精品解析：湖北省襄阳市保康县保康五校联考2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025～2026学年上学期九年级期中考试 数学试卷 （总分120分 时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形， 根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，又不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：B． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 得或， 解得：， 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 5. 已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解． 【详解】解：∵于的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以，得， ∴；   故选：A ． 6. 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由旋转的性质得出，，则为等边三角形，再根据等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，然后在直角与直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，则，进而求出的值． 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转后得到， ，， ，． 为等边三角形， ，． 点是边的中点， ， ， ， ， 在直角中，，， ． 在直角中，，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及三角形外角的性质，综合性较强，有一定难度，证明出是关键的一步． 7. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键． 8. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【解析】 【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象， 将的图象向下平移3个单位得到的函数图象， ∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：B． 9. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线对称轴是，且与x轴的交点为，可得，即可解答A；再根据抛物线的对称轴是，及，得出，可解答B；然后根据当时，，解答C即可；最后根据抛物线与x轴的交点解答D即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是，且与x轴的交点为， ∴， ∴， 则A不正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 则B不正确； ∵抛物线的对称轴是，且， ∴抛物线的开口向上，且左侧交点， ∴当时，， 即． 则C正确； ∵抛物线与x轴的交点为， ∴， 即． 则D不正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质． 分两种情况作答即可． 【详解】以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，可知，， 如图，作轴交轴于D，作轴交轴于C， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴； 以原点为旋转中心，把点顺时针旋转，得到点， 同理可得； 故答案为：或 13. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 14. 点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，通过转化得出关于a的二次函数是解题的关键． 根据二次函数以y轴为对称轴可得，把点代入，，所以，最后求关于a的二次函数的最值即可． 【解答】解：∵在以y轴为对称轴的二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数为 把代入得到，， ∴， ∴当时，取得最大值为， 故的最大值等于， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】作，使构建等腰直角三角形，证明，证得．由，在和应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作，使，连接． 则． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 在与中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）根据公式法求解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 所以，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 17. 已知：关于方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1） （2）的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）先计算出，根据题意得到，即可求出； （2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ 方程的一个根为3， ∴， 解得， 当时，原方程化为，解得， ∴另一根为1； 当时，原方程化为，解得， ∴另一根为9； ∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9． 18. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标并作出以原点为旋转中心逆时针旋转的； （2）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在的内部，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）A、B两点的坐标分别为；图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据点在坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可，根据旋转的性质画出即可； （2）作出点C关于x轴的对称点P，利用数形结合的思想求出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图可知：A、B两点的坐标分别为； 所作如图所示； 【小问2详解】 所作点P如图所示． 由图可知：． 【点睛】本题考查坐标系下的旋转，平移和对称．熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质，是解题的关键． 19. 某市开展全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该市图书馆每月接纳人数不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为 （2）该市图书馆能接纳第四个月的进馆人次．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解增长率的数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，设进馆人次的月平均增长率为，由此列方程求解； （2）根据（1）中的增长率计算出第四个月的人数，进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：设进馆人次月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：能．理由如下， 第四个月的进馆人次为， 由于， ∴该市图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 20. 如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，求抛物线与坐标轴的交点， （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出直线关系式； （2）根据函数与直线平行，再根据在自变量取值范围内抛物线在直线上方解答即可. 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴点. 当时，， ∴点. 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为； 【小问2详解】 解：函数与直线平行， 当时，. 21. 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 22. 某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）当天销售单价所在的范围为；（3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元. 【解析】 【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式， （2）由（1）的关系式，即，结合二次函数的性质即可求的取值范围 （3）由题意可知，利润不超过即为利润率＝（售价－进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求． 【详解】解： 由题意 （1） 故与的函数关系式为： （2）要使当天利润不低于240元，则， ∴ 解得， ∵，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为 （3）∵每件文具利润不超过 ∴，得 ∴文具的销售单价为， 由（1）得 ∵对称轴为 ∴在对称轴的左侧，且随着的增大而增大 ∴当时，取得最大值，此时 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元 【点睛】考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键. 23. 问题背景：如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求DF：DE的值． 拓展创新：如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值． 【答案】（1）旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2）；（3）+1 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得出，，，，证明，由旋转性质即可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得，，得出，由直角三角形性质得，则可计算出答案； （3）过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE、PE的长即可得解． 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形， ∴，，，，， ， ， 可以由绕点A顺时针旋转得到， 即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x， ∴； （3）， ∴ 点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD， ， 如图，过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE， ∵ 将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP， ，PA=AC． ， ， ， ∴ PE=CD=1． ∵ AB=2，AE=AD=1， ∴ BE===， ， ∴ BP最大值为+1． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是解题关键． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过A点，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线的解析式为，顶点坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，然后求解即可； （2）抛物线l的最高点正好落在直线n上，即该抛物线的对称轴为，然后求解即可； （3）首先计算当抛物线经过点A，B时的m值，然后结合函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得． 解得． 【小问2详解】 解：∵抛物线l的最高点正好落在直线n上， ∴该抛物线的对称轴为． 解得． ∴该抛物线的解析式为． ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 【小问3详解】 解：设该抛物线与线段的交点为M， 当抛物线经过点时， 由（1）可知， ． 当抛物线经过点时， 可知． 解得． ∵， 即该抛物线对称轴， 当该抛物线的对称轴位于点M右侧时，如下图， 可有． 当该抛物线的对称轴位于点M左侧时，如下图， 可有． 综上所述，当或时，抛物线l与线段有公共点． 【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，增减性，二次函数与方程、与不等式的关系，数形结合，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期九年级期中考试 数学试卷 （总分120分 时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 8. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确是（　　） A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 9. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是___________． 13. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 14. 点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ___________． 15. 如图，在四边形中，，，，则的长为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1） （2）． 17. 已知：关于方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 18. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A、B两点的坐标并作出以原点为旋转中心逆时针旋转的； （2）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在的内部，请直接写出x的取值范围． 19. 某市开展全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该市图书馆每月接纳人数不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 20. 如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 21. 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 22. 某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元． （1）求与函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 23. 问题背景：如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求DF：DE的值． 拓展创新：如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过A点，求m值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $