专题05 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题05 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 目录 压轴题型一 圆中最值问题 压轴题型二 圆中翻折问题 压轴题型三 圆中新定义问题 压轴题型四 不规则图形面积计算 压轴题型一、圆中最值问题 1．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点，为半圆的直径，设的中点为，则点为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点，如图， 则为半圆的直径，设的中点为，则点为圆心，连接， ∵点为中点， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F为弧上一动点， ∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值． ∴的最小值为． 故选：A． 2．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小时，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 3．如图，线段，以O为圆心，2为半径作．点P为上的动点，连接，并将绕点A逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作，且，连接，，证明，可得，在以点D为圆心，半径为2的圆上，结合，可得当共线时，最大，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作，且，连接，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在以点D为圆心，半径为2的圆上， 在中，， ∴， ∵， 当共线时，最大， 即长度的最大值为. 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，三角形三边关系的应用，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，从而可得，再证明四边形是正方形，从而可得，再根据当、、三点共线时，最短，利用勾股定理求得，从而可求得的最小值． 【详解】解：作O关于的对称点，连结，，，， 则，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为D′， ∴为的圆心， ∵是等腰直角三角形的外接圆， ∴，，为斜边的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最短， 此时，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质与判定求线段长，点与圆上一点的最值问题，折叠问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5．如图，，点C、D分别是的两边、上的动点，点C、D在运动过程中始终保持 ，以为斜边作等腰直角三角形，点E在的右侧，则线段的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是正确转化为两点之间线段最短；作的外接圆，由圆周角定理得到对应的圆心角是，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理算出线段的长度，再根据两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为F，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为． 故选：B． 6．在四边形中，，，，则长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，圆的相关性质，解题的关键是正确构造外接圆． 先确定点四点共圆，构造四边形的外接圆，连接并延长交于点，连接，然后利用垂径定理的推论得到，，再在中运用勾股定理求出，然后设，则，对运用勾股定理求解半径，可知当为直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点四点共圆， 构造四边形的外接圆，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∵在上运动， ∴当为直径时，取得最大值即为， 故答案为：． 7．如图，在等边中，D，E 分别是边 上的点，连接与 交于点 P，连接，已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、圆心角与圆周角的关系及点与圆的位置关系（最值问题），解题的关键是通过角度推导确定点的运动轨迹为以BC为弦的定圆，再利用“点到圆上点的最小距离等于点到圆心的距离减去圆的半径”计算的最小值． 先根据和等边中，推得，进而得出，确定点在以为弦、所对圆周角为的上；再在优弧取点，利用圆内接四边形对角互补得，结合圆心角是圆周角的2倍得；由得，结合等边的得；最后根据，结合和求出AP的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴在中， 构造的外接圆，连接、、、． 在优弧上任取一点（不与点、重合），连接BQ、CQ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴（圆内接四边形对角互补）， ∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）． ∵（的半径）， ∴是等腰三角形， ∴ ∵是等边三角形，， ∴． 由可得， ∴， ∴在中，，又， 根据勾股定理， 代入得：， 化简得，，解得， 则． ∵点在上， ∴， 即． 故答案为：． 8．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理可知是的直径，圆心在上，利用勾股定理可以求出，以为斜边构造等腰直角，根据，利用勾股定理可知，以点为圆心为半径作圆，在优上取一点，连接、，则，因为，可知点、、、四点共圆，所以点在劣弧上运动，根据两点之间线段最短，可知当点在线段上时的值最小，其中的长度是的半径，则有，利用勾股定理可以求出，利用即可得到的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是的直径，圆心在上， ， ， ， ， 以为斜边构造等腰直角， 则有，， ， 以点为圆心，为半径作圆， 在优弧上取一点，连接、，则， ， 点在的劣弧上运动， 当点、、三点共线时，的值最小， ，， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 9．如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】解：连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 10．如图，的对角线相交于点，是以为圆心，以2为半径的圆上一动点，连接，点为的中点，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质，圆的基本概念等知识点，得到点P的轨迹是解题的关键． 连接，根据平行四边形对角线互相平分知、，由点P为中点得知随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，据此解答可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴、， ∵点P为中点， ∴，且， ∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆， ∴当与交于点P时，最大，为． 故答案为：5． 11．【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 【答案】(1)2或5 (2) (3) (4) 【分析】（1）分两种情况：若点在圆外，若点P在圆内，即可求解； （2）连接，交圆E于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，从而得到当线段取得最大值时，线段也取得最大值，连接，并延长交圆P于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与圆P的半径即可求出的长，进而即可解答； （4）证明，可得，从而得到，进而得到点E在以为直径的圆上运动；取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可得到当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，再求出的长，从而得到的长，进而得到的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，若点在圆外，此时， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5 （2）解：如图，连接，交圆E于点D， 由【模型建立】得：可得的长是点A到圆E上的点的最短距离， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： （3）解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交圆P于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为； 故答案为： （4）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 12．【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 【答案】（1）2（2）（3），理由见解析（4） 【分析】（1）当点P是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点O，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到P的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点M到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作，根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）∵点A是外一点，点P是上一动点．的半径为3，且， 当点P是线段与的交点时，为最短， 此时， 则点P到点A的最短距离为2； （2）如图，连接， 当点P是线段与的交点时，为最短， 当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短， ∵，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为 故答案为：； （3）点P到点C的最短距离为，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点P在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点P即为最小时的位置； ∵正方形的边长为8， ∴， 则 ∴在中，， ∴的最小值； （4）连接， ∵的半径为6，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵弧弧 ∴， ∵ ∴ ∵，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，∵，弧弧 ∴点M在以的上， 当时，点M到的距离最大, ∵ ∴是等边三角形， ∴结合三线合一，点到的距离 ∴的最大面积为 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 压轴题型二、圆中翻折问题 13．如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 【答案】D 【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于， 由垂径定理的， 连接， 在中，， ， 过点作于，同理可得，， 将沿翻折，恰好与弦相切于点， 由翻折对称得，是对应的圆心，连接， ，，， 过点作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， （勾股定理）， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称和勾股定理，以及矩形的判定与性质，是一道几何综合性很强的试题． 14．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用证明，再通过证明四边形的四条边相等，来证明它是菱形，然后利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连线与直线交于点，直线交于点，连结， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹是以为圆心为半径的半圆， ∴其长度为． 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，菱形的判断与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是通过证明四边形的四条边相等，来证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解． 15．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 16．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 将沿所在直线翻折得到△， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图）， 此时即为最小值，过作，交的延长线于， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 当与重合时，最大， 此时，， 在中，由勾股定理得： ， 当与重合时，不存在， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键． 17．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于 ， （）若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而得到，再根据得到，即得，最后根据三角形外角性质解答即可求解； （）过作于，连接，可得，即得的半径为， 由等腰三角形的性质得，又可得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵劣弧沿弦翻折交于点，和都对， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）过作于，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 19．如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】作点O关于弦的对称点D，得点D在上，连接，交于点E，连接．可得为等边三角形．得．证明是等边三角形．得四边形是菱形．由,得，连接，由 得．即得． 【详解】解：如解图，作点O关于弦的对称点D， 由对称性知，D在上， 连接，交于点E，连接． 则． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴四边形是菱形． ∵, ∴， 连接， ∵， ∴ ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆弧折叠，扇形面积的计算，熟练掌握折叠的性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形判定和性质，扇形的面积计算公式，是解题的关键． 20．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点，确定点在何位置时，的值最小是解题的关键．根据题意可推出点在以为圆心为半径的圆上运动，得到当、、共线时，的值最小，根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动， 当、、共线时，的值最小，如图， 四边形矩形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 21．如图，是的外接圆，是的直径，．D是半径上一点（不与点A重合），连接．把沿翻折得到，与交于点F．连接． (1)如图1，当与相切时，求证：是等腰三角形； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，折叠的性质，三角形中位线定理，正确作出辅助线和熟知折叠的性质是解题的关键。 （1）根据是的直径得，则，根据切线的性质得，推出，根据折叠的性质得，继而得到，即可得证； （2）如图，过点C作于点H，设，根据勾股定理，根据，得，根据折叠的性质得，推出，求出，再根据，可求得，即可得出结论； （3）如图，过点C作于点H，连接交于点G，根据题意得，根据折叠的性质得，推出垂直平分，由推出，则最后根据三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的外接圆，是的直径， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴，即， ∵把沿翻折得到， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图，过点C作于点H，设， ∵是的外接圆，是的直径， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵把沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 即的值为； （3）解：如图，过点C作于点H，连接交于点G， 由（2）知，， ∵点D与点O重合， ∴， ∵把沿翻折得到， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 22．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）由可知点在以点为圆心、的长为半径的圆上，作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，同理（）知，当三点共线时，取最小值，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 在中，， 即， ∵， ∴； （）如图，由两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为； （）由折叠可得，， ∴点在以点为圆心、的长为半径的圆上， 作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，如图， 同理（）知，当三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两点之间线段最短，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，轴对称的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 23．【问题背景】在矩形中（），沿对角线翻折得到，连接，，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图1，当时，求的值； 【构建联系】 （3）如图2，当点从点往上运动时（），若，设的度数为，表示点运动的路径长． ①求与的函数关系式； ②当中有一个角是15°时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①；②的值为或 【分析】（1）由对折可得： 是的垂直平分线，可得，，如图，记的交点为，结合矩形的性质，等腰三角形的性质证明，可得，而，可得； （2）如图，连接交于，结合矩形，可得，证明，设，再进一步求解即可； （3）①如图，由对折可得，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，运动路径为，再进一步利用弧长公式列函数关系式即可； ②当时，可得，当时，如图，可得，而由对折可得，结合矩形可得，可得，求解：，当不符合题意，舍去；再进一步计算即可. 【详解】证明：（1）由对折可得：，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， 如图，记的交点为， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴； （2）如图，连接交于，结合矩形， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，由对折可得， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动，运动路径为， 当点从点往上运动时（），设的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 结合（1）得：， ∴， ∴； 当时，如图， 而，而由对折可得，结合矩形可得， ∴， 解得：， ∴； 当不符合题意，舍去； 综上：的值为或. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，弧长的计算，圆的确定，本题难度较大，作出图形以及合适的辅助线是解本题的关键. 24．【问题情境】如图，P是外的一点，直线分别交于点A、B．小明认为线段是点P到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点A的点C，连接，则有，即，由得，即，从而得出线段是点P到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点P到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 如图4，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值______． 【深度运用】 如图，已知点C在以为直径，O为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】【问题情境】：正确，理由见解析；【直接运用】：；【构造运用】：；【深度运用】： 【分析】本题考查了三角形三边关系、勾股定理、折叠性质、菱形的性质、解直角三角形相关计算、圆周角定理、等边三角形性质、全等三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． ①【问题情境】：在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，类比于题干分析过程进行说明即可． ②【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，结合题意得到当与点重合时，最小，利用勾股定理求出，即可解题； ③【构造运用】：结合折叠性质可得到点都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上， 过点作于点，利用菱形的性质、解直角三角形相关计算、勾股定理求出，即可解题； ④【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，利用圆周角定理、等边三角形性质、全等三角形性质和判定推出点在以为直径的半圆上，再结合勾股定理与三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：①【问题情境】：小红的说法正确， 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴，即． ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； ②【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ， ∴的最小值为：， 故答案为：． ③【构造运用】：由折叠知， ∵是的中点， ∴点都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为4的菱形中，为的中点， ， ； ④【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∵和都是等边三角形， ， 即， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 压轴题型三、圆中新定义问题 25．定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 【答案】 【分析】本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数． 连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数． 【详解】解：连接，    ∵是的外角，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∴． 故答案为：． 26．定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，理解新定义是解答本题的关键． 作于点H，根据勾股定理求出，由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形，据此求解即可． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，． 如图，作于点H， 则， ∴． 由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形， ∴所有点覆盖的图形的面积是． 故答案为：． 27．在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，根据新定义可得，即可得到点P在以B为圆心，长为半径的圆上，然后得到点P的纵坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵点P是线段关于点A的对垂点， ∴， ∴点P在以B为圆心，长为半径的圆上，即， ∴点P的纵坐标的取值范围是， 故答案为：． 28．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴， ∴， 而， ∴点E为弧的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60． 29．平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查点到圆上的距离，由题意知，点A到的距离最小时，d取最小值，点A到的距离最大时，d取最大值，由此可解． 【详解】点A的坐标为， ， 线段的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可， 如图，当点在线段上时，取最小值，    如图，当点在线段的延长线上时，取最大值，    综上可知，d的取值范围为：， 故答案为：． 30．【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 【答案】（1）2 （2）8 （3）当时， （4）时：当时，；当时，；当时，； （5）或 【分析】本题考查了新定义“点”的理解、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，解题的关键是将“圆上到直线l的距离为d的点的个数”转化为“圆与到直线l距离为d的两条平行线的交点总数”，通过分析圆与这两条平行线的位置关系（相交、相切、相离）确定交点个数． （1）到直线l距离为d的点的轨迹是两条平行于l的直线₁、l₂），点O到l₁、l₂的距离分别为、；当时，圆与其中一条直线相切个交点），与另一条相离个），结合、，得． （2）当时，圆与一条直线相切个），与另一条相交个），故． （3）当时，圆与两条直线都相交，需且，即． （4）当时，l₁与l重合（点O到l₁的距离为，到O的距离为；分（与l₁相交2个，与相离，共2个）、（与相交2个，与相切1个，共3个）、（与两条直线都相交，共4个）讨论． （5）先求点到直线的距离，到l距离为2的两条平行线到P的距离为、；由（交点总数，得且，解得b的范围． 【详解】（1）解：到直线l距离为3的轨迹是两条平行线l₁、l₂，点O到l₁的距离为，到l₂的距离为．当时，圆与l₁相切，与l₂相离，故； 故答案为：2． （2）当时，圆与l₂相切，与l₁相交个交点），总3个，故； 故答案为：8． （3）当时，圆与l₁、l₂都相交，需且，故； 故答案为：． （4）当时，l₁与l重合到l₁距离，l₂到O距离． 若，圆与l₁相交个），与l₂相离，； 若，圆与l₁相交个），与l₂相切个），； 若，圆与两条直线都相交，． （5）直线l：，点到l的距离．到l距离为2的平行线到P的距离为、． ∵， ∴圆与一条平行线相交个），与另一条相离个），即且， 解得，即， ∴， 故b的范围为或； 答：b的取值范围是或． 31．在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． (1)当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； (2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①E   ② (2) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． （1）①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点，则E是的中点，点D在圆外，点D到最小的距离为3，大于的直径2，进一步得出结果； ②设直线与x轴和y轴分别相交于点，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2，当点P在线段时，点P是的关联点，进一步得出结果； （2）先求得M和N坐标，作于A，作轴于B，当时，点A是的关联点，解直角三角形得出从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点A，B，则E是的中点（垂径定理），故点E是的关联点，点D不是， ②如图1， 设直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2， 当点P在线段时，点P是的关联点， ； （2）如图2， ∵直线方程为， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 作于A， ， ， 当时，点A是的关联点，此时， ∵线段上存在的关联点， ∴，即，且， 解得： 故答案为：． 32．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 33．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论仍然成立，证明见解析 【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； 【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∴；    （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ∴， 如图④，当点在内时，由（1）知． ∴． 34．课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 【答案】课本再现：见解析；知识应用：（1）见解析；（2）， 【分析】课本再现：设直线l与另一交点为点M，由得到，从而直线l，根据垂线的性质可得点A与点M重合，即直线l与只有一个交点，根据切线的定义得到直线是的切线； 知识应用：（1）连接，先求出，再由直角三角形两锐角互余和对顶角相等求出，由等腰三角形得性质得，进而可证是的切线； （2）先证明点D，O，B三点共线，得到，由30度角的性质得，根据可求出；求出，然后根据弧长公式弧的长． 【详解】课本再现：设直线l与另一交点为点M， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴直线l， ∵，都过点O， ∴根据垂线的性质可得与重合，即点A与点M重合， ∴直线l与只有一个交点， ∴直线是的切线． 知识应用： （1）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D，O，B三点共线， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查了切线证明与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求弧长，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式是解答本题的关键． 35．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先根据新定义得出，再根据勾股定理计算即可； （2）①利用直径所对的圆周角为直角，得到，结合角平分线定义证明，推出，，利用弧、弦、圆心角之间的关系推出，设，结合，记交于点，得到，，再根据整理，即可得解； ②由①知，，，结合等腰三角形性质，“近似矩形”定义，即可证得结论． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ； ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形性质，正确理解新定义是解题的关键． 36．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； （2）解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 压轴题型四、不规则图形面积计算 37．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 38．追本溯源 题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）． (1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积． 结论应用 (2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积公式以及圆周角定理．解题关键是熟练掌握圆周角定理． （1）作垂线，将分两个直角三角形，利用直角三角形性质求、，再用面积公式计算． （2）由圆周角定理得，求扇形面积，减去（1）中面积的阴影面积． 【详解】（1）解：如图1，过点 O 作(于点 C， 由勾股定理得， ∴的面积 ． （2）如图2，点O 为的圆心，连接，， ∵， ∴， ， 由(1)可得的面积， ． 39．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交、于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，利用等腰三角形的性质和角平分线证明，则，得到，又由是的半径，即可得到结论； （2）利用直角三角形的性质推出，，结合勾股定理求出，由计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 是的平分线， ， ， ∴， ， ∴， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，扇形面积公式，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 40．如图，是的外接圆，是直径且，的平分线交于点D，连接．过点C的切线交的延长线于点E，且． (1)在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角：__________； (2)求阴影部分的面积； (3)求线段的长度． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，不规则图形的面积，勾股定理等． （1）连接，由切线的性质可得．由直径所对的圆周角为90度可得，结合等腰三角形中等边对等角、三角形外角的性质，可求得，； （2）根据求解； （3）结合直径所对的圆周角为90度，证明是等腰直角三角形，设，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ． ， ． ， ． ． ； 是直径， ， ， ，， ， 故答案为：（或）； （2）解： 是的切线， ． ， ． ． 过点C作于点M． ， ． ． ， ． （3）解：连接． 是直径， ，． 平分， ． ． 是等腰直角三角形． 设，则． 解得（负值已舍去）． 即． 41．如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）连接，利用得到，然后利用角度的代换可证明，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）利用圆周角定理得到，求出，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， 在中，， ， 阴影部分的面积 ． 42．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，   ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵，    ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，是的中点，      ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 43．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）①见解析；②半径是，阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， ∴同上可得：、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 44．如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． (1)求证：是的切线； (2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出，进而得到，即可证明是的切线； （2）连接，证明，推出，再进行代换求解，即可得到与 之间的数量关系； （3）利用直角三角形性质得到，证明是等边三角形，进而推出，利用勾股定理求出，进而推出，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）得， 在 和 中，， ， ， 又， ； （3）解：，， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理，得 ． 由（2）得 ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，切线的判定定理，全等三角形性质和判定，等边三角形判定与性质，勾股定理，扇形面积公式，解题的关键在于灵活运用相关知识． 45．如图，为的内接三角形，，D为的中点，点F为上一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，E为点F的对应点，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积； (3)求证：．（温馨提示：证明A，C，E三点在一条线上） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据得到，即可得到结论； （2）连接，作于点，求出，，，根据即可求出答案； （3）过点作，交于点．证明，得到．进一步证明三点共线，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为的内接三角形，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：连接，作于点， ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴图中阴影部分的面积为； （3）证明：如图，过点作，交于点． 是等边三角形， ． ∵， ， 是等边三角形， ． 是的中点， ， ． 线段绕点D顺时针旋转得到线段， ， 即． 在和中，， ， ． ， ， 三点共线． ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形面积、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、弧弦之间的关系等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是关键． 46．在探究圆的性质中，小明在数学探究课上无意中把一个三角板放在圆中，发现它们有很多联系，于是做了下列研究：如图，在圆中放一个含角的直角三角板，，是的直径，是的切线，点为切点，与交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、、，由直径得，，由切线得，可证，利用证明，所以，所以是的切线； （2）解，，得，根据求解即可． 【详解】（1）解：证明：连接、、，如图，    ∵是的直径，是的切线， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算，勾股定理，角直角三角形的性质，圆周角定理，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 47．如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，扇形面积公式，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论； （2）利用切线的性质和圆周角定理得出，，求得的长，再根据阴影部分的面积，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， 又， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为1， ， ∵是的切线，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 48．如图，在中，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于点和点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求弦和围成的阴影弓形部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线，角平分线的性质，勾股定理的应用，扇形面积公式． 通过做辅助线得到相关角度并由是解决本题的关键． （1）通过作辅助线，利用角分线的性质：“角分线上的点到角的两边距离相等”，可得，再根据圆的切线的性质即可证明． （2）根据并设出未知数，由勾股定理可求解的长度，再根据的余弦值可求解对应角度，再由的正弦值可求解的长度，由可求解阴影面积． 【详解】（1）证明：如图，过作于，如图， 是的角平分线， ， 为圆心，为半径，即， 是的切线． （2）作于点，如图， 的半径为6， 设， 则， 在中，， 由勾股定理： 解得：（舍去），， ， ， ， ，即， 答：阴影部分面积为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算 目录 压轴题型一 圆中最值问题 压轴题型二 圆中翻折问题 压轴题型三 圆中新定义问题 压轴题型四 不规则图形面积计算 压轴题型一、圆中最值问题 1．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D． 2．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 3．如图，线段，以O为圆心，2为半径作．点P为上的动点，连接，并将绕点A逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，点C、D分别是的两边、上的动点，点C、D在运动过程中始终保持 ，以为斜边作等腰直角三角形，点E在的右侧，则线段的最大值是（  ） A． B． C． D． 6．在四边形中，，，，则长度的最大值为 ． 7．如图，在等边中，D，E 分别是边 上的点，连接与 交于点 P，连接，已知，则的最小值为 ． 8．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 9．如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 10．如图，的对角线相交于点，是以为圆心，以2为半径的圆上一动点，连接，点为的中点，连接，若，则的最大值为 ． 11．【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 12．【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 压轴题型二、圆中翻折问题 13．如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 14．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 15．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 17．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 18．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于 ， （）若，，则的长为 ． 19．如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ． 20．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 21．如图，是的外接圆，是的直径，．D是半径上一点（不与点A重合），连接．把沿翻折得到，与交于点F．连接． (1)如图1，当与相切时，求证：是等腰三角形； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 22．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 23．【问题背景】在矩形中（），沿对角线翻折得到，连接，，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图1，当时，求的值； 【构建联系】 （3）如图2，当点从点往上运动时（），若，设的度数为，表示点运动的路径长． ①求与的函数关系式； ②当中有一个角是15°时，求的值． 24．【问题情境】如图，P是外的一点，直线分别交于点A、B．小明认为线段是点P到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点A的点C，连接，则有，即，由得，即，从而得出线段是点P到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点P到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 如图4，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值______． 【深度运用】 如图，已知点C在以为直径，O为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 压轴题型三、圆中新定义问题 25．定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 26．定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是 ． 27．在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是 ． 28．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 29．平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．    30．【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 31．在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． (1)当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； (2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 32．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 33．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 34．课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 35．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 36．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 压轴题型四、不规则图形面积计算 37．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 38．追本溯源 题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）． (1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积． 结论应用 (2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积． 39．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交、于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 40．如图，是的外接圆，是直径且，的平分线交于点D，连接．过点C的切线交的延长线于点E，且． (1)在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角：__________； (2)求阴影部分的面积； (3)求线段的长度． 41．如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 42．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 43．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 44．如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． (1)求证：是的切线； (2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 45．如图，为的内接三角形，，D为的中点，点F为上一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，E为点F的对应点，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积； (3)求证：．（温馨提示：证明A，C，E三点在一条线上） 46．在探究圆的性质中，小明在数学探究课上无意中把一个三角板放在圆中，发现它们有很多联系，于是做了下列研究：如图，在圆中放一个含角的直角三角板，，是的直径，是的切线，点为切点，与交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 47．如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 48．如图，在中，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于点和点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求弦和围成的阴影弓形部分面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $