精品解析：广东省汕头市澄海中学2025-2026学年高三上学期第一次学段考试数学试卷

2025-2026学年度高三第一学期第一次学段考试 数学科 试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 所以． 2. 设：，：，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合之间的包含关系可得两者之间的条件关系. 【详解】的解集为，而为的真子集， 故p是q成立的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得，再利用数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，在上的投影向量为，则， 因为是单位向量，即，所以， 则． 故选：B． 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 又因为. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求. 故选：A 6. 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 7. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图， 由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取到数计算得，，作差法比较的大小，即可得到大小，利用中间值即可比较大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，，∴. ∵，∴； ∵，∴， ∴. ∴. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意可知，，B选项错误. ， ，A正确. ， ，C正确. ， .D选项正确. 故选：ACD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解. 【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误； 对于B，，，解得，故B正确； 对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（ ） A. 平面与平面的夹角余弦值是； B. 的取值范围是； C. 的值可能是5； D. 点的轨迹的长度为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A,通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面的夹角余弦值；B,当从到连续变化时，找到当或时，截面为正三角形的面积最小；当时，截面为正六边形的面积最大，再求出最小面积和最大面积即可；C,当从到连续变化时，通过观察分析得到答案；D,当从到连续变化时，首先通过观察分析找到点的轨迹是正三角形的重心到正三角形的重心的线段，再利用等体积法等求出这段线段的长度. 【详解】 如图（1），以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2，，,， 对于选项A：平面，平面的一个法向量为，，平面的一个法向量为，，设平面与平面的夹角为，， 选项A正确； 对于选项B：当或时，如图（2），截面为正三角形，且， 为最小值； 当时，截面为正六边形，如图（3），， 为最大值，选项B正确； 对于选项C：当从到连续变化时，截面多边形的边数可能是三角形，六边形，不能是五边形，则选项C错误； 对于选项D：重心的轨迹是正三角形的重心到正三角形的重心的线段， 设正三角形的重心为，正三角形的重心为， ，，，，， 正三角形的重心到正三角形的重心的线段长度为，选项D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 曲线在点处的切线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】，点在曲线上， ，， 所以切线方程为， 即切线方程为. 13. 已知实数，且满足，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据与的倒数关系，列式求值. 【详解】设，则，因为，所以. 由或（舍去）. 所以. 故答案为：2 14. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，当的面积最大时，四棱锥的高为____________，四棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得点在以弦，所对的圆周角为的优弧上运动，作，可得当为的中点时，此时的面积最大，可得，设等边的中心为，正方形的中心为，过、分别作平面、平面的垂线，交于点为球心，为四棱锥外接球的球心，由即可求解. 【详解】点在以弦，所对的圆周角为的优弧上运动， 作，为垂足，由侧面底面，得底面. 当为的中点时，为等边三角形， 此时的面积最大，且，即四棱锥的高为. 设等边的中心为，正方形的中心为， 过、分别作平面、平面的垂线，且交于点， 则为四棱锥外接球的球心， 显然， 于是四棱锥外接球的表面积为. 故答案为：； 【点睛】 关键点点睛：本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是作出几何体外接球的球心，考查了计算能力以及空间想象能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面四边形中，. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理计算即可； （2）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则，解得. 又由题设知， 所以； 【小问2详解】 ， ， 由，得， 解得. 由余弦定理得， 又，所以. 16. 某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料： 日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日 昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12 该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验． 参考公式：，． （1）求剩余的2组数据都是20日的概率； （2）若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据． ①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程； ②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）． 【答案】（1） （2）① ；②14人 【解析】 【分析】（1）利用列举法求解，先列出从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况，然后找出其中2组数据都是20日的情况，然后利用古典概型的概率公式求解， （2）①根据表中的数据和公式求出y关于x的线性回归方程，②把代入回归方程求解即可 【小问1详解】 记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种． 根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率． 【小问2详解】 ①由所选数据，得，， 所以， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为． ②当时，， 所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． （1）当时，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明如下： 连接交于点，连接， 由 知，，∴， ∵，∴，∴， 又平面，平面，∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用几何性质证明，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设，求出平面的法向量，用表示出平面的法向量，利用向量的夹角公式计算，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，∴为与底面所成的角， 即，∴， 又四边形是直角梯形， 故以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ∴，，， 设平面法向量为，则 ， 即 ，令，则， 设， 则， 设平面的法向量为，则， 即 ，令，则， 因为二面角的余弦值为， ∴，解得， 所以，， 所以. 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：设，由于，所以. 设直线，联立方程：，得， 其中且. 则有，，代入直线得， 所以. 同理设， 直线，联立方程：， 得， 其中且 则有，，代入直线得， 得. 所以 ， 则有直线. 令，得. 当直线的斜率不存在时，则，直线； 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和右焦点到渐近线的距离以及双曲线中关系列等式，即可求得得值，从而得到双曲线的方程. （2）（i）用点差法求得中点弦的斜率，在用点斜式即可写出直线的方程. （ii）利用向量的数量积为得到与垂直，设出两条垂直的直线、分别与双曲线方程联立，写出、的坐标及斜率，再用点斜式写出直线的方程，化简即可得证. 【小问1详解】 设双曲线右焦点为，则有， 由于的一条渐近线的方程为， 由题可得，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，，由题意点是中点， 则，，直线的斜率. 因为、在上，则， 两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即， 检验：直线与联立方程得， 其，符合题意； 所以直线的方程为. （ii）略 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：； （3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 证明：当时，， 要证明，即证，即， 设，则，令得，． 当时，，当时，， 所以为极大值点，也为最大值点． 所以，即．故； （3） 证明：由（2）知（当且仅当时等号成立）， 令，则， 所以 ， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）先求导得，根据的情况，分类讨论即可求解； （2）要证明，即证，即， 设，利用导数研究单调性求最大值即可得证； （3）由（2）知，令，则，又，最后利用裂项相消法即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为． ①当时，，所以在上单调递增， ②当时，令，解得． 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三第一学期第一次学段考试 数学科 试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设：，：，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 7. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 11. 在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（ ） A. 平面与平面的夹角余弦值是； B. 的取值范围是； C. 的值可能是5； D. 点的轨迹的长度为. 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 曲线在点处的切线方程是______. 13. 已知实数，且满足，则________． 14. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，当的面积最大时，四棱锥的高为____________，四棱锥外接球的表面积为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面四边形中，. （1）求； （2）若的面积为，求. 16. 某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料： 日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日 昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12 该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验． 参考公式：，． （1）求剩余的2组数据都是20日的概率； （2）若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据． ①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程； ②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． （1）当时，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：； （3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $