专题04 解直角三角形章末易错压轴题型18易错+6压轴（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题04 解直角三角形章末易错压轴题型（18易错+6压轴） 目录 易错题型一、正弦的相关概念与求解 易错题型二、余弦的相关概念与求解 易错题型三、正切的相关概念与求解 易错题型四、特殊三角形的三角函数 易错题型五、特殊角三角函数值的混合运算 易错题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 易错题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 易错题型八、已知角度比较三角函数值的大小 易错题型九、同角三角函数关系 易错题型十、互余两角三角函数的关系 易错题型十一、解直角三角形的相关计算 易错题型十二、解非直角三角形 易错题型十三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 易错题型十四、仰俯角问题 易错题型十五、方位角问题 易错题型十六、坡度坡比问题 易错题型十七、解直角三角形的生活实际问题 易错题型十八、解直角三角形的其他应用 压轴题型一、解直角三角形压轴 压轴题型二、解直角三角形与相似三角形综合 压轴题型三、解直角三角形与函数综合 压轴题型四、与解直角三角形相关的模型问题 压轴题型五、解直角三角形的应用问题 压轴题型六、解直角三角形的折叠问题 易错题型一、正弦的相关概念与求解 1．在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 2．如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠．已知矩形纸片的长为6，宽为2，则 ． 3．如图，在中，，于点D，，，求的值． 易错题型二、余弦的相关概念与求解 4．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 5．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 6．如图，已知矩形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 易错题型三、正切的相关概念与求解 7．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 8．如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 9．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 易错题型四、特殊三角形的三角函数 10．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，则的长为 ．    12．如图，在和中，，，，若，则的长为 ． 易错题型五、特殊角三角函数值的混合运算 13．计算下列各式： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)． 15．计算：． 易错题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 16．若，则ABC的形状是（    ） A．含有60°直角三角形 B．等边三角形 C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形 17．如果，则的形状是 ． 18．若，则△ABC是 三角形． 易错题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 19．为锐角，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 20．在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 21．如图，在中，，求的度数和的长． 易错题型八、已知角度比较三角函数值的大小 22．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 23．已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 易错题型九、同角三角函数关系 25．已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．已知菱形，，，点在上，若，则的长度为 ． 27．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 易错题型十、互余两角三角函数的关系 28．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 易错题型十一、解直角三角形的相关计算 31．如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 32．如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 33．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 易错题型十二、解非直角三角形 34．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 35．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 36．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 易错题型十三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 38．如图，在中，已知，，，求的面积． 39．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 易错题型十四、仰俯角问题 40．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 41．老师带领同学们去测量学校旗杆的高度，他们首先在A处安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为，然后往旗杆方向前进12米，到达B处，此时仰角是，已知测倾器高米，请你计算出旗杆的高度．（参考数据：） 42．山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 易错题型十五、方位角问题 43．钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 44．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 45．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如下图，点在点的正东方向170m处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向． (1)求人行步道的长度． (2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点．请通过计算说明他走哪条路较近．（参考数据：，） 由题意可知，四边形是矩形，170m． 在Rt中，． 故人行步道的长度约为． 易错题型十六、坡度坡比问题 46．数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 47．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 48．东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． （参考数据：，，，，结果均保留整数） 易错题型十七、解直角三角形的生活实际问题 49．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 50．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 51．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 易错题型十八、解直角三角形的其他应用 52．某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳极前段下摆的自然垂直长度． (1)如图1，求遮阳篷上的B点到墙面的距离；（结果精确到米，参考数据：，，） (2)则图2，当太阳光线与地面DG的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，） 53．如图（1），油布伞是汉族传统用品之一，使用历史已有1000多年．如图（2），伞杆的长为100cm，手柄的长为17cm，当伞合拢时，点与点重合，的长为23cm，点是两伞骨连接处，当伞全张开时，，求此时的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：，，，，，） 54．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 压轴题型一、解直角三角形压轴 55．已知在中，于点D，点E为上一动点，连接，过点C作． (1)如图，当点F在上时，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图，点F在外，连接，若，求的值． 56．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 57．问题情景：如图1，在中，于点于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)实际应用：如图2，在中，于点，于点于点，求三角形的周长． 压轴题型二、解直角三角形与相似三角形综合 58．如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 59．如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点、重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)连接、，如果四边形有两个内角互补，直接写出的长． 60．已知与为直角三角形，． (1)【问题发现】如图1，若时，点是线段上一动点，连接．则___________，___________； (2)【类比探究】如图2，若，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点连接，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 压轴题型三、解直角三角形与函数综合 61．【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 62．在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”． 小姜发现，函数“”的图象与“”的图象关于y轴对称，如图所示．小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数与的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点，我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题： (1)已知一次函数与互为“对称新函数”，那么 ； ． (2)互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式． 63．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，直线于点．点从点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度运动；点从点出发沿轴的正方向以每秒单位长度的速度运动，过Q作垂直x轴交于点．连接．设点与点同时出发，运动时间为秒． (1)求的度数； (2)当的值是多少时，是等腰直角三角形； (3)当与相似时，求此时点的横坐标． 压轴题型四、与解直角三角形相关的模型问题 64．知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 65．【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示． （1）当的面积达到最大时，的度数为______； （2）根据图，求证：； （3）根据图，求的度数； 【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 66．矩形中，点在边上，连接，过点作交于点． (1)如图1，求证： (2)如图2，当，连接，，则___________． (3)如图3，在（2）的条件下，过点的直线交和延长线于点、，若，，求的长． 压轴题型五、解直角三角形的应用问题 67．舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 68．如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 69．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 压轴题型六、解直角三角形的折叠问题 70．综合与实践 在综合实践活动课上，同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点F． 第二步：如图（2），在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在上，折痕与交于点M． 【初步发现】 （1）探究图（2）中和的位置关系． 【深入探究】 （2）A小组的同学们将图（3）中的四边形剪下，取点E与点D重合，按步骤折叠后发现点、、三点在一条直线上． 求：与的值． 【拓展延伸】 （3）如图（4），B小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 71．综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求； (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 72．在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形章末易错压轴题型（18易错+6压轴） 目录 易错题型一、正弦的相关概念与求解 易错题型二、余弦的相关概念与求解 易错题型三、正切的相关概念与求解 易错题型四、特殊三角形的三角函数 易错题型五、特殊角三角函数值的混合运算 易错题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 易错题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 易错题型八、已知角度比较三角函数值的大小 易错题型九、同角三角函数关系 易错题型十、互余两角三角函数的关系 易错题型十一、解直角三角形的相关计算 易错题型十二、解非直角三角形 易错题型十三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 易错题型十四、仰俯角问题 易错题型十五、方位角问题 易错题型十六、坡度坡比问题 易错题型十七、解直角三角形的生活实际问题 易错题型十八、解直角三角形的其他应用 压轴题型一、解直角三角形压轴 压轴题型二、解直角三角形与相似三角形综合 压轴题型三、解直角三角形与函数综合 压轴题型四、与解直角三角形相关的模型问题 压轴题型五、解直角三角形的应用问题 压轴题型六、解直角三角形的折叠问题 易错题型一、正弦的相关概念与求解 1．在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 2．如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠．已知矩形纸片的长为6，宽为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及三角函数的定义，解决问题的关键是熟练掌握这些性质并灵活运用． 利用勾股定理求出长度，利用三角函数求解的正弦． 【详解】解：由题意，得， ． 设，则． 在中，， 解得 ． 故答案为：． 3．如图，在中，，于点D，，，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 易错题型二、余弦的相关概念与求解 4．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：C． 5．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【详解】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 6．如图，已知矩形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）由矩形的性质可得，欲求，证即可．通过已知条件求出四边形为就可以证明． （2）根据等腰三角形的性质求出长度，利用锐角三角函数求得长，再根据勾股定理求出长度，根据矩形的面积公式求出面积． 【详解】（1）证明：在矩形中， 又 四边形为 ， 又为矩形， ， ， 故； （2）为矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是矩形的性质和三角函数余弦值，涉及到的知识点有勾股定理、等腰三角形的性质以及平行四边形的判定．本题中是否能熟练掌握矩形的特殊性质、能否通过等腰三角形的求出长度以及是否能掌握余弦值的定义是解题的关键，本题难度不大，但综合性较强． 易错题型三、正切的相关概念与求解 7．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形中，锐角的正切值等于对边比邻边． 由锐角的正切的定义，计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，， ， 故选：B． 8．如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数的应用，正弦和正切的概念，过点E作于E构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点E，在中，利用求出，在中，利用求出，最后求出； （2）根据是的中点求出，然后求出，最后根据正切定义求得结果． 【详解】（1）解：作于点E， ，， ， ， 在，， ， ， （2），点为的中点， ， ， ， 即． 易错题型四、特殊三角形的三角函数 10．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 12．如图，在和中，，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关知识点是解题关键． 通过的直角三角形的性质求出、的值，通过三角函数求出，即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 易错题型五、特殊角三角函数值的混合运算 13．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的乘法，熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式法则是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含特殊三角函数值，含二次根式乘方的混合运算，握熟记特殊角三角函数值，二次根式的运算法则是解题关键．先代入特殊角的三角函数值，再运用二次根式运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 易错题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 16．若，则ABC的形状是（    ） A．含有60°直角三角形 B．等边三角形 C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， 解得：， ∴， ∴∠C=90°， ∴ABC是含有60°直角三角形． 故选：A 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 17．如果，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 18．若，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴∠A=45°，∠B=45°， ∴∠C=180°-45°-45°=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 易错题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 19．为锐角，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊的三角函数值，解题的关键是熟记特殊三角函数值； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 20．在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形的内角和定理，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，，，从而可得，，，进而可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 21．如图，在中，，求的度数和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再求出的值即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴． 易错题型八、已知角度比较三角函数值的大小 22．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 23．已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先明确，再根据锐角范围内，余弦函数随角增大而减小进行分析． 【详解】∵， ∵， 当，越大，越小， 故． 故选D． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值． 24．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 易错题型九、同角三角函数关系 25．已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意设中，对应边分别为，然后根据条件求解，再结合正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：设中，对应边分别为， 则，和， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键． 26．已知菱形，，，点在上，若，则的长度为 ． 【答案】或/5或1 【分析】本题考查菱形与锐角三角形函数，解题的关键是过点作交于点，根据菱形的性质，则，，根据，则，求出，根据勾股定理，求出，；分类讨论：当点在之间，当点在之间，进行解答，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在之间，； 当点在之间，． 故答案为：或． 27．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 易错题型十、互余两角三角函数的关系 28．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握三角函数的定义进行解题．由题意，互余的两个角的正弦和余弦值相等，即可得到答案； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 29．已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 30．如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明，可得，，再证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2 易错题型十一、解直角三角形的相关计算 31．如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 32．如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 33．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 易错题型十二、解非直角三角形 34．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 35．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 36．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 易错题型十三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 38．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 39．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 易错题型十四、仰俯角问题 40．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． 41．老师带领同学们去测量学校旗杆的高度，他们首先在A处安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为，然后往旗杆方向前进12米，到达B处，此时仰角是，已知测倾器高米，请你计算出旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． 根据题意，利用锐角三角函数表示出线段的关系，设，表示出相关线段的长度，利用线段的和差列出方程求解即可． 【详解】解：由题可知：四边形都是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为米． 42．山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 【答案】应县木塔的高度为米 【分析】过点D作于点E，交的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可． 本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F． 根据题意得四边形是矩形，． 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴，， ∴（米）， ∴（米）． 答：应县木塔的高度为米． 易错题型十五、方位角问题 43．钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 44．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 45．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如下图，点在点的正东方向170m处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向． (1)求人行步道的长度． (2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点．请通过计算说明他走哪条路较近．（参考数据：，） 【答案】(1)200m (2)经点到达点的路程较近，理由见解析 【分析】本题考查解三角形的实际应用，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的知识，理解方位角的概念． （1）过点D作的延长线于点F，易证四边形为矩形，再在中，由 得解； （2）先在中，求出和的长，从而知，再利用四边形为矩形，根据三角函数的知识，求得，比较两者的大小，即可得解． 【详解】（1）如图，过点作，交的延长线于点． 由题意可知，四边形是矩形，170m． 在Rt中，． 故人行步道的长度约为． （2）解：在中，． 在中，， ， 四边形是矩形， ， 从点出发经点到达点的路程． 从点出发经点到达点的路程． ∴经点到达点的路程较近． 易错题型十六、坡度坡比问题 46．数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【详解】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 47．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 48．东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． （参考数据：，，，，结果均保留整数） 【答案】(1)阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为 (2)这座塔的高度约为 【分析】本题考查了坡度的概念、三角函数的应用以及矩形的判定和性质，解题的关键在于 理解坡度的含义和运用三角函数求解高度． （1）和的延长线相交于点，过点作于M点，如图，先根据坡度的定义得到，则可设则，然后求出x即可； （2）先在中利用正弦计算出，再利用四边形为矩形得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：和的延长线相交于点，过点作于， 阶梯的坡度， ， 设，， ， ， 解得， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为； （2）在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：这座塔的高度约为． 易错题型十七、解直角三角形的生活实际问题 49．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 50．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 51．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：的长度为； （2）解：∵，，． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 则， 答：的长度为． 易错题型十八、解直角三角形的其他应用 52．某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳极前段下摆的自然垂直长度． (1)如图1，求遮阳篷上的B点到墙面的距离；（结果精确到米，参考数据：，，） (2)则图2，当太阳光线与地面DG的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)遮阳棚上的点到墙面的距离约为米 (2)阴影的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， （1）过点作于点，根据代入数据求出的值即可； （2）过点作于点，通过，求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ，解得：， 遮阳棚上的点到墙面的距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， 四边形为矩形． 由勾股定理得，， ． ． ， ． ， ． ，解得：．． 由（1）知，， ． ． 阴影的长约为米． 53．如图（1），油布伞是汉族传统用品之一，使用历史已有1000多年．如图（2），伞杆的长为100cm，手柄的长为17cm，当伞合拢时，点与点重合，的长为23cm，点是两伞骨连接处，当伞全张开时，，求此时的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为39.9cm 【分析】本题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形，运用直角三角形中锐角三角函数的定义来求解线段长度是解题关键．过点作，垂足为，求出的长度，再设cm，利用三角函数表示出的不同表达式列出方程求解和的长度，最后根据三角函数求出和的长度，即可求出和的长度． 【详解】解：的长为100cm，的长为17cm，的长为23cm，，如图，过点作，垂足为． （cm）， 当伞合拢时，点与点重合， ． 设cm，则cm． ，cm， ，解得， ， cm，cm， cm，cm， cm， cm． 答：的长约为39.9cm． 54．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 压轴题型一、解直角三角形压轴 55．已知在中，于点D，点E为上一动点，连接，过点C作． (1)如图，当点F在上时，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图，点F在外，连接，若，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由已知、根据垂直的定义和“直角三角形两锐角互余”可得：，再根据邻补角得出结论； （2）在（1）的条件下，根据“等角对等边”可得：，过点C作，交于点G，连接，则，从而得到：，根据“等角对等边”得：，根据“”证明，得到：，从而得到，在中，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”得到，从而得出结论； （3）过点F作于点N，交于点M，连接，由已知、根据“等腰三角形“三线合一’”得：即垂直平分，根据垂直平分线性质得，根据“等边对等角”得，从而得到，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”得到从而，证明，得到证明，得到，，结合三角函数得到，，，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即的度数为； （2）证明：在（1）的条件下，， ， 过点C作，交于点G，连接，如图： 则， ，即有， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ； （3）过点F作于点N，交于点M，连接，如图： 则， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， 同（2）证明同理得：， 在和中， ， ， ， ，即有， ， ， ， ， ，， 设， ，，， ， ， ， 即 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形外角性质，三角形内角和定理，等角对等边，正确作出辅助线是解题的关键． 56．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 57．问题情景：如图1，在中，于点于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)实际应用：如图2，在中，于点，于点于点，求三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质，解三角形的应用，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂直及角的等量代换得出，再由正弦函数得出，利用相似三角形的判定证明即可； （2）根据直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算； （3）根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式、勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∴ ∴ ∴，即 又， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 压轴题型二、解直角三角形与相似三角形综合 58．如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，锐角三角函数，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设，在中，，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出； （2）可证明，中，可求出，进而求出长度，则可得结论； （3）分两种情形：当时或者当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 解得（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得； （2）解：设交线段于点，交边于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）（i）当时， ∵， ∴， 得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （ii）当时，延长交直线于点， ∵， ∴， 得， 即 求得， ∵， ∴， ∴， 得， 即， 求得， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 59．如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点、重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)连接、，如果四边形有两个内角互补，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的长为或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，，是中点， ∴. 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 60．已知与为直角三角形，． (1)【问题发现】如图1，若时，点是线段上一动点，连接．则___________，___________； (2)【类比探究】如图2，若，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点连接，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1，90 (2)，理由见解析 (3)的长为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得的值，，即可求的度数； （3）分点D在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：1，90； （2）解：，；理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，， （3）解：由（2）知：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵，且点M是中点， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点D在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴． ②当点D在线段延长线上，如图 ∵， ∴， ，（舍去） ∴， 综上所述：BE的长为或． 压轴题型三、解直角三角形与函数综合 61．【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键． 模型认知：根据题意可得依据为垂线段最短； 模型探究：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明是等腰直角三角形，则，据此可得答案； 模型应用：作，过点C作于D，则；由一次函数解析式可求得，则可证明，，故，；可证明，则当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线，据此求解即可． 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，， ∴的最小值为6． 62．在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”． 小姜发现，函数“”的图象与“”的图象关于y轴对称，如图所示．小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数与的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点，我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题： (1)已知一次函数与互为“对称新函数”，那么 ； ． (2)互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式． 【答案】(1)， (2)与 【分析】本题考查一次函数性质、新定义理解运用、等边三角形性质及三角形面积公式．解题关键是准确理解“对称新函数”定义，结合几何图形性质建立方程求解函数参数． （1）通过理解新的定义就能求出k和a的值； （2）首先需要通过画图来明确大致图形，如图可知从点C到原点O的线段即为等边三角形的高，因为是等边三角形，易知，所以，由此通过面积列式即可求出，再求出与即可知道点A与点B的坐标，继而求出一次函数的解析式． 【详解】（1）解：因为一次函数与互为“对称新函数”， 所以，； 故答案为：，； （2）如图所示，设直线的函数表达式为， 所以直线CB的函数表达式为． 所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 解得． 所以点A的坐标为，点C坐标为， 代入， ， 解得， 一次函数表达式为， 根据定义，另一个一次函数的表达式为． 63．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，直线于点．点从点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度运动；点从点出发沿轴的正方向以每秒单位长度的速度运动，过Q作垂直x轴交于点．连接．设点与点同时出发，运动时间为秒． (1)求的度数； (2)当的值是多少时，是等腰直角三角形； (3)当与相似时，求此时点的横坐标． 【答案】(1) (2)的值是2时，是等腰直角三角形 (3)的横坐标为，， 【分析】此题考查了相似三角形的性质、一次函数的图象和性质、解直角三角形等知识， （1）求出点A和点B的坐标，得到，根据特殊角的三角函数即可得到答案； （2）求出，，又由，轴得到，设，，则或，，根据得到或（无解），解方程即可得到答案； （3）根据点P的位置分4种情况分别进行求解即可； 分类讨论和数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：对于一次函数来说， 当时，， 当时，，解得， ∴，； ∴， ， ； （2），， ，， ，轴， ， 设，，则或，， 令，即或（无解） 解得， 的值是2时，是等腰直角三角形． （3）当点在线段上时， ①若，则， ， 解得， 经检验是分式方程的解， 则，的横坐标为． ②若，则， ， 解得， 经检验是分式方程的解， 则，的横坐标为． 当点在线段的延长线上时， ③若，则， ，解得， 经检验是分式方程的解， 则，的横坐标为． ④若，则， ，解得（舍去） 综上所述，的横坐标为，，． 压轴题型四、与解直角三角形相关的模型问题 64．知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 【答案】知识再现：10；问题探究：，见解析；实践应用： 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，锐角三角函数的应用，等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）知识再现，作于M，于N，利用正方形的性质得出，再利用同角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）问题探究，利用平行四边形的性质先证得由相似三角形的性质得出，再证明，再得出，结合，即可得出. （3）实践应用：作于H，设，由，，解出x，求出，再由（2）结论，求出． 【详解】解：（1）知识再现：作于M，于N，如下图： ∵四边形是正方形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， 设交于P， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）问题探究：，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）实践应用： 如图，作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由(2)可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：． 65．【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示． （1）当的面积达到最大时，的度数为______； （2）根据图，求证：； （3）根据图，求的度数； 【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值． 【答案】初步探索：证明见解析；问题解决：（1）；（2）证明见解析；（3）；类比应用：，理由见解析 【分析】初步探索：根据题意证明出，即可得出结论； （1）一定，，因此当最大时，的面积最大，因此当时，取最大值，此时的面积最大，即可得出的度数； （2）由，，可得，，得，，得出，即可得出结论； （3）由可得，进而即可得出结论． 类比应用：连接、，在和中，根据勾股定理，，然后解直角三角形，由，可得，由，可得即可得出结论． 【详解】初步探索：证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （1）∵一定，， ∴当最大时，的面积最大， 由题意得时，取最大值，此时的面积最大， ∴， ∵，， ∴， ∴旋转角； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， 即的度数为115°； 类比应用：连接，．如图， 在和中， 由勾股定理，， ∴， ， ∴， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形面积的最大值，矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 66．矩形中，点在边上，连接，过点作交于点． (1)如图1，求证： (2)如图2，当，连接，，则___________． (3)如图3，在（2）的条件下，过点的直线交和延长线于点、，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)60 【分析】本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形； （1）在与中找到两组角相等即可证明； （2）易证明，由和矩形的性质，可设，，再求出，最后根据求解即可； （3）由（2）可设，，则，，由和求出、、，再求出，利用建立方程求出x，最后用勾股定理求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）得，， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴设，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴. （3）解：由（2）可设，，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴. 压轴题型五、解直角三角形的应用问题 67．舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 【答案】(1) (2)桩AB与桩CD之间的距离BD的长约为 【分析】本题主要考查仰角与俯角，解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，根据直角三角形的两个锐角互余，求出，再根据平角为即可求解； （2）四边形和四边形均是矩形，设，则，由三角函数算出，，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点，交于点，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． （2）解：∵四边形和四边形均是矩形， ． 设， ， 在中， ． 同理，在中，， ， 解得， ， 桩与桩之间的距离的长约为． 68．如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 69．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】 本题考查了仰角俯角问题、三角函数的应用、全等三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题； （3）过点作于点G，交于点F，证明≌，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点， 则， ∴； 故答案为：75；60； （2） 解：由题意可得米，米， 在中，， ， 解得：米， ∴米； 答：楼的高度为米； （3） 解：过点作于点G，交于点F，则，米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在和中， ， ∴≌， ∴米， ∴米； 答：此时无人机距离地面的高度为110米． 压轴题型六、解直角三角形的折叠问题 70．综合与实践 在综合实践活动课上，同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点F． 第二步：如图（2），在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在上，折痕与交于点M． 【初步发现】 （1）探究图（2）中和的位置关系． 【深入探究】 （2）A小组的同学们将图（3）中的四边形剪下，取点E与点D重合，按步骤折叠后发现点、、三点在一条直线上． 求：与的值． 【拓展延伸】 （3）如图（4），B小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】（1）；（2）；；（3）或 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，则，再根据求解；证明，推理得到，根据勾股定理得出，再根据即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点M作于点N，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； （2）如图（3），连接，设，， 根据折叠的性质得，，，，， ∴， 由题意知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； （3）分以下两种情况： 当时，如图（4）， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图（5），过点M作于点N， 则四边形为矩形，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是一道综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 71．综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求； (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明可得、，然后再根据勾股定理列方程求出的长，然后根据三角函数定义求解即可； （2）先证明可得，设则，运用勾股定理列方程求解可得，进而得到；设，则，再运用勾股定理列方程求y的值即可； （3）根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，如图：过F作交延长线于H，则；由勾股定理可得、,设则，由勾股定理可得、，进而得到解得，即，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴，, ∵E是的中点， ∴, ∵把沿折叠得到， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴, 设则， ∵, ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∵, ∴， 解得：， ∴． （3）解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴, 如图：过F作交延长线于H，则, ∴, ∴, 设则 ∴， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌熟练运用相关判定和性质定理成为解题的关键． 72．在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论不成立，，理由见解析 (3) 【分析】（1）作，交于G，交DF于Q，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由可判定，由全等三角形的性质得； （2）作，交于G，交于Q，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得； （3）作于Q，可求得，，，由三角函数得， ，进而求得，，，由正切函数求得，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于G，交于Q， 点D和点F关于对称， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，，， ，四边形是平行四边形， ，， （）， ， ； （2）解：（1）中的结论不成立，， 理由如下： 作，交于G，交于Q， ∵四边形是矩形， ，，， 由（1）可知：，， ， ∴； （3）解：作于Q， ∵， ∴可设，，则， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，能熟练利用解直角三角形的知识进行求解是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $