精品解析：辽宁省大连市金普新区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

九年级（上）十月学情调查 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线 的顶点坐标是 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 3. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A. y＝2(x﹣2)2﹣1 B. y＝2(x+2)2﹣1 C. y＝2x2﹣3 D. y＝2x2+1 5. 关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 7. 如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点是抛物线上的一点，则_______________． 12. 已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____． 13. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 14. 如图，有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是，则矩形铁皮的宽为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在第一象限内，且点A 在点B的左侧，双曲线 同时经过点A，B，若点A 的横坐标为1，则k的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）二次函数的图象经过点和．求此二次函数的表达式． 17. 如图，直线与双曲线 相交于，B两点，与x轴相交于点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数表达式； （2）直接写出当时，关于x的不等式 的解集． 18. 受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某科技创新企业今年第一季度的利润为2500万元，第三季度的利润为3600万元 （1）求该科技创新企业第一季度到第三季度平均每季度的利润增长率； （2）若保持利润的增长率不变，求该科技创新企业今年第四季度的利润． 19. 某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． （1）在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； （2）若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 20. 商场购进某种新商品每件进价为50元，在试销期间发现，当每件商品的售价为60元时，每天可销售30件．当每件商品的售价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． （1）当每件商品的售价为65元时，商场销售该商品每天可盈利多少元； （2）商场销售该商品每天盈利能否达到410元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． 21. 综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 （1）求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 22. 定义：点P在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，我们称二次函数是一次函数关于点P的“生成函数”． 例如：点在一次函数的图象上，点关于y轴对称的点在反比例函数 的图象上，所以一次函数关于点的“生成函数”是 （1）求一次函数关于点的“生成函数”的表达式； （2）当时，（1）中所求的“生成函数”的最小值为，求m的值； （3）设（1）中所求的“生成函数”的图象与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线与函数图象交于另一点D，连接，坐标原点为O，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点为，将抛物线平移，得到抛物线，且抛物线的顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．设抛物线的对称轴为直线，抛物线与的交点为，点的横坐标为． （1）求点的纵坐标（用含的代数式表示）； （2）求证：； （3）过点作轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，若，求的值； （4）在（3）的条件下，抛物线与抛物线组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）十月学情调查 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线 的顶点坐标是 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数的定义即可求出答案，熟练掌握二次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、是一次函数，故A不是二次函数，不符合题意； B、是反比例函数，故B不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，故C是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，故D不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2. 若反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴函数图象过二、四象限，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限． 3. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D． 4. 若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A. y＝2(x﹣2)2﹣1 B. y＝2(x+2)2﹣1 C. y＝2x2﹣3 D. y＝2x2+1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可． 【详解】解：由题意知平移后的函数关系式为：， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减． 5. 关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 6. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 7. 如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴． 故选D． 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握该知识点并找出等量关系是解题的关键．设比赛组织者应邀请个队参赛，那么每个队都要参加场比赛，那么总共有场比赛，然后根据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”，列出方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，那么有 故选：B． 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，将化为可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①不正确，不符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 由可得， 当时，， 当时，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的由②③④． 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点是抛物线上的一点，则_______________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键．将代入，然后解方程即可得到答案． 【详解】解：点是抛物线上的一点， ， 故答案为：9． 12. 已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 反比例函数，当时，图象分布在一、三象限，在每个分支中，y随x的增大而减小；当时，图象分布在二、四象限，在每个分支中，y随x的增大而增大．据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，反比例函数，在时，y随x的增大而减小， 该反比例函数图象分布在第一象限，，解得：． 故答案为：． 13. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 14. 如图，有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是，则矩形铁皮的宽为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设矩形铁皮的宽为，则长为，则盒子的宽为，长为，根据底面积长宽计算即可． 【详解】解：设矩形铁皮的宽为， ∵长是宽的2倍， ∴长为， 在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子， 则盒子的宽为，长为， ∵盒子的底面积是， ∴， 即， 解得：（舍去）． 即矩形铁皮的宽为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在第一象限内，且点A 在点B的左侧，双曲线 同时经过点A，B，若点A 的横坐标为1，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，设，过点作轴，作，交的延长线于点，证明，进而求出点坐标，根据双曲线 同时经过点A，B，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，过点作轴，作，交的延长线于点，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线 同时经过点A，B， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）二次函数的图象经过点和．求此二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和配方法求一元二次方程；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）用配方法解答即可； （2）把两个点的坐标分别代入中得到关于的方程组，然后解方程组求出即可； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴此二次函数的表达式为． 17. 如图，直线与双曲线 相交于，B两点，与x轴相交于点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数表达式； （2）直接写出当时，关于x的不等式 的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：由题意，； ∴； 把，代入，得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 联立，解得或， ∴； 由图象可知：的解集为． 18. 受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某科技创新企业今年第一季度的利润为2500万元，第三季度的利润为3600万元 （1）求该科技创新企业第一季度到第三季度平均每季度的利润增长率； （2）若保持利润的增长率不变，求该科技创新企业今年第四季度的利润． 【答案】（1）20% （2）4320万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设科技创新企业第一季度到第三季度利润的季度平均增长率为x，根据第一季度的利润为2500万元，到第三季度，利润达到3600万元，列一元二次方程，求解即可； （2）根据利润平均增长率为，进一步计算即可． 【小问1详解】 解：设该企业平均每季度利润的增长率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：该企业平均每季度利润的增长率为； 【小问2详解】 解：（万元） 答：企业今年第四季度的利润为4320万元． 19. 某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． （1）在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； （2）若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2）时间为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出水升温到时的时间，以及水降温到时的时间，作差即可． 【小问1详解】 解：设从水温为时开始加热，经过 分钟加热到 ， 则，解得， 水温下降过程中，设 与的函数关系式为 ， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中， 与的函数关系式是 ； 【小问2详解】 设从水温为时开始加热，经过分钟加热到， 则 ，解得： ， 在降温过程中，水温为时， ，解得， ， 在这一过程中，水温不低于的时间为． 20. 商场购进某种新商品每件进价为50元，在试销期间发现，当每件商品的售价为60元时，每天可销售30件．当每件商品的售价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． （1）当每件商品的售价为65元时，商场销售该商品每天可盈利多少元； （2）商场销售该商品每天盈利能否达到410元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）375元 （2） 解：商场每天盈利不能达到410元． 理由：设每件商品涨价元，根据题意得， 整理得， ∴， ∴方程没有实数根， ∴商场每天盈利不能达到410元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）每件商品的售价为65元时，涨价元，日销售量减少件，根据题意计算即可； （2）设每件商品涨价元，根据题意列出方程，根据根的判别式可知方程没有实数根，则商场每天盈利不能达到410元． 【小问1详解】 解：（元） 答：当每件商品的售价为65元时，商场每天可盈利375元； 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 （1）求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为，然后运用待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，然后用待定系数法求得直线的表达式，然后求得点的纵坐标以及时足球的高度，最后求得答案； （3）建立新的函数，再利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得； ， 将代入中，得， ∴足球到模拟人墙顶端的距离为：米； ②设足球飞行过程中距斜坡的铅直高度为，则 ∵， ∴有最大值，当时，的最大值为， ∴足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度为． 22. 定义：点P在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，我们称二次函数是一次函数关于点P的“生成函数”． 例如：点在一次函数的图象上，点关于y轴对称的点在反比例函数 的图象上，所以一次函数关于点的“生成函数”是 （1）求一次函数关于点的“生成函数”的表达式； （2）当时，（1）中所求的“生成函数”的最小值为，求m的值； （3）设（1）中所求的“生成函数”的图象与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线与函数图象交于另一点D，连接，坐标原点为O，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3） 证明：令 ，解得 ， ； 令，则 ； ． 如图，过点作交延长线于点 轴， ， 四边形是矩形． 又 ， 四边形是正方形， ， ，抛物线的对称轴为直线， 轴， ， ， ． ， 又 ， ． ． ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数和二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法结合新定义求出的值，进而得到二次函数的表达式即可； （2）根据二次函数的图象和性质，分3种情况讨论求解即可； （3）先求出的坐标，过点作交延长线于点易得四边形是正方形，证明，得到，根据正方形的性质结合角的和差关系即可得证． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∵点关于y轴对称的点在反比例函数的图象上， ∴， ∴一次函数关于点的“生成函数”的表达式为； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，的最小值为， ∴当，即时，当时，函数有最小值为，解得； 当时，则当时，函数有最小值为， 解得或（舍去）； 当时，则当时，函数有最小值为， 解得或，均不合题意，舍去； 故或； 【小问3详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点为，将抛物线平移，得到抛物线，且抛物线的顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．设抛物线的对称轴为直线，抛物线与的交点为，点的横坐标为． （1）求点的纵坐标（用含的代数式表示）； （2）求证：； （3）过点作轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，若，求的值； （4）在（3）的条件下，抛物线与抛物线组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得， ∵抛物线是由抛物线平移得到的， ∴． 令，则， 整理得，， ∵点不与点重合， ∴， ∴． 即； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先求出，，待定系数法求出直线的解析式，根据抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，得出点的横坐标为，当时，求出，即可得点的纵坐标； （2）由（1）得，根据抛物线是由抛物线平移得到的，得出．令，则，即可证明； （3）如图，根据抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，过点，且轴，点的横坐标为，由抛物线的对称性得，，，根据，列出方程求解即可； （4）由（3）得，则，，求出的横坐标，当时，代入，从而得．根据当时，图象的最低点的纵坐标为，求出，根据点关于直线对称的点的坐标为，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． ∵抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的纵坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∵过点，且轴，点的横坐标为， 由抛物线的对称性得，，， ∵， ∴，解得； 【小问4详解】 解：由（3）得， ∴， ∴， ∵的横坐标， 当时，， ∴． ∵当时，图象的最低点的纵坐标为， ∴， ∵点关于直线对称的点的坐标为，图象的最高点的纵坐标为， ∴． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的平移，二次函数最值，抛物线的对称性，综合性强，难度大，熟悉以上内容并结合数形结合思想解答是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $