 思维 求解 想象 建袂 能力 5 复数的概念及运算 易 2 5 集合的表示与运算 易 3 5 椭圆的定义与几何性质 单选题 5 三角函数的图象 中 5 5 函数的表示、导数的概念与应用 中 6 5 图与圆、直线与圆的位置关系 中 5 三角恒等变换 必 8 5 对数在实际生活中的应用 难 9 6 平面向量的基底 易 10 多选题 6 样本的数字特征 为 11 6 导数及其应用 难 12 5 等比数列的通项公式 易 3 填空题 5 棱锥的体积 8 14 5 双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系 难 15 13 古典概型、随机变量的分布列与数学期单 易 16 15 等差数列、数列的递推关系、裂项法求和 中 解合题 15 空间向量及其应用 中 18 17 地物线的性质、直线与抛物线的位置关系 难 19 17 函数与导数的综合 难