专题04 弧长和扇形面积的计算12大题型（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题04 弧长和扇形面积的计算12大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求弧长 1 题型二、求扇形半径 2 题型三、求圆心角 3 题型四、求某点的弧形运动路径长度 5 题型五、求扇形面积 6 题型六、求图形旋转后扫过的面积 8 题型七、求弓形面积 8 题型八、求其他不规则图形的面积 8 题型九、求圆锥侧面积 9 题型十、求圆锥底面半径 11 题型十一、圆锥的实际问题 11 题型十二、圆锥侧面上最短路径问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求弧长 1．已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：圆心角所对的弧长． 故选：C． 2．如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理及弧长公式，熟练掌握圆周角定理及弧长公式是解题的关键；连接，，由题意易得，则有是等边三角形，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：连接，． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴劣弧的长， 故选：B． 3．已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，扇形的弧长等于扇形的半径乘以圆周率乘以圆心角度数后除以180，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴这个扇形的弧长为， 故答案为：． 4．如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 题型二、求扇形半径 5．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 6．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 7．已知一弧长为，此弧所对圆心角为，则此弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式进行求解即可．此题考查了弧长公式，，其中n是圆心角度数，r为半径，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为r， 则， 解得， 故答案为：． 8．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】8.5m 【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可 【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）． ∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 题型三、求圆心角 9．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：． 设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解． 【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则， 解得， ∴此定滑轮旋转的度数为． 故选：D． 10．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是， 故选：B． 11．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．一个扇形的弧长是，面积是，求扇形圆心角的度数． 【答案】扇形圆心角的度数为． 【分析】本题考查了扇形的相关计算，设扇形的半径为，圆心角的度数为，根据扇形的面积公式，代入数据即可求出半径，然后再根据弧长公式，求出圆心角即可，熟记基本计算公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角的度数为， 根据扇形的面积公式， ∴， 解得：， 由弧长公式可得：， ∴， ∴扇形圆心角的度数为． 题型四、求某点的弧形运动路径长度 13．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时， ∵π取3， ∴， 即点所对应的数是10． 故选：B． 14．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 15．中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出cm及是解题的关键．由，，求得，由旋转得cm，，则，由弧长公式求得点所经过的路径cm，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 由旋转得，， 、、三点在同一条直线上， ， 点所经过的路径为半径为cm且圆心角等于的一段弧， 点所经过的路径（cm)， 故答案为：cm． 16．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【答案】(1)120 (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式． （1）根据计算即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得， ∵点A、B、在同一直线上， ∴， 故答案为：120； （2）解：由（1）知旋转角为， ∴旋转过程中点A所经过的路程为， 旋转过程中点C所经过的路程为． 题型五、求扇形面积 17．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解，掌握扇形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，则，， ∵，， ∴， 故选：． 18．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据正方形与圆的对称性质可知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去扇形的面积． 【详解】解：根据图形可知，正方形的面积为， 扇形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：． 19．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 20．如图，已知的一条弦和该圆上的一点C， (1)请按尺规作图的要求作出上的点D，使得． (2)在（1）的条件下，连结，，若，的半径为1，求扇形的面积． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，记住扇形的面积． （1）在点C的上方作，连接即可； （2）求出，利用扇形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型六、求图形旋转后扫过的面积 21．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 22．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 23．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：运动路径如图： 故答案为：． 24．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 题型七、求弓形面积 25．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 26．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 27．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 28．如图，是的直径，是的弦，半径，垂足为，若，．求：    (1)的半径； (2)弦的长； (3)阴影部分的面积． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角函数，扇形面积计算；掌握相关定理是解题关键． （1）根据“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”可知：，在直角中，利用勾股定理就可以求出的值； （2）根据“直径所对圆周角是直角”可知，在直角三角形中利用勾股定理求得即可； （3）由可知是等边三角形，利用的正弦值求得边上的高，再根据阴影部分的面积=扇形的面积-的面积计算求值即可； 【详解】（1）解：∵半径， ， ， ， 设，在直角三角形中，， ， 解得：， 即半径； （2）解：为直径， ，， 又， ， ； （3）， ∴是等边三角形， ， 设边上的高为，则，可得， ． 题型八、求其他不规则图形的面积 29．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 【答案】C 【分析】本题考查不规则图形的面积，根据组合图形的关系，得出阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积是解决此题的关键． 甲图为正方形面积减去一个圆的面积；乙图为正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积，即可解答． 【详解】解：图甲的阴影部分的面积为：正方形面积减去一个圆的面积； 图乙的阴影部分面积为：正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积， 所以甲乙阴影部分的面积一样大， 故选：C． 30．如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的对称性，圆面积公式求解，熟练掌握公式是本题的解题关键． 由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解． 【详解】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积． 故选：C． 31．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题主要考查求其他不规则图形的面积，角平分线的性质，扇形面积；根据题意得到，，求出，证出四边形是正方形，得到，，再结合扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图： ∵的平分线交弧于点C，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 32．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与圆P相切于点B． (1)求的长； (2)求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； (3)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由于的坐标已知，因此求出的长度，根据直线与相切于点，与y轴相切于原点O，利用勾股定理定理可以求出AB的长度； （2）连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边三角形的性质得出，最后根据即可求出阴影部分面积； （3）过B作轴于C，用面积法得即得，从而，再用待定系数法可得直线AB解析式为． 【详解】（1）解：连接PB， ∵点的坐标分别为， ， ． ∵直线与相切于点B， ， ∵与y轴相切于原点O， ， （2）连接OB， ∵∠ABP=90°，OA=OP， ， ， ， ． （3）过B作轴于C，如图： ， ∴， ， 设直线AB解析式为，把代入得： ，解得 ∴直线解析式为． 【点睛】此题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定以及性质，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等知识，能熟练运用相关性质是解题的关键． 题型九、求圆锥侧面积 33．如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 先根据圆锥底面直径求出底面周长，再结合圆锥母线长，利用圆锥侧面积公式计算侧面积． 【详解】解：已知圆锥底面直径为6cm，则底面半径，底面周长． 圆锥母线长， 圆锥的侧面积公式为， 故选：B． 34．如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图相关知识，涉及圆锥底面周长公式（r为底面半径）以及圆锥侧面展开图扇形的面积公式（l为弧长，r为母线长）．解题关键是明确圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，易错点是混淆圆锥底面半径、母线长与扇形弧长、半径的对应关系． 要计算圆锥侧面展开图的面积，首先得知道侧面展开图扇形的弧长和半径．根据圆锥的性质，扇形的半径就是圆锥的母线长，这里母线长为12；扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用底面半径4，通过圆的周长公式算出底面周长为，也就是扇形弧长．最后把弧长和母线长代入扇形面积公式，就能求出侧面展开图的面积． 【详解】解：，， ． 又， ． 故答案为：． 35．如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】根据题意，得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于． 36．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 题型十、求圆锥底面半径 37．在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键是掌握：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 38．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 39．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 40．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 题型十一、圆锥的实际问题 41．一个长方体的容器，从里面量长分米，宽分米，高分米，水深分米．把一个半径分米的圆锥体实心铁块浸没在水里时，水面离容器口还有分米，求圆锥体实心铁块的高是多少分米？（π取） 【答案】分米 【分析】本题考查了圆锥体的体积，关键是利用圆锥体实心铁块浸没在水里前后，长方体容器内水面变化，得到圆锥体积，然后，运用圆锥体积公式计算即可解答． 【详解】解：设原长方体的容器中水的体积为， 则（） 将圆锥体实心铁块浸没在水里，设水与圆锥的体积和为， 则（） 设圆锥的体积为，底面积为，高为， 则（） 由圆锥体积公式可得， 联立和两式可得， ， 所以（） 答：圆锥体的高是分米． 42．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 43．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 44．如图，用一张半径为的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积． 【详解】解：帽子底面圆周长为：， 则扇形弧长为， 扇形面积， 故答案为∶ ． 题型十二、圆锥侧面上最短路径问题 45．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 46．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 47．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 48．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，由四段相等的圆弧组成的双叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵双叶花的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，连接，根据，求出，再求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，是周长的四分之一，连接， 由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在 中，，，，将 绕点 旋转至 的位置，且使点 ，， 在同一条直线上，则点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，弧长的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得，然后根据旋转，可得，接着求出点旋转的角度，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：在 中，，， ， 将 绕点 旋转至 的位置，且使点 ，， 在同一条直线上， ， ， ， 点经过的路径长为：， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【详解】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， ， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接， 为 中点，为中点， ， ，， ， ， 即， 故选：A ． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）若一个扇形的半径为 厘米，比它的弧长大 ，则此扇形的面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式． 根据题意，扇形的弧长，再根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式可知，依此进行计算． 【详解】解： （平方厘米）， 故答案为：15． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一个扇形的面积为，半径为，则它的圆心角度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．设这个扇形的圆心角为，根据扇形面积公式列关于n的方程并求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角为 根据题意，得， 解得， 这个扇形的圆心角为， 故答案为：． 7．扇子起源于商周时期，主要用于遮阳或礼仪场合，同时也是驱暑的工具．小乐制作了一个扇子模型（如图2），扇形外侧两竹条的夹角为，长，扇面的边的长为，则扇面面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇面的面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴扇面面积为； 故答案为：． 8．如图，在边长为2的正方形中，以点B为圆心，的长为半径画弧．点E是边的中点，以点E为圆心，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积问题，阴影部分的面积为扇形的面积减去半圆的面积，由此可解． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点， ，，， ，， 阴影部分的面积为：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知扇形的圆心角为，半径为，如果用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的全面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥，设底面圆的半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求出底面圆的半径，然后分别求出圆锥的侧面积和底面积，即可求解． 【详解】解∶ 设底面圆半径为r， 则， 解得， ∴圆锥的侧面积为，底面积为， ∴圆锥的全面积为． 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形即可； （3）点A旋转到经过的路径长即为圆弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，，， 点A所经过的路径长． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，的半径为2． ①求的长； ②在中求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，弧长公式． （1）连接，根据圆周角定理证明即可； （2）①由（1）可知，连接，过点作，交于点D，由圆周角定理可知，根据垂径定理可知，根据三角函数求出，即可得到的长； ②根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：连接 在中，， 在中，， ； （2）①， ． 连接，过点作，交于点D， ． 在中，， 即 ∴ ； ②． 12．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、扇形面积、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键． （1）先根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列方程求得r值即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质的带，再根据圆周角定理得，然后根据三角形的内角和定理求得，进而得，则有． 【详解】（1）解：设圆形零件的半径为r， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， 则该圆形零件的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 弧长和扇形面积的计算12大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求弧长 1 题型二、求扇形半径 2 题型三、求圆心角 3 题型四、求某点的弧形运动路径长度 5 题型五、求扇形面积 6 题型六、求图形旋转后扫过的面积 8 题型七、求弓形面积 8 题型八、求其他不规则图形的面积 8 题型九、求圆锥侧面积 9 题型十、求圆锥底面半径 11 题型十一、圆锥的实际问题 11 题型十二、圆锥侧面上最短路径问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求弧长 1．已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 3．已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是 ． 4．如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 题型二、求扇形半径 5．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 6．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 7．已知一弧长为，此弧所对圆心角为，则此弧所在圆的半径为 ． 8．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 题型三、求圆心角 9．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 10．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 11．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 12．一个扇形的弧长是，面积是，求扇形圆心角的度数． 题型四、求某点的弧形运动路径长度 13．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 14．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 15．中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 16．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 题型五、求扇形面积 17．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 18．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 19．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 20．如图，已知的一条弦和该圆上的一点C， (1)请按尺规作图的要求作出上的点D，使得． (2)在（1）的条件下，连结，，若，的半径为1，求扇形的面积． 题型六、求图形旋转后扫过的面积 21．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 23．如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 24．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 题型七、求弓形面积 25．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 27．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 28．如图，是的直径，是的弦，半径，垂足为，若，．求：    (1)的半径； (2)弦的长； (3)阴影部分的面积． 题型八、求其他不规则图形的面积 29．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 30．如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 31．如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 32．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与圆P相切于点B． (1)求的长； (2)求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； (3)求直线的解析式． 题型九、求圆锥侧面积 33．如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 34．如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 35．如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 36．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 题型十、求圆锥底面半径 37．在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 38．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 39．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 40．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 题型十一、圆锥的实际问题 41．一个长方体的容器，从里面量长分米，宽分米，高分米，水深分米．把一个半径分米的圆锥体实心铁块浸没在水里时，水面离容器口还有分米，求圆锥体实心铁块的高是多少分米？（π取） 42．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 43．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 44．如图，用一张半径为的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是 ．（结果保留） 题型十二、圆锥侧面上最短路径问题 45．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 46．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 47．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 48．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，由四段相等的圆弧组成的双叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵双叶花的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在 中，，，，将 绕点 旋转至 的位置，且使点 ，， 在同一条直线上，则点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）若一个扇形的半径为 厘米，比它的弧长大 ，则此扇形的面积为 平方厘米． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一个扇形的面积为，半径为，则它的圆心角度数为 ． 7．扇子起源于商周时期，主要用于遮阳或礼仪场合，同时也是驱暑的工具．小乐制作了一个扇子模型（如图2），扇形外侧两竹条的夹角为，长，扇面的边的长为，则扇面面积为 ．（结果保留） 8．如图，在边长为2的正方形中，以点B为圆心，的长为半径画弧．点E是边的中点，以点E为圆心，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 ．(结果保留) 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知扇形的圆心角为，半径为，如果用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的全面积是多少？ 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点所经过的路径长（结果保留）． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，的半径为2． ①求的长； ②在中求的长． 12．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $