精品解析：湖南岳阳市平江县颐华学校2027届高三第一次月考数学试卷

平江县颐华学校2027届高三年级第一次月考 数学试卷 满分：150 分　　时间：120 分钟　　命题范围：高考全部主干内容 命题人：数学组　　审题人：数学组 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ，故 . 所以 ，元素个数为 . 2. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故 . 亦可由 . 3. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 4. 已知 ，，，则（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法即可判断. 【详解】由于； ； ， 所以. 5. 若将函数 的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数 的图象向右平移个单位， 所得图象对应的函数解析式为 关于y轴对称， 则 ，即， 故的最小正值为 . 6. 设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】直接在长方体模型中，分别找ABD选项的反例可得，对C则由线面垂直的性质定理可得. 【详解】如图：在长方体中， 选项A：如图，记平面为平面，设为直线，设为直线， 显然有，，但，故A错误； 选项B：如图，记平面为平面，设平面为平面，记为直线， 记为直线，显然有，，，但，故B错误； 选项C：由线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行，因此该命题成立，C正确. 选项D：如图：记平面为平面，设为直线，设为直线， 显然有，，但，故D不正确. 7. 已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率列方程，求得，进而求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 8. 已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.） 9. 某校高三年级 名学生某次模拟考试数学成绩的平均数为 ，方差为 .下列说法正确的是（　） A. 成绩的中位数一定是 B. 若每名学生的成绩都增加 分，则新数据的平均数变为 ，方差仍为 C. 若每名学生的成绩都乘以 ，则新数据的方差变为 D. 成绩超过 分的学生人数无法确定 【答案】BD 【解析】 【分析】结合平均数与方差的定义公式，推导数据线性变换后的数字特征变化规律，同时辨析平均数与中位数的概念差异，逐一判断选项正误. 【详解】设500名学生的成绩为， 由题意得原平均数，原方差. 对选项A，平均数反映数据的平均水平，中位数是数据排序后中间位置的数值， 二者无必然相等关系，因此成绩的中位数不一定是105，A错误. 对选项B，每名学生成绩增加5分后， 新成绩为，新平均数， 新方差， 即平均数变为110，方差仍为20，B正确. 对选项C，每名学生成绩乘以2后， 新成绩为，新方差， 而非40，C错误. 对选项D，仅由平均数和方差无法确定成绩的分布形态， 因此无法确定成绩超过105分的学生人数，D正确. 10. 设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（　） A. 公比 B. 首项 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】代入得 即，故A对. 代入得，故B对. ，故C对. ，故D错. 11. 已知函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 在 上单调递增 C. 有 个零点 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断A，应用二次函数单调性判断B，结合零点定义计算判断C，应用二次函数最值判断D. 【详解】，且定义域为R， 是偶函数，A 对； 时 ，在 上单调递减、 上单调递增，B 错； 令 得 ，即 ，共 3 个零点，C 对； ，当 时取等，D 对. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项，运算求解. 【详解】的展开式的通项为： 令，则 ∴的展开式中的系数为240 故答案为：240. 13. 直线 被圆 截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 14. 已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用零点列方程，再结合二次函数特征求解. 【详解】令 得 . 设 ，其图象为 在 轴下方部分翻折到轴上方所得， 在 、 处为 ，在 处取得最大值 .要使方程有 4 个不同实根，需 ， 故实数的取值范围是. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知 . （1）求角的大小； （2）若 ，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式计算求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得. 又， 代入得，即. 因为，，所以，又，故. 【小问2详解】 由余弦定理得，解得. 所以. 16. 已知数列满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【答案】（1）数列满足 ， ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案； （2）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ，即； ∴ 【小问2详解】 解：， ， ， ， 17. 四棱锥的底面是矩形，底面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接. 因为底面是矩形，所以为的中点；又为的中点，故. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， . 由图可知二面角为锐角，故其余弦值为. 18. 袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同.甲、乙两人依次不放回地各摸出个球. （1）求甲摸出的个球都是红球的概率； （2）在甲摸出的个球都是红球的条件下，求乙摸出的个球中至少有个白球的概率； （3）设表示乙摸出的个球中白球的个数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算求解即可； （2）确定甲摸出红球后剩余的球总数与红球个数，再根据古典概型概率计算公式计算求解即可； （3）列举随机变量的可能取值，根据全概率公式计算对应概率可得分布列，进而可得数学期望. 【小问1详解】 记事件为甲摸出的个球都是红球， 则， 所以甲摸出的个球都是红球的概率为； 【小问2详解】 记事件为在甲摸出的个球都是红球的条件下，乙摸出的个球中至少有个白球， 在甲摸出2个红球的条件下，袋中还剩个红球、个白球， 则， 所以在甲摸出的个球都是红球的条件下，乙摸出的个球中至少有个白球的概率为； 【小问3详解】 的可能取值为. 甲摸出的情况：摸到红、红白、白的概率分别为 ，，. . . . 所以的分布列为 . 19. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）当时，，，， 设，则，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为，所以恒成立， 所以在上单调递减， 当时，，因此对于，. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）根据题意，构造函数 ，分别讨论和时的单调性即可； （3）根据题意，构造函数，利用求导得到的单调性，进而得到的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， ① 当时，恒成立，在上单调递增；且时，时， 故有唯一零点且为变号零点，有极值点， ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平江县颐华学校2027届高三年级第一次月考 数学试卷 满分：150 分　　时间：120 分钟　　命题范围：高考全部主干内容 命题人：数学组　　审题人：数学组 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ，，，则（　） A. B. C. D. 5. 若将函数 的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（　　） A. B. C. D. 6. 设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.） 9. 某校高三年级 名学生某次模拟考试数学成绩的平均数为 ，方差为 .下列说法正确的是（　） A. 成绩的中位数一定是 B. 若每名学生的成绩都增加 分，则新数据的平均数变为 ，方差仍为 C. 若每名学生的成绩都乘以 ，则新数据的方差变为 D. 成绩超过 分的学生人数无法确定 10. 设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（　） A. 公比 B. 首项 C. D. 11. 已知函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 在 上单调递增 C. 有 个零点 D. 的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 的展开式中的系数为________． 13. 直线 被圆 截得的弦长为______. 14. 已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知 . （1）求角的大小； （2）若 ，，求的面积. 16. 已知数列满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 17. 四棱锥的底面是矩形，底面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同.甲、乙两人依次不放回地各摸出个球. （1）求甲摸出的个球都是红球的概率； （2）在甲摸出的个球都是红球的条件下，求乙摸出的个球中至少有个白球的概率； （3）设表示乙摸出的个球中白球的个数，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $