专题07 圆章末易错压轴题型18易错+7压轴（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题07 圆章末易错压轴题型（18易错+7压轴） 目录 易错题型一、圆的基本概念辨析 易错题型二、圆中的弦 易错题型三、圆的周长和面积问题 易错题型四、确定圆的条件 易错题型五、三角形外接圆的概念辨析 易错题型六、三角形外心问题 易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置 易错题型八、圆心角概念辨析 易错题型九、求圆弧的度数 易错题型十、圆周角定理 易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径 易错题型十二、圆的内接四边形 易错题型十三、利用垂径定理求值 易错题型十四、垂径定理的推论 易错题型十五、垂径定理的实际应用 易错题型十六、求弧长 易错题型十七、求扇形面积 易错题型十八、求圆锥侧面积 压轴题型一、圆的性质问题压轴 压轴题型二、确定圆的条件压轴 压轴题型三、圆周角定理压轴 压轴题型四、圆内接四边形压轴 压轴题型五、垂径定理压轴 压轴题型六、弧长、扇形面积计算压轴 压轴题型七、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等） 易错题型一、圆的基本概念辨析 1．下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 2．下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 3．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 易错题型二、圆中的弦 4．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 5．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 6．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 易错题型三、圆的周长和面积问题 7．一个圆的周长是，另一个圆半径是这个圆的半径的一半，则另一个圆的面积是 （取）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长和圆的面积，先根据一个圆的周长是，求出另一个圆的半径，再结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵另一个圆半径是这个圆的半径的一半， ∴， ∴另一个圆的面积是， 故答案为：． 8．如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆的面积，根据：，可先求出圆的半径，进而求出圆的面积即是长方形的面积，圆的面积×就是阴影部分的面积，再分别算出圆面积和阴影部分的面积，再求出它们的比． 【详解】解：半径：（厘米) 圆面积为（平方厘米） 阴影部分的面积为 （平方厘米) 则． 故答案为： 9．工厂生产一种图①所示的螺丝垫圈，其示意图如图②所示．已知，则这个螺丝垫圈底部圆环的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的面积，根据“圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积”计算即可． 【详解】解：圆环的面积 ， 故答案为：． 易错题型四、确定圆的条件 10．说法正确的是（   ） A．三角形的外心是三角形三条高的交点 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．一个三角形有且只有一个外接圆 D．一个圆有且只有一个内接三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆和圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆和三角形的外心是三边垂直平分线的交点求解即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故错误； B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故一个三角形有且只有一个外接圆，正确； D、一个圆有无数个内接三角形，故错误． 故选：C． 11．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 12．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了确定圆的圆心位置，一个圆的圆心一定在该圆一条弦的垂直平分线上，则在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 易错题型五、三角形外接圆的概念辨析 13．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 14．如图，在中，则此的重心P与外心Q之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据三角形外心的定义可知外心为斜边的中点，根据三角形重心的定义可知、、三点共线，根据勾股定理求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，然后利用重心的性质得到． 【详解】解：根据题意可知，、、三点共线． 在中，，，， ， 的外心为， 为斜边的中点， ， 的重心为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形的重心，直角三角形的性质，根据三角形外心与重心的定义得出、、三点共线是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 易错题型六、三角形外心问题 16．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 【答案】B 【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可． 【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°， ∴点M为AC中点， ∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1）， 设点C横坐标为（x,y）, ∴， 解得x=-5，y=-2， ∴点C（-5，-2）， ∵AB⊥x轴， ∴点A，B的横坐标相同都是3， ∵∠ABC＝90°， ∴BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标相同都是-2， ∴点B（3，-2）． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置 19．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【详解】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 20．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 【答案】D 【分析】本题考查了中垂线的尺规作图和三角形的外接圆，掌握“三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点”是解题的关键． 先根据作图得出、、在以为圆心、为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解． 【详解】解：连接，，，如图： 由题意得：直线垂直平分，直线垂直平分， ， 点、、在以为圆心、为半径的圆上， 点在上，、、为的弦，是的外接圆． A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心轴对称的 (2)画出绕原点O顺时针旋转的，并写出点B运动的路径长为______． (3)直接写出外接圆圆心的坐标_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、作旋转图形、求弧长及作三角形外接圆． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接，再写出点B运动的路径长即可． （3）先作出边的垂直平分线，即外接圆圆心，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∵ ∴长即点B运动的路径长． （3）点P 即为所求点，则． 易错题型八、圆心角概念辨析 22．下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 23．如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了同圆中等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 易错题型九、求圆弧的度数 25．如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先根据题意可知，由“两直线平行，同位角相等”可得，再根据圆周角定理可得，进而求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 故答案为：94． 26．如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则 °． 【答案】 【分析】利用弧的度数等于圆心角的度数，和同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及三角形的外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的度数为：， ∵的度数为， ∴的度数和为：， ∵分别是的度数的一半， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查弧的度数等于圆心角的度数，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半和三角形外角的性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 27．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，则， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 则弧的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 易错题型十、圆周角定理 28．如图，是的直径，弦半径，，则 度． 【答案】20 【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的性质，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：弦半径，， ， ∵， ， 故答案为：20． 29．已知点，，，是上的四个点，于点，若，，，，连结，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三线合一，等边对等角，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．在延长线上截取，结合圆周角定理得，整理线段的关系得，因为，则，即，整理得，得，结合，则，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：在延长线上截取，连接，，，如图所示： ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 则． 30．阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点． 求证：． 证明：如图，连接， ∵，， ∴①___________， ___________ ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）证明即可求证； （）延长交于点，延长交于点，设的半径为，则，，由（）可得，，据此解答即可求解； 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等， 故答案为：，； （2）解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，， ∴， 解得， ∴的半径为． 易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径 31．如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是是解题的关键．由经过圆心O，即是的直径，可得，再根据圆周角定理可得，即可求出的度数． 【详解】解：经过圆心O，即是的直径， ， 又， ． 故选：B． 32．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 33．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 易错题型十二、圆的内接四边形 34．如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 35．如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由圆内接四边形对角互补得到的度数，由等边对等角得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 36．如图，在中，，以为直径作，分别交于点D、E，连结． (1)求证：点D是的中点； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线分线段成比例性质，也考查了等腰三角形的性质． （1）利用等腰三角形的性质得到，，再判断，然后利用平行线分线段成比例得到； （2）利用圆内接四边形的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 点D是的中点； （2）， ， 四边形为的内接四边形， ， ，， ， 故答案为： 易错题型十三、利用垂径定理求值 37．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，据此可证明结论； （2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【答案】(1)5 (2)8 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ． 39．如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及圆周角定理解答即可； （2）结合三角形外角的性质可得，即可求证； （3）由（2）的结论以及垂径定理可得，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或 （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错题型十四、垂径定理的推论 40．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，三角形的外心，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．根据圆的定义、垂径定理、圆心角与弧的关系、三角形的外心性质及等弧的定义逐一判断． 【详解】解：①圆的定义为同一平面内到定点距离等于定长的所有点的集合，故本选项符合题意； ②弦的垂直平分线必过圆心，符合垂径定理的推论，故本选项符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意； ④三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到顶点的距离相等，但到边的距离不一定相等，而到三角形三条边的距离相等的点是三角形的内心，故本选项不符合题意； ⑤等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，则其所对的弦长度相等，故本选项符合题意； 综上，正确的有①、②、⑤，共3个， 故选：C． 41．如图，的直径过弦的中点，，则等于 ． 【答案】/71度 【分析】先根据垂径定理得出弧的关系，再利用圆周角定理求出的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余即可求解．本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对弧 ）和圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角一半 ）是解题的关键． 【详解】解：∵的直径过弦的中点， ∴．， ∴． ∴ 故答案为： ． 42．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 易错题型十五、垂径定理的实际应用 43．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度（精确到，，，）． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理与垂径定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点作于点，连接，由垂径定理得到，由直径为，得到，在中，根据勾股定理得到的值，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ， ， 直径为， ， 在中，根据勾股定理，可得， ∴， 水的最大深度为． 44．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．求拱门最高点D到的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线是解决问题的关键．连接，由题意得，则，再由勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，由题意得． ∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点D到的距离为． 45．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题． 【答案】直径的长为寸 【分析】连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可． 【详解】接：连接，设的半径为r， ∵是的直径，， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴，解得， ∴，即直径的长为寸． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 易错题型十六、求弧长 46．如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式． 传送带上的物体A平移的距离为半径为的传动轮转过角的扇形的弧长，根据弧长公式可得． 【详解】解：， 即传送带上的物体A平移的距离为． 故选：D 47．如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据已知可得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， 的长是， 故答案为：． 48．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质： （1）连接，，由圆周角定理可得，再根据勾股定理计算即可； （2）由等腰三角形的性质推出，得到，由平行线的性质推出，进而可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为直径，点E是弧中点， ， ， ； （2）解：， ， |， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 易错题型十七、求扇形面积 49．如图所示，学校的花坛是由一个正六边形和圆心分别在正六边形的顶点、半径为米的六个等圆组成．现要在正六边形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮，则草皮种植面积为（   ）平方米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查扇形面积的计算问题，解题的关键有两点：（1）由正六边形的每个内角都是得到图中阴影部分扇形的圆心角为；（2）熟记扇形面积公式：（其中，为扇形的圆心角度数，为扇形的半径）. 【详解】解：正六边形的每个内角为， 各扇形的圆心角为， 草皮种植面积扇形的面积的和为， 故选：D． 50．如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键． 如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ，， ， 故答案为：． 51．如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积． （1）根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论； （2）易求得是等边三角形，即可求得，得到，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离． 【详解】（1）证明：弦垂直平分半径， ，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：作于， ， 是等边三角形， ， ， 扇形（图中阴影部分）的面积为， ， ， ，， ∴， ， 与间的距离为． 易错题型十八、求圆锥侧面积 52．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的表面积的计算，根据表面积等于侧面积加上一个圆的面积计算全面积即可． 【详解】解：， ． 故选D． 53．若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 54．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 压轴题型一、圆的性质问题压轴 55．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面下盛水筒的最大深度为2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径． （1）作于点，交圆于点，设圆的半径为米，根据勾股定理求解即可； （2）当米时，米，根据勾股定理求出米，即可求出最大深度． 【详解】（1）解：如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； （2）解：如图，当米时，米， 在中，， ， 米， （米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 56．如图，C，D，G分别是半圆O的直径上的点，点E，F，N在上，点M在上，且四边形和四边形都是正方形． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，证明，即可解答． （2）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理得出，列出方程得出，即可证明． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵四边形为正方形， ， ∴在和中： ， ， ． （2）证明：连接，设正方形的边长为，正方形的边长为． 则． 在中，． 在中，， ， 整理得，则， ∴或， 解得：或（不合题意，舍去）． ， ， ∵， ∴． 【点睛】该题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，因式分解，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 57．小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 【答案】(1)1 (2) (3)图见解析，当时，最大为 【分析】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1． （2）设半径为，根据列方程求解即可； （3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案三中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由为x，则新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案三中的最大半径．即得最终结论． 【详解】（1）解：方案一中的最大半径为1． 长方形的长宽分别为3，2， 直接取圆直径最大为2， 半径最大为1； （2）解：设半径为如图， ； ， 解得． （3）解：设圆的半径为， 新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为． 类似（1），所截出圆的直径最大为或较小的． 当时，即当时，； 当时，即当时，； 当时，即当时，． 当时，； 当时，； 当时，， 方案三中，当时，最大为． 压轴题型二、确定圆的条件压轴 58．已知，如图，四边形是矩形， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，外接圆的圆心，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先作出的垂直平分线与相交，交点即为点，再连接，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，再以点为圆心，为半径作圆即可； （2）可得，证明四边形是矩形，则，设圆O的半径为，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，点和圆即为所求： （2）解：连接， 由（1）可知，垂直平分，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设圆O的半径为，则， ， 在中，，即， 解得， 即圆O的半径为． 故答案为：． 59．阅读与思考 下面是小明同学的读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 每个平面图形都有自己的最小覆盖圆 一本课外读物上看到下面的材料： 最小覆盖圆的定义：将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图，以线段为直径的圆记为，则就是线段的最小覆盖圆，理由如下：在线段的垂直平分线上取除点O外的任意一点，以为半径作圆，则也是线段的覆盖圆，根据垂线段最短可得，，说明是线段的最小覆盖圆． 根据上面的知识，我对三角形的最小覆盖圆进行探究、证明，并得出以下正确的结论： 直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆； 锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆； 钝角三角形的最小覆盖圆是以它最长边为直径的圆． 利用小明的结论完成下面的任务： (1)已知一个边长为的等边三角形，则它的最小覆盖圆的面积为______；（结果保留） (2)如图，中，，，求最小覆盖圆的半径； 【答案】(1)； (2)最小覆盖圆的半径为． 【分析】本题考查了外接圆，解直角三角形，勾股定理，圆的面积，三角形内角和定理，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，如图，过作于点，过作于点，交于点，则即为最小覆盖圆，半径为，由是等边三角形，则，，然后求出长即可求解； （）由三角形内角和定理可得是钝角三角形， 则最小覆盖圆为以为直径的圆，过点作交的延长线于点，得出，所以，，设，则，，故有，求得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，如图，过作于点，过作于点，交于点， 则即为最小覆盖圆，半径为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴覆盖圆的面积为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴最小覆盖圆为以为直径的圆， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴最小覆盖圆的半径为． 60．尺规作图：（保留作图痕迹即可） (1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可） (2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可） (3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为所求； （2）以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、，则四边形为所求； （3）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． 证明如下：∵是的垂直平分线， ∴，， 设与的交点为O， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）如图，菱形即为所求． 证明如下：由作图可得， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ①作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得； ②以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E； ③作，作直线，分别交于点、． ∴点、即为所求． 证明如下：设与交于点G， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， 由作图可知， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 压轴题型三、圆周角定理压轴 61．如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由M是弧中点得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）在上截取，连接，证明得出，再证明得出，解直角三角形可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 为的中点， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上截取，连接， 由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 则的周长是． 62．在正方形中，分别是上的动点，且，以为直径作，交于点，连结，交于点，连结． (1)求证：； (2)是否变化？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的度数不变，始终为． 【分析】（1）证明，得到，进而推出垂直． （2）连接，是的直径，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，由（1），可得，从而得到，利用等腰直角三角形的性质，得到，从而最终得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， 设与相交于点， 在中，， ， 即； （2）解：的度数不变，始终为， 理由如下： 连接， ∵是的直径， ∴，即． 由（1）知， ∴，且， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵和所对的弧都是， ∴． ∴的度数不变，始终为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用正方形性质证明三角形全等，结合圆周角定理和平行四边形性质分析角的关系． 63．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 压轴题型四、圆内接四边形压轴 64．如图，在菱形中，点E，F 分别是上任意的点(不与端点重合)，，连接与相交于点G，连接与相交于点H． (1)求证∶； (2)求证∶平分； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，圆内接四边形的性质： （1）先证明为等边三角形，可得，可证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得．从而得到．由（1）可知，从而得到，进而得到点 B，C，D，G四点共圆，再由，可得，即可求证； （3）作，交于点M，根据相似三角形的性质可得，从而得到，进而得到，然后根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】（1）证明∶∵四边形 为菱形， ∴． ∵， ， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， ∴， ； （2）证明∶∵， ∴． ∴． 由（1）可知， ∴． ∴， ∴点 B，C，D，G四点共圆． ∵， ∴， ∴平分． （3）解：作，交于点M， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ∵ ， ． 65．回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）8，；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 66．如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证： (2)当点E为中点时，如图2，连接． （i）求证： （ii）求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（i）见解析；（ii） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）证，得，即可解答； （2）（i）连接，证明四点共圆，可得，再证明即可解答； （ii）设，则，得，在利用勾股定理和相似三角形的性质求得即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：（i）如图，连接， ， 四点共圆，如图， ， E为中点， , ， ， ， ， ， 解：（ii）如图，设，则， 由（1），得， 在中，， ， ， ， ， ， ． 压轴题型五、垂径定理压轴 67．如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理得到，则，利用圆内接四边形的性质得到，利用平角的定义得到，再利用等量代换即可证明； （2）连接、，利用垂径定理得到，，进而证出是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用圆周角定理求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 68．如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． (1)当时，求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据在同一个三角形中，等边对等角可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论； （2）根据垂径定理即可求出，然后设，则，再根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的半径为． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理和勾股定理是解决此题的关键． 69．如图，为的直径，点是上一点，点是劣弧的中点． (1)作点，并连接（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，延长，它们的延长线交于点，若点为的中点． ①求证：点为的中点； ②若，求的半径． 【答案】(1)图见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查作图—中垂线的做法、垂径定理、平行直线的判定、平行直线分线段成比例定理、三角形中位线的性质、直径所对圆周角直角、勾股定理： （1）作弦的中垂线，中垂线与劣弧的交点即为D； （2）①证明，再根据平行线分线段成比例定理即可证明． 【详解】（1）解：作的垂直平分线：以A、C为圆心，大于的长为半径画圆弧，两端圆弧交于两点，过这两点作直线与劣弧的交点为D，连接： （2）解：①如图，与的交点为F， ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 点为的中点， ， ∴，即， ∴点为的中点； ②设圆的半径为R， 由①知B是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，F是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，，即， 解得． 压轴题型六、弧长、扇形面积计算压轴 70．如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）利用圆周角定理可得，即得，又由垂直得，再根据等腰三角形的性质和余角性质可得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质可得，即得，得到是等边三角形， 进而可得，再根据弧长公式计算即可求解； （）设圆锥底面圆的半径为，可得，求出的值，再根据圆锥的表面积侧面积底面积计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点恰好是的中点，， ∴， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴优弧长为； （3）解：设圆锥底面圆的半径为， ∵优弧长为， ∴， ∴， ∴该圆锥的表面积为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，余角性质，相似三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，圆锥的表面积，掌握以上知识点是解题的关键． 71．如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角，弦，弧的关系证明即可． （2）运用圆的内接四边形的性质，得到，结合，，继而得到，结合为的直径，得到，；根据，结合三角形的外角性质，计算即可． （3）连接，证明出是等边三角形，求出，根据，计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影部分的面积扇形的面积的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，三角函数，扇形面积公式．解题的关键是掌握以上知识点． 72．如图，是的直径，是弦，且于点E，P为下方上一动点，连接并延长，交的延长线于点 Q，连接．已知，． (1)当时，如图(1)，求 的长． (2)当点 P 恰好为的中点时，如图(2)，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先由三角形内角和定理得出，再由得，则，再根据弧长公式计算即可； （2）连接，，证明得，则，再由P是的中点，得，连接，则，由垂径定理得，由勾股定理得出，则，由勾股定理得，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图（1），连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，     ； （2）解：如图（2），连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴， 又∵， ∴，                                           ， ， 又∵P是的中点， ， 连接，则， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查弧长公式，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点． 压轴题型七、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等） 73．【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）①②．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 74．从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)7 【分析】（1）由圆周角定理和题意即可得解； （2）在上取点D，使，连接，证明是等边三角形，得，再证明得，从而可得出结论； （3）构造圆内接四边形，延长交圆O于点D，连接，利用B命题建立关于半径的方程求解即可； （4）条件中有2倍角，故构造一个外角等于二倍角从而得到等腰三角形，在线段上截取作，连接，证，可得，从而证明，再过点E作于点G，设，将都用x表示，最后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知因为， 所以A，B，C，D四点共圆， 此时； 故答案为：，； （2）证明：在上取点D，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P在上运动不与B，C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交圆O于点D，连接，，，如图3， 设半径为r，则， ， ， 为直径， ， 在中，， ，， ， ， 即， ， 解得负值舍去， 即扇形的半径的长； （4）解：如图4，在线段上截取，连接， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 过点E作于点G， 设，则，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 75．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，半径为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及圆心角和圆周角的关系是本题解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和已知两角的关系，得出，然后根据圆周角和圆心角的关系，得出和的关系，再根据三角形内角和定理求出的大小，从而可以得出，结合为的直径，，继而得到即可； （2）根据，以及，可以得出和全等，从而证出为角平分线，再根据等腰三角形的三线合一，得出，再根据互余两角三角函数的关系求出的正切，然后根据，得出和的长，从而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： ，，， ， ，， ， ， 为的直径， ， , , ； （2）解：， ， ， 又， ， ， 为的平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆章末易错压轴题型（18易错+7压轴） 目录 易错题型一、圆的基本概念辨析 易错题型二、圆中的弦 易错题型三、圆的周长和面积问题 易错题型四、确定圆的条件 易错题型五、三角形外接圆的概念辨析 易错题型六、三角形外心问题 易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置 易错题型八、圆心角概念辨析 易错题型九、求圆弧的度数 易错题型十、圆周角定理 易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径 易错题型十二、圆的内接四边形 易错题型十三、利用垂径定理求值 易错题型十四、垂径定理的推论 易错题型十五、垂径定理的实际应用 易错题型十六、求弧长 易错题型十七、求扇形面积 易错题型十八、求圆锥侧面积 压轴题型一、圆的性质问题压轴 压轴题型二、确定圆的条件压轴 压轴题型三、圆周角定理压轴 压轴题型四、圆内接四边形压轴 压轴题型五、垂径定理压轴 压轴题型六、弧长、扇形面积计算压轴 压轴题型七、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等） 易错题型一、圆的基本概念辨析 1．下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 2．下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 3．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 易错题型二、圆中的弦 4．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 6．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 易错题型三、圆的周长和面积问题 7．一个圆的周长是，另一个圆半径是这个圆的半径的一半，则另一个圆的面积是 （取）． 8．如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 9．工厂生产一种图①所示的螺丝垫圈，其示意图如图②所示．已知，则这个螺丝垫圈底部圆环的面积为 （结果保留）． 易错题型四、确定圆的条件 10．说法正确的是（   ） A．三角形的外心是三角形三条高的交点 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．一个三角形有且只有一个外接圆 D．一个圆有且只有一个内接三角形 11．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 12．要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 易错题型五、三角形外接圆的概念辨析 13．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为 ．    14．如图，在中，则此的重心P与外心Q之间的距离为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 易错题型六、三角形外心问题 16．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 18．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置 19．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 20．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（   ） A．点在上 B．是上的外接圆 C．是的弦 D．是的内心 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心轴对称的 (2)画出绕原点O顺时针旋转的，并写出点B运动的路径长为______． (3)直接写出外接圆圆心的坐标_______． 易错题型八、圆心角概念辨析 22．下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则 ． 24．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 易错题型九、求圆弧的度数 25．如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 26．如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则 °． 27．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ． 易错题型十、圆周角定理 28．如图，是的直径，弦半径，，则 度． 29．已知点，，，是上的四个点，于点，若，，，，连结，求的度数． 30．阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点． 求证：． 证明：如图，连接， ∵，， ∴①___________， ___________ ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径 31．如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 易错题型十二、圆的内接四边形 34．如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是 ． 35．如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 36．如图，在中，，以为直径作，分别交于点D、E，连结． (1)求证：点D是的中点； (2)若，则______． 易错题型十三、利用垂径定理求值 37．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 38．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 39．如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接． (1)写出一个与相等的角______． (2)若平分交于点F，求证：． (3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长． 易错题型十四、垂径定理的推论 40．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 41．如图，的直径过弦的中点，，则等于 ． 42．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 易错题型十五、垂径定理的实际应用 43．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度（精确到，，，）． 44．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．求拱门最高点D到的距离． 45．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题． 易错题型十六、求弧长 46．如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（   ）    A． B． C． D． 47．如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，，则的长是 ． 48．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 易错题型十七、求扇形面积 49．如图所示，学校的花坛是由一个正六边形和圆心分别在正六边形的顶点、半径为米的六个等圆组成．现要在正六边形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮，则草皮种植面积为（   ）平方米． A． B． C． D． 50．如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） 51．如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离． 易错题型十八、求圆锥侧面积 52．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 53．若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 54．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 压轴题型一、圆的性质问题压轴 55．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 56．如图，C，D，G分别是半圆O的直径上的点，点E，F，N在上，点M在上，且四边形和四边形都是正方形． (1)求证：； (2)求证：． 57．小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 压轴题型二、确定圆的条件压轴 58．已知，如图，四边形是矩形， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 59．阅读与思考 下面是小明同学的读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 每个平面图形都有自己的最小覆盖圆 一本课外读物上看到下面的材料： 最小覆盖圆的定义：将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图，以线段为直径的圆记为，则就是线段的最小覆盖圆，理由如下：在线段的垂直平分线上取除点O外的任意一点，以为半径作圆，则也是线段的覆盖圆，根据垂线段最短可得，，说明是线段的最小覆盖圆． 根据上面的知识，我对三角形的最小覆盖圆进行探究、证明，并得出以下正确的结论： 直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆； 锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆； 钝角三角形的最小覆盖圆是以它最长边为直径的圆． 利用小明的结论完成下面的任务： (1)已知一个边长为的等边三角形，则它的最小覆盖圆的面积为______；（结果保留） (2)如图，中，，，求最小覆盖圆的半径； 60．尺规作图：（保留作图痕迹即可） (1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可） (2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可） (3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明） 压轴题型三、圆周角定理压轴 61．如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 62．在正方形中，分别是上的动点，且，以为直径作，交于点，连结，交于点，连结． (1)求证：； (2)是否变化？请说明理由． 63．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 压轴题型四、圆内接四边形压轴 64．如图，在菱形中，点E，F 分别是上任意的点(不与端点重合)，，连接与相交于点G，连接与相交于点H． (1)求证∶； (2)求证∶平分； (3)若，求的值． 65．回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 66．如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证： (2)当点E为中点时，如图2，连接． （i）求证： （ii）求的值． 压轴题型五、垂径定理压轴 67．如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 68．如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． (1)当时，求的度数； (2)若，，求的半径． 69．如图，为的直径，点是上一点，点是劣弧的中点． (1)作点，并连接（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，延长，它们的延长线交于点，若点为的中点． ①求证：点为的中点； ②若，求的半径． 压轴题型六、弧长、扇形面积计算压轴 70．如图，是的外接圆，点是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点恰好是的中点，且的半径为，试求出优弧长； (3)若以优弧所围成的扇形面制作一个如图的圆锥，试求出该圆锥的表面积．（，结果精确到个位） 71．如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 72．如图，是的直径，是弦，且于点E，P为下方上一动点，连接并延长，交的延长线于点 Q，连接．已知，． (1)当时，如图(1)，求 的长． (2)当点 P 恰好为的中点时，如图(2)，求的长． 压轴题型七、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等） 73．【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 74．从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 75．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，半径为4，求长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $