精品解析：福建省泉州市南安第一中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试题

南安一中2025-2026学年高一上学期第一次阶段考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：“”否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设，二次函数的图象可能是 A. B. C. D. 7. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 陈老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知陈老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则陈老师总共跑的圈数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 是减函数 B. 上单调递增 C. 在上单调递增 D. 在上的最小值为 10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A. 8 B. 23 C. 37 D. 128 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 若，则的最大值为8 B. 的最大值为1 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题两个空，第一空2分，第二空3分 12. 已知函数，则_____. 13. 关于的不等式的解集为______. 14. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有__________. ① ②函数的最小值为 ③为R上的增函数 ④关于x的不等式的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． （1）求函数表达式； （2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. （1）求的周长； （2）试用表示，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值 （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 19. 已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为． （1）若，求集合． （2）若，，，求； （3）证明：对任意，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2025-2026学年高一上学期第一次阶段考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集运算计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 已知命题p：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题p：“”，则其否定. 故选：C 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质建立不等式，进而求解定义域即可. 【详解】因为函数有意义，所以，解得. 故选：D 4. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 5. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 6. 设，二次函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为,二次函数，那么可知， 在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意； B中，a<0,b>0,c>0，不合题意； C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D. 7. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的概念判断即可. 【详解】设，则函数在，上均为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递增， 若，则，即， 若，则，可得， 因此，“”是“”的充要条件． 故选：C． 8. 陈老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知陈老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则陈老师总共跑的圈数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设公园的环形道的周长为，陈老师总共跑的圈数为，由题意得到，进而求解即可. 【详解】设公园的环形道的周长为，陈老师总共跑的圈数为，（）， 则由题意，所以， 所以， 因为， 所以，又，所以， 即陈老师总共跑的圈数为7． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 是减函数 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数的单调性判断ABC，结合二次函数的单调性求解最小值判断D. 【详解】因为，所以函数是减函数，故A正确； 函数在上单调递增，且此时有， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确； 函数的图象的对称轴为直线且， 又函数的图象开口向上， 所以在上的最小值为，故D正确． 故选：ACD 10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A. 8 B. 23 C. 37 D. 128 【答案】BD 【解析】 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】因，故； ，故； 因，则；则. 故选：BD. 11. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 若，则的最大值为8 B. 的最大值为1 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断选项A；由重要不等式判断选项B；C选项，由已知得，与相乘， 展开后利用基本不等式求最小值；D选项，由已知得到，化简得出， 结合二次函数的性质可求最小值. 【详解】已知x，y均为正实数， A中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以A不正确; B中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以B正确； C中，若，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题两个空，第一空2分，第二空3分 12. 已知函数，则_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】由解析式知，则. 故答案为：5 13. 关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，解得或. 因此原不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有__________. ① ②函数的最小值为 ③为R上的增函数 ④关于x的不等式的解集为 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值推理判断①②；利用函数单调性定义推理判断③；将不等式等价转化，再利用单调性求解判断④. 【详解】对于①，令，则，而，解得，①正确； 对于②，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，②错误； 对于③，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，③正确； 对于④，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解， （2）根据包含关系列不等式求解. 【小问1详解】 因为或 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 或， 由得当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，得 综上，. 16. 已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． （1）求函数的表达式； （2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解； （2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得 ，所以， 因为对于任意，都有，即恒成立， 故，解得，. 所以； 【小问2详解】 由≥得 当时，不等式恒成立； 当时，， 令，则， 即， 当且仅当时，即时，实数取得最大值. 17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. （1）求的周长； （2）试用表示，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）4； （2），； （3）当时，的面积取得最大值. 【解析】 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长. （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围. （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 依题意，， 则≌，于是, 因此， 所以的周长为定值4. 【小问2详解】 由折叠知，则，即, 由（1）知，即，则， 在中，由勾股定理得， 即，化简得， 而,，则且，即， 所以，. 【小问3详解】 在中,，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值，为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值 （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 19. 已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为． （1）若，求集合． （2）若，，，求； （3）证明：对任意，． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由新定义结合并集运算即可求解； （2）由新定义，结合元素互异性求解即可； （3）由新定义，结合集合交并补运算即可求解. 【小问1详解】 根据定义得， 则 【小问2详解】 因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则， 可得，， 则，所以； 【小问3详解】 由且，可得 且且， 设， ； 设， ； 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $