精品解析：湖北省襄阳市襄城区法龙中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年八上数学第一次月考 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3. 如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（ ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 4. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 5. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 或 7. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把的一角折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，P是内一点，延长交于点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：，，，．其中正确的是（    ） A. B. C. D. 二．填空题 11. 已知在中，，这个三角形是___________三角形． 12. 如图，D，E分别是上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为______（只填一个条件即可）． 13. 如图，在中，，，点是边中点，设，则的取值范围是_______． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题 16. 如图，点C在的边上，利用直尺和圆规过点C作射线的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 如图，已知，且，，求证：． 18. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 19. 如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． （1）若是中线， 则，则与的周长差为 ； （2）若是的角平分线，，则 ． （3）若是的高，，求的度数． 20. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点，使得； 测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 22. 如图，已知，，分别平分，． （1）求：度数． （2）判断：、、之间关系，并证明． 23. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 24. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八上数学第一次月考 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段能组成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 【详解】自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，选项A、选项B和选项C都与题干不符． 故选：C． 3. 如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（ ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故，间的距离不可能是5米． 故选：D． 4. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； B.根据三角形的三边关系，该三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.根据全等三角形的判定定理（角边角），能作出唯一的，符合题意； D. 根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 6. 已知一个等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：是腰长时，三边分别为、、时，不能组成三角形； 是底边时，三边分别为、、，能组成三角形，周长， 故选B． 7. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴由题意得：， 故选：A． 8. 如图，把的一角折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180度．根据折叠的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，P是内一点，延长交于点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 由三角形的外角性质可得：从而可判定的大小． 【详解】解：∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：，，，．其中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题关键是要熟练掌握并能结合图形列出关系式． 依据题意，由平分平分，可得，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，平分平分， ． 根据三角形外角性质，， ， 即，故正确． 由， 根据三角形内角和定理，， 又， ， 不一定是， ，故错误． 、分别平分和， ． 根据三角形内角和定理，． 又， ，故正确． 由知，由知． ． 不一定是， ，故错误． 综上，正确的是． 故选：B． 二．填空题 11. 已知在中，，这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题． 根据题意，设分别为，然后根据三角形的内角和等于列式求出，作出判断即可． 【详解】解：设分别为， 则， 解得， 所以，， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 12. 如图，D，E分别是上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为______（只填一个条件即可）． 【答案】，或，或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析是解题的关键． 根据已知的和公共角进行分析判断即可． 【详解】，， 当时，根据判定； 当时，根据判定； 当时，根据判定； 故答案是：，或，或． 13. 如图，在中，，，点是边中点，设，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质以及三角形三边关系，通过倍长中线的方法，将已知线段和所求线段转化到中，再利用三角形三边关系来确定的取值范围． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， ，即， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 三、解答题 16. 如图，点C在的边上，利用直尺和圆规过点C作射线的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，作一个角等于已知角，先理解题意，作出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】略 17. 如图，已知，且，，求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】略 18. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 19. 如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． （1）若是中线， 则，则与的周长差为 ； （2）若是的角平分线，，则 ． （3）若是的高，，求的度数． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 20. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 21. 学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； 测得，； 在的延长线上取点，使得； 测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出米． 【详解】解：，， ， ∵ ， 在与中， ， ， 又， 米． 22. 如图，已知，，分别平分，． （1）求：度数． （2）判断：、、之间关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，进而利用三角形的内角和定理可求解； （2）延长，交点，先证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【小问1详解】 解：， ， ，分别平分，， ，， ， ； 【小问2详解】 略 23. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2） 解：，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得且， ， ， ， ，， 的面积． 24. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $