精品解析：河南省信阳市商城县伏山第二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期9月月考数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该商场10月份的销售量及11，12月份销售量的平均增长率，可得出该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件，结合该店2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵该商场10月某商品的销量为3万件，且11，12月份销售量的平均增长率为x， ∴该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件， 又∵该商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件， ∴可列方程为， 故选：C． 2. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，通过，两点，则，由，从而可判断；当时，抛物线为，，，然后代入即可判断；由方程有四个根，则或，可得每个方程的根和为，然后由，则，，即，再通过，即可判断；由，则，可得点在对称轴处，即顶点，然后通过二次函数对称轴即可判断；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵过，两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故正确； 当时，抛物线为， ∴，， ∴，故错误； ∵方程有四个根， ∴，各有两个根， ∴每个方程的根的和为， ∴四个根总和， 由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴点在对称轴处，即顶点， ∴为最大值，故且， 要满足，由，则需比离对称轴更近， ∴，解得，故错误； 综上，正确结论为， 故选：． 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（ ） A. 5 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由一元二次方程的判别式可得，由根与系数的关系可得，由此即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，且，同号， ∴， 解得：， 又∵，同号， ∴，即， 综上所述：， ∴可能的值为， 故选：B． 5. 二次函数的最小值是，则的值是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下，则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键． 由题知，，二次函数开口向上，又对称轴，接着代入求解即可． 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 6. 函数与的图像如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质和一次函数图像的性质，解决此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质；根据图像上的点，代入二次函数即可求出二次函数，进而可判断出①②③，根据二次函数图像和一次函数图像高低的比较进而可以判断④； 【详解】解：由图像可知：点和点在抛物线的图像上， ∴， 解得：， ∴①错误，②正确，③错误； 由图像可知：当时，， 即当时，， 故④正确； 综上可知：共有2个正确， 故选：C． 7. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质．利用旋转的性质得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：旋转角度， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；由此问题可求解． 【详解】选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 10. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．“如果一个图形沿一条直线折叠，两部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形”，“如图一个图形绕一个点旋转，能够与原图形完全重合，则这个图形是中心对称图形”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C. 是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意． 故选：C 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴求法，解题的关键是掌握对称轴公式或利用配方法将函数化为顶点式（其中对称轴为直线）． 先确定抛物线对应的二次函数一般式中和的值，再代入对称轴公式计算；或通过配方法将一般式转化为顶点式，直接从顶点式中提取对称轴的表达式． 【详解】解：对于抛物线， 其对应的二次函数为一般式，其中，，， 根据二次函数对称轴公式，将，代入得：． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 14. 已知二次函数图象的开口方向__________．（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质．根据抛物线a的符号，确定抛物线的开口方向即可． 【详解】解：抛物线中， 故抛物线的开口向上， 故答案为：向上． 15. 如图，在菱形中，，若点P为边的三等分点，连接，将绕A点顺时针旋转，点P的对应点为Q，射线与射线交于M点，则______； 【答案】或 【解析】 【分析】画出图形，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足分别为点，过点作，交于点， 分两种情况进行讨论，证明，得出相等的角和边，利用角平分线的性质和等面积法得出的长度，再利用等面积求出的长度即可． 【详解】解：①当点靠近点时，如图所示，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足分别为点，过点作，交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵绕A点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为边的三等分点，且点靠近点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 根据等面积得，， ∴； ②当点靠近点时，如图所示，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足分别为点，过点作，交于点， ∴， 同①得，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，角平分线的性质，线段的等分点，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 三、解答题（共 8 题，共 75 分） 16. 解一元二次方程 （1）． （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法进行解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴或． 17. 嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成4，请你解方程； （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是2．”通过计算说明原题中“□”是几； （3）若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 【答案】（1） （2）8 （3）28 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）利用根与系数关系定理求解即可． （3）利用根与系数关系定理解答即可． 本题考查了配方法求方程的根，根与系数关系，活用根与系数关系，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，中的数是n，根据题意，得， 解得：， 故中的数是8． 【小问3详解】 解：设中的数是n，是方程的两个实数根， 则， 根据题意，得， 又都是整数，且 ， 由于， 故 或或， 解得或或， 故正数之和为． 18. 请在图中的表格里画出二次函数的图象，并结合图象回答下列内容： （1）与x轴的交点坐标是______，顶点坐标是______． （2）结合图象回答：当时，x的取值为______． （3）结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】（1）函数图象如图所示： ，； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）画出函数图象，令，得到x的值即可得到与x轴交点坐标；然后找到对称轴即可得到顶点坐标； （2）借助图象得到抛物线在x轴下方时自变量x的取值范围解答即可； （3）根据函数图象得到y的取值范围求解即可． 【小问1详解】 由图象可知当或时，， ∴与x轴的交点坐标是，； 当时，y有最大值，最大值为， 故顶点坐标为； 故答案为：，；； 【小问2详解】 解：由图可知当时，抛物线在x轴的下方， ∴当时，x的取值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可知当，y的取值范围为， 故答案为：． 19. 某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克．现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）每次降价的百分率为 （2）每千克应涨价元 （3） 这6000元不是商家获得的最大利润，理由如下： 设商场每天的盈利为元， 由（2）可得：， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴这6000元不是商家获得的最大利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设每千克应涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （3）设商场每天的盈利为元，则，再结合二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 由题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得或， ∵为了尽快减少库存， ∴， ∴每千克应涨价元； 【小问3详解】 略 20. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广． 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． 求这个茶园的长和宽． 【答案】这个茶园的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等式是解决本题的关键． 设这个茶园的宽为，则可表示这个茶园的长，再根据面积为建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个茶园的宽为，则长为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， ， 此时，， 答：这个茶园的长为，宽为． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过两个不同的点和． （1）求（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线交抛物线于点， ①若，求的长； ②若的长随长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①当时可得，，即得抛物线的解析式为，进而得到，即可求解；②由，，可得抛物线的解析式为，即得，进而得到，设，画出与的函数图像，根据函数图像解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图像和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 由①得，， 把代入②，得， ∴， 即， ∵点和是不同的点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，，点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴点， ∴； ②∵，， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 设，则函数图像的对称轴为直线， 画出函数图像如下： 由函数图像可知，当或或时，随长的增大而增大， ∴的取值范围为或或． 22. 如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． （1）求此抛物线的解析式． （2）在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． （3）在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为; （2）点坐标为，的最小值为； （3）存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把点和点的坐标代入，可得和，即可得抛物线的解析式； （2）在线段上取点，作于点，根据勾股定理可得，由垂线段最短可知当于点，交于点时，取得最小值，由等腰三角形的性质，可得点坐标，结合勾股定理和，从而可得，即为的最小值； （3）把点和点的坐标代入，可得直线的解析式，根据题意可知，，若点，，，是平行四边形的四个顶点，则，设，则，根据点和点的位置关系，进行分类讨论，列方程求解，可得每种情况对应的的值，从而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在令，得或， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴，且 ∴， 在线段上取点，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为的长度，点为与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵直线都经过，两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意可知，， 若点，，，是平行四边形的四个顶点，则， 设，则， 若点在点的上方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， 若点在点的下方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，勾股定理，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）将绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的； （2）将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转和平移，熟练掌握旋转三要素和平移规则，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据平移的性质，画出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期9月月考数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（ ） A. 5 B. C. 0 D. 1 5. 二次函数的最小值是，则的值是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 函数与的图像如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 10. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 12. 抛物线的对称轴是直线______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 14. 已知二次函数图象的开口方向__________．（填“向上”或“向下”） 15. 如图，在菱形中，，若点P为边的三等分点，连接，将绕A点顺时针旋转，点P的对应点为Q，射线与射线交于M点，则______； 三、解答题（共 8 题，共 75 分） 16. 解一元二次方程 （1）． （2）． 17. 嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成4，请你解方程； （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是2．”通过计算说明原题中“□”是几； （3）若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 18. 请在图中的表格里画出二次函数的图象，并结合图象回答下列内容： （1）与x轴的交点坐标是______，顶点坐标是______． （2）结合图象回答：当时，x的取值为______． （3）结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是______． 19. 某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克．现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由． 20. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广． 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． 求这个茶园的长和宽． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过两个不同的点和． （1）求（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线交抛物线于点， ①若，求的长； ②若的长随长的增大而增大，求的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． （1）求此抛物线的解析式． （2）在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． （3）在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）将绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的； （2）将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $