精品解析：河北省石家庄实验中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

石家庄实验中学2026届高三年级第一学期期中考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合具体化，然后由交集运算可得. 【详解】由得，所以， 又，所以. 故选：B 2. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ） A. A，M，O三点共线 B. M，O，A1，A四点共面 C. B，B1，O，M四点共面 D. A，O，C，M四点共面 【答案】C 【解析】 【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误. 【详解】因为，则，，，四点共面. 因为，则平面，又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面. 由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面. 故选：C. 3. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 4. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的夹角为，所以A错误， 对于B，由于四边形不是平行四边形，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以，所以C正确. 结合图形可知在上的投影向量与的方向相反，所以D错误. 故选：C 5. 已知三棱柱的所有顶点都在球的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球的表面积为，则三棱柱的体积为 A. B. 12 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，可得，从而得到结果. 【详解】因为三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同， 所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R， ∵球O的面积为 ， ，解得， ∵底面和侧面截得的圆的大小相同， ∴， ∴，① 又∵，② 由①②得， 则该三棱柱的体积为． 故选A. 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 6. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义,结合函数解析式判断单调性可得答案. 【详解】对于A，时，，函数在上单调递增，A错误； 对于B，函数是奇函数，B错误； 对于C，函数是偶函数，当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，由得函数的定义域为，不关于原点中心对称，D错误. 故选：C. 7. 在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角（）交单位圆于点A、顺时针旋转角（）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为，且的面积为，则点B的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设得，，显然，利用三角形面积公式列方程得，进而得到并求，结合点B在第四象限即可得答案. 【详解】由题设，点A的纵坐标为，得，，显然， 而，即， 又，则，故，则， 所以， 又点B在第四象限，所以点B的纵坐标为. 故选：A 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l的斜率为 B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l不经过第四象限 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式，易得其斜率和纵截距，结合其几何意义易于判断A,B,C项，对于D项，只需在直线上任取两点，求得两点间的向量，只要是与其共线的向量都能作为一个方向向量. 【详解】对于A，B项，由，可得：，故其斜率为，倾斜角为，故A项正确，B项错误； 对于C项，由直线知其斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误； 对于D项，取直线上两点，，可得：，即直线的一个方向向量为，故D项正确． 故选：AD. 10. 已知函数，下列结论成立的是（ ） A. 函数在定义域内无极值 B. 函数在点处的切线方程为 C. 函数在定义域内有且仅有一个零点 D. 函数在定义域内有两个零点，，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出定义域与导函数可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C；根据选项C可判断D. 【详解】A，函数定义域为， ， 在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确； B，由，则， 又， 函数在点处的切线方程为 即，故B正确； C，在上单调递增， 又， ， 所以函数在存在，使， 又，即， 且， 即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误. D，由选项C可得，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 在正方体中，，，，分别为，，的中点，，分别为，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法正确的是（ ） A. 不可以是六边形 B. 存在点，使得 C. 当经过点，时，点到平面的距离的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，可以把截面补全可知截面的形状为六边形故A选项错误；对于B选项，等价于在平面上的射影与垂直，从而计算出点的位置；对于C选项，运用等体积法将问题转化为求点到距离的最小值；对于D选项，求空间折线段的最小值要展成直线段. 【详解】 如图， 对于A 取中点，中点，中点，在线段上取点，使得，在线段上取点，使得，在线段，上取点M，使得. 易知，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心， 所以，，，，，六点共面， 又因为， 所以平面 故A错误. 对于B， 当时，在中结合勾股定理可知. 因为，，所以平面， 又平面， 所以， 故B正确. 对于C， 当经过点，时，为平面AFP. 因为是定值， 所以要使得点到平面的距离最大，那么的面积最小.由于为定值， 即到的距离最小.由于平面，且， 只需求到的最小距离即可， 当运动到时距离最小， 则到的最小距离为， 即到的最小距离为， 此时， 则点到平面的距离的最大值为， 故C正确. 对于D， 延长至使得，则， 当且仅当，， 三点共线且垂直于时，取最小值， 最小值为， 故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 【答案】 【解析】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为， 图B，彩绳长度最小值为， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为. 故答案为：. 13. 设当时，函数取得最大值，则______. 【答案】； 【解析】 【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 14. 过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，___________. 【答案】## 【解析】 【分析】易得，从而可得，求出取得最小值时，的值即可. 【详解】由题意可得， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则， 当取最小值时，则取得最小值， ， 此时， 又为锐角，所以， 所以， 即当取最小值时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求的最小值是解决本题的关键. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心圆M：及其上一点. （1）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且，求直线l的方程； （2）设点满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）确定圆心和半径，根据平行得到直线方程为，根据弦长公式结合圆心到直线的距离得到答案. （2），，即在圆的内部，代入计算得到答案. 【小问1详解】 ，即，故圆心，， ， 设直线方程为，， 故圆心到直线的距离为，即， 解得或，故直线方程为或. 【小问2详解】 ，即，， 故在圆的内部，即， 解得，即实数的取值范围是 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为，为边上的一点， （i）若，求长． （ii）若，求长的最小值； 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小； （2）（i）由已知得，若且，则，利用面积公式得，进而有，最后应用余弦定理求边长； （ii）由已知可得，应用向量数量积的运算律得，根据三角形面积公式得，最后应用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由，则， 所以，则， 【小问2详解】 （i）由题设，则， 若且，如下图示， 由，，则，则， 所以，则， 故； （ii）由，如下图示，， 所以，则 ， 又，则，故， 当且仅当时取等号，故长的最小值为. 17. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ADE的一个法向量以及，进而可证得结论； （2）利用空间向量求线面角的坐标公式即可求出结果； （3）利用空间向量求二面角的坐标公式即可求出结果. 小问1详解】 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得，. 因为平面，且平面，所以，又，且，所以平面，故是平面ADE的一个法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. 【小问2详解】 依题意，， 设为平面BDE的法向量， 则，即，不妨令z=1，可得， 设直线与平面所成角，因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面BDF的法向量，则，即. 不妨令y=1，可得 由题意，有 由图可知平面BDE与平面BDF夹角为锐角，所以平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求的最大整数值. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）3 【解析】 【分析】（1）对函数求导，确定其单调性，进而可得极值； （2）根据题意对任意恒成立，令，求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 令，得，即函数在上单调递减， 令，得，即函数在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以函数在上存在唯一零点，且，， 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的最大整数值为. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，若直接求最值，要分类讨论，难度很大，所以一般通过参变分离转化为最值问题，可避免分类讨论. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的最小正周期与单调区间； （2）若对于任意，恒有，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，. 【答案】（1）最小正周期为，的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用周期的定义求函数的最小正周期，利用导数求函数的单调区间； （2）求导得，根据求解后再验证即可； （3）由（2）可知，当时，，设，，利用导数可得在区间上单调递减，即有，从而得可得时，，得，利用放缩法即可完成证明. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以的最小正周期为； 对求导得， 令，即，解得，； 令，即，解得，. 故函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为，； 【小问2详解】 对求导得. 注意到，借助“端点效应”可得，解得. 当时，，可得区间上单调递减， 所以， 故实数的取值范围为 【小问3详解】 由（2）可知，当时，. 设，， 则； 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以. 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄实验中学2026届高三年级第一学期期中考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ） A. A，M，O三点共线 B. M，O，A1，A四点共面 C B，B1，O，M四点共面 D. A，O，C，M四点共面 3. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 5. 已知三棱柱的所有顶点都在球的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球的表面积为，则三棱柱的体积为 A. B. 12 C. D. 18 6. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角（）交单位圆于点A、顺时针旋转角（）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为，且的面积为，则点B的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l的斜率为 B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l不经过第四象限 D. 直线l的一个方向向量为 10. 已知函数，下列结论成立的是（ ） A. 函数在定义域内无极值 B. 函数在点处切线方程为 C. 函数在定义域内有且仅有一个零点 D. 函数在定义域内有两个零点，，且 11. 在正方体中，，，，分别为，，的中点，，分别为，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法正确的是（ ） A. 不可以是六边形 B. 存在点，使得 C. 当经过点，时，点到平面的距离的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 13. 设当时，函数取得最大值，则______. 14. 过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，___________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心圆M：及其上一点. （1）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且，求直线l的方程； （2）设点满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围. 16. 已知内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为，为边上的一点， （i）若，求长． （ii）若，求长的最小值； 17. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求的最大整数值. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的最小正周期与单调区间； （2）若对于任意，恒有，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $