专题03 垂径定理的应用9大题型（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题03 垂径定理的应用9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理直接求值 1 题型二、利用垂径定理间接求值 2 题型三、利用垂径定理求平行弦问题 3 题型四、利用垂径定理求同心圆问题 5 题型五、垂径定理的推论 6 题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 8 题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 8 题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 8 题型九、垂径定理的综合 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理直接求值 1．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，由垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：连接， ，， ， 在中，， 故选：A． 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 根据垂径定理可得，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，中，M是弦的中点，，，，则所在圆的半径是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是， 故答案为：． 4．如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8 题型二、利用垂径定理间接求值 5．如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，连接，作于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以，根据圆周角定理得，所以，则，由，得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点E，则， 将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D， ， 与所对的圆周角相等， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 7．如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得：负值舍去， ， ． 8．已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 题型三、利用垂径定理求平行弦问题 9．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 10．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 11．已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 【答案】14或2 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．作于E，延长交于F，连接、，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：14或2． 12．如图，过的顶点A，C，D，交边于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，垂径定理的应用，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再由圆周角定理及各角之间的等量代换即可证明； （2）根据平行四边形的性质得出，确定，，再由圆周角定理及弧、弦、角的关系即可证明． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ∴， ， ∵， ， ∴； （2）证明：连接， 四边形为平行四边形， ∴， ，，， ∵四边形AECD为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ， ， ， 过点O， ． 题型四、利用垂径定理求同心圆问题 13．如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等和圆周角定理，根据垂径定理由得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 14．如图，已知是的直径，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，由此得到答案． 【详解】解：∵是的直径，于点， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 15．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 16．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 题型五、垂径定理的推论 17．下列语句中： ①直径是弦，弦是直径； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ⑤相等的圆心角所对的弧长相等． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可． 【详解】①直径是弦，但弦不一定是直径，说法错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确； ⑤弧长由圆心角和半径决定，相等的圆心角所对的弧长不一定相等，说法错误． 故选：A． 18．下列说法正确的是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三个点确定一个圆 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键． 根据垂径定理判断选项A、B；根据圆心角、弧、弦的关系判断选项C；根据不在同一条直线上的三点确定一个圆判断选项D． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误； D、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； 故选：A． 19．如图，为的直径，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 20．如图为O为圆心为直径的圆，且，， (1)证明E为中点 (2)求的长度 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理的推论等知识点． （1）由垂径定理的推论即可证明； （2）由圆周角定理得到，然后解得到，再解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为直径，且， ∴， ∴点E为中点； （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 21．如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可得，设圆的半径为，则有，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设点为拱桥的圆心，则垂直平分，     ∵，，， ∴， 设圆的半径为， 则， ∴， ∴， ∴圆的半径长为， 故答案为：． 22．如图，赵州桥又名安济桥，俗称大石桥，始建于隋代，由匠师李春设计建造，它是世界上现存最古老跨度最大的敞肩圆弧拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．主桥拱的跨度约为米，拱高约为米，则主拱桥的半径为 米（结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得， ∴米，， 设米，则米， ∵， ∴， 解得， ∴主拱桥的半径为米， 故答案为：． 23．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 24．如图1，太原地铁号线工程建设者在施工时意外发现一座石拱桥．经考证，该石拱桥是明清时期太原府城大北门外的镇远桥，是当时城防交通体系的重要实物遗存．图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．                (1)求这座石拱桥主桥拱的半径． (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 【点睛】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． 题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 25．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)AO的长是 (2) 【分析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设交于点、交于点，根据垂径定理求出；设，用含的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于的方程并求解即可； （2）连接，根据题意可知，求出，从而求出，在中利用勾股定理求出，再利用垂径定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，设交于点、交于点． 根据题意，得， ， ， 设， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 的长是； （2）解：如上图，连接． ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 26．某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 【答案】(1)①作图见解析；②； (2)弧形拱所在圆的半径为． 【分析】（1）①画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心； ②过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，， 证明四边形，是矩形，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，设，则，，在中，，即，在中，，即，从而得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在弧形拱上任取一点，连接，分别作、的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，如图： ②如图，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，则， 由①可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，，， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴圆心到直线的距离是， 故答案为：； （2）解：如图： 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴弧形拱所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是找出弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题． 27．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 28．如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端（圆弧的中点）高出道路（）． (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，问这辆货运卡车能否通过该隧道？ 【答案】(1)所在圆的半径为 (2)这辆货运卡车能通过该隧道． 【分析】（1）设圆心为点O，半径为，再根据垂径定理、勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先利用勾股定理的长，然后与车宽进行大小比较即可． 【详解】（1）如图，设圆心为点O，半径为，连接OE交AD于点F，连接OA、OD， 由垂径定理得：OF垂直平分AD 四边形ABCD是矩形， ， ， 在中，，即 解得 即所在圆的半径为； （2）解：如图，在上取点，且使，过作交于点，连接， 依题意，圆弧所在圆的半径为，到的距离为7m，则点到的距离为， 则点到的距离为(m)， 在中，(m) ∵ ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题关键． 题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 29．【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值； 【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 【答案】（1）4；（2）元 【分析】（1）由知，当最小时， 最大，求出此时的，即可求解； （2）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答； 本题考查了垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，过点M作交于点，交于， ∵，是半径，为定值， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当时，最小，此时最大， 即当点P运动到时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为4． （2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴的面积为定值，且， ∴当点C到距离最大时，的面积最大，即此时四边形的面积最大， ∴当经过圆心O（点C在的位置）时，四边形的面积最大， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴修建和两座小桥的总成本为：（元）． 30．是内一点，过点作的任意一条弦，我们把的值称为点关于的“幂值” (1)的半径为，． ①如图1，若点恰为弦的中点，则点关于的“幂值”为______； ②判断当弦的位置改变时，点关于的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点关于的“幂值”的取值范围； (2)若的半径为，，请参考（1）的思路，用含、的式子表示点关于的“幂值”或“幂值”的取值范围______； (3)在平面直角坐标系中，，的半径为3，若在直线上存在点，使得点关于的“幂值”为6，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)①  ②当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值； (2)点关于的“幂值”为 (3) 【分析】（1）①如图1所示： 连接、、，由等腰三角形的三线合一的性质得到为直角三角形，然后依据勾股定理可求得的长，然后依据幂值的定义求解即可； ②过点作的弦连接、，先证明依据相似三角形的性质得到从而得出结论； （2）连接、过点作交圆与、两点，由等腰三角形三线合一的性质可知，然后在中，依据勾股定理可知，然后将、代入可得到问题的答案； （3）由直线和的解析式，得到点的坐标，然后由题意圆的幂值为，半径为可求得的值，然结合两点间的距离公式可求得关于的方程从而可求得的极值，故此可确定出的取值范围． 【详解】（1）解：①如图所示： 连接、、， ，为的中点， ， ∵在中，由勾股定理得：， ， ∴的“幂值”， 故答案为：； ②当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值. 证明：如图，为中过点的任意一条弦，且不与垂直，过点作的弦连接、， ∵在中，， ， ， ， ∴当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值； （2）如图所示；连接、过点作，交圆于、两点， ， ， ∴点关于的“幂值”， 在中，， ∴关于⊙O的“幂值”， 故答案为：点关于的“幂值”为； （3）如图所示：过点作，设直线AB与x轴、y轴交于点D，E，过点P作垂直x轴于点Q， ∵的解析式为， 当时，；令，则， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点关于的“幂值”为， ， ， 即， 整理得：， 解得或， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于的方程，从而求得的极值是解题的关键． 31．【感知】定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 如图，四边形内接于，连接交于点，点是的中点．求证：四边形是邻等对补四边形． 【探究】如图，四边形是邻等对补四边形，，，求证：平分． 下面是部分证明过程， 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，证明过程缺失 ∴平分， 请补全缺失的证明过程； 【应用】如图，在中，，，，点在边上，点在边上，连接，当四边形是邻等对补四边形时，直接写出的长． 【答案】[感知] 证明见解析；[探究] 证明见解析；[应用] 的长为或或． 【分析】[感知] 根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，于是得到四边形是邻等对补四边形； [探究] 延长至点，使，连接，由，，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据角平分线的定义得到平分； [应用] 根据题意分、、、四种情况画出图形, 证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】[感知] 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； [探究] 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； [应用] 解：在中，，，， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 由“邻等对补四边形”的定义可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，理解“邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解题的关键． 32．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，设该圆弧所在圆的半径为，得出垂直平分．在中，勾股定理建立方程，求得，即可求解； （2）连接，设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．射线与，分别相交于点，，则．证明得出，进而求得从而应向右平移的最大值为，即可求解． 【详解】（1）如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧， 设该圆弧所在圆的半径为， 依题意，得，在中， ， 垂直平分． ． 在中，， 即， 解得或（负值舍去）． 即秋千的长度为． （2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点． 射线与，分别相交于点，，则． 又， 与均为等腰直角三角形． ，． 当时，， 连接，又，， 又，， ． ． 而， ． 从而应向右平移的最大值． 应将挡光板沿方向向右最多平移约． 题型九、垂径定理的综合 33．如图，四边形是的内接四边形，垂足为，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于H，连接，可证，则，则，又因为，则题目可解． （2）可证，则利用勾股定理可求，又因为可得，则，进而可证，则利用垂径定理和相似三角形的性质可求线段的长度，因为，可证明四边形的面积等于可求． 【详解】（1）解：延长交于H，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ， ∴    （2）解：由（1）得， ∴ ∴， 且， ∴，， ， ， ， 由（1）得， ， 连接并延长交于，连接    则， ， 则， ， ∵，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定和性质，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 34．如图1，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，作于点． (1)求证：； (2)如图2，若，平分，则的值为________； (3)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质解答即可； （2）利用角平分线、平角的定义得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得，从而得为圆的直径，得；证明得，证明得； （3）在的延长线上截取，连接，可证，得到，根据题意可得，则有，由此即可求解． 本题主要考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义及性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握圆与多边形的综合运用，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵是的直径，弦于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（2）可知， ∵平分， ∴， ∴， ∵，平分， ∴根据等腰三角形三线合一的性质可知， ∴， ∴是圆的直径，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：线段之间的数量关系为．理由： 在的延长线上截取，连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 35．如图，是的直径，是的一条弦，且于点． (1)求证：； (2)若，求的半径； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的动点（不与点、重合），则线段长度的取值范围是___________ 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为3，证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理和点到直线的距离，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质即可证明； （2）先利用垂径定理求出，再根据勾股定理，列方程求解，从而求出的半径； （3）先由垂线段最短可得的最小值，再由点不与点、重合得的长小于半径，进而得到线段长度的取值范围． 【详解】（1）证明： ， ， ， ； （2）解：是的直径，，， ， 在中，， 设的半径为，则，， ， 解得， 的半径为； （3）由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，； 由点不与点、重合可得，的长小于半径，即，所以线段长度的取值范围为． 故答案为：． 36．定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”： ； (2)求证：关于的“经典方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 【答案】(1)或 (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）根据“经典方程”直接求解即可得到答案； （2）根据结合判别式化简为完全平方公式直接证明即可得到答案； （3）过作的垂线，分别交、于点E、F，根据得到，，从而得到即可得到，得到，最后结合圆周角定理即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵， ∴， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴， ∴关于的“经典方程”必有实数根； （3）解：过作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形中位线定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，三线合一定理，勾股定理，分圆心在内和在外两种情况讨论，先证明三点共线，则可求出的长，根据勾股定理先求得的长，再根据勾股定理可求得的长即可． 【详解】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若是锐角，是等腰三角形， 连接，过点O作于D，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是等腰三角形，且为底， ∴， ∴三点共线， ，， ， ， ； 如图二，若是钝角，是等腰三角形， 同理可得， ， 综上可得腰长或 故选： 3．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．根据折叠的性质可得；根据线段中点的定义可得；根据垂径定理可作判断③延长交于E，连接，根据垂径定理可作判断④． 【详解】解：过D作，交于，连接、， 由折叠得：，， ∴，故B正确； ∵点D是的中点， ∴，故A正确； ∵， ∴， 由折叠得：， ∴；故C正确； 延长交于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴不平分，故D错误； 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：D． 5．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心O． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点M，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）在上任意取一点M，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：， 所以点O 是所在圆的圆心 (理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆的定义 (到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆) 故答案为：①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）． 6．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 7．如图，是的直径，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，利用勾股定理可得，则由垂径定理可得的长，再由勾股定理可得的长，据此求出的长，再由勾股定理得到的长，进一步可得的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的直径是20 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案； （2）由可得，由三角形外角的定义及性质结合可得，再由可得，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 的直径为20； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 11．如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 【答案】(1)见解析 (2)花园的半径为50米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质求得，根据垂径定理求得，再利用线段的和差计算即可得到； （2）连接，设的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴，， ∴，即； （2）解：连接， 设的半径为r，则米，米， ∵， ∴米， 在中，， 解得，即花园的半径为50米． 12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，． (1)求的半径； (2)在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度． 如图，，当时，求切割的长度为多少； 当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！ 【答案】(1) (2)；旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断 【分析】（1）设半径为，由三角函数得，解之即可； （2）如图，连接，由勾股定理得，由垂径定理得，最后根据，即可求解； 如图，当旋转到时，，由含的直角三角形的性质得，由勾股定理得，所以，因为，所以当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断． 【详解】（1）解：设半径为， 当恰好和相切时，，， ， 解得：； （2）解：如图，连接， ，，， 在中，， ， ； 如图，当旋转到时，， ， ， 连接，在中，， ， ， 当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，含的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 垂径定理的应用9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用垂径定理直接求值 1 题型二、利用垂径定理间接求值 2 题型三、利用垂径定理求平行弦问题 3 题型四、利用垂径定理求同心圆问题 5 题型五、垂径定理的推论 6 题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 8 题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 8 题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 8 题型九、垂径定理的综合 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用垂径定理直接求值 1．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（   ） A． B．2 C． D．3 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，中，M是弦的中点，，，，则所在圆的半径是 ． 4．如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是 ． 题型二、利用垂径定理间接求值 5．如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 6．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 7．如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型三、利用垂径定理求平行弦问题 9．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 10．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 11．已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 12．如图，过的顶点A，C，D，交边于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，连接并延长交于点，求证：． 题型四、利用垂径定理求同心圆问题 13．如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 14．如图，已知是的直径，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 15．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 16．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 题型五、垂径定理的推论 17．下列语句中： ①直径是弦，弦是直径； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ⑤相等的圆心角所对的弧长相等． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．下列说法正确的是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三个点确定一个圆 19．如图，为的直径，，，则的度数为 ． 20．如图为O为圆心为直径的圆，且，， (1)证明E为中点 (2)求的长度 题型六、垂径定理实际应用之拱桥问题 21．如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为 ． 22．如图，赵州桥又名安济桥，俗称大石桥，始建于隋代，由匠师李春设计建造，它是世界上现存最古老跨度最大的敞肩圆弧拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．主桥拱的跨度约为米，拱高约为米，则主拱桥的半径为 米（结果精确到）． 23．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 24．如图1，太原地铁号线工程建设者在施工时意外发现一座石拱桥．经考证，该石拱桥是明清时期太原府城大北门外的镇远桥，是当时城防交通体系的重要实物遗存．图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．                (1)求这座石拱桥主桥拱的半径． (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 题型七、垂径定理实际应用之隧道问题 25．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． (1)求的长； (2)求的长． 26．某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 27．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 28．如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端（圆弧的中点）高出道路（）． (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，问这辆货运卡车能否通过该隧道？ 题型八、由几何图形联系垂径定理实际问题 29．【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值； 【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 30．是内一点，过点作的任意一条弦，我们把的值称为点关于的“幂值” (1)的半径为，． ①如图1，若点恰为弦的中点，则点关于的“幂值”为______； ②判断当弦的位置改变时，点关于的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点关于的“幂值”的取值范围； (2)若的半径为，，请参考（1）的思路，用含、的式子表示点关于的“幂值”或“幂值”的取值范围______； (3)在平面直角坐标系中，，的半径为3，若在直线上存在点，使得点关于的“幂值”为6，请直接写出的取值范围______． 31．【感知】定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 如图，四边形内接于，连接交于点，点是的中点．求证：四边形是邻等对补四边形． 【探究】如图，四边形是邻等对补四边形，，，求证：平分． 下面是部分证明过程， 证明：延长至点，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，证明过程缺失 ∴平分， 请补全缺失的证明过程； 【应用】如图，在中，，，，点在边上，点在边上，连接，当四边形是邻等对补四边形时，直接写出的长． 32．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 题型九、垂径定理的综合 33．如图，四边形是的内接四边形，垂足为，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，，则四边形的面积为__________． 34．如图1，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，作于点． (1)求证：； (2)如图2，若，平分，则的值为________； (3)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 35．如图，是的直径，是的一条弦，且于点． (1)求证：； (2)若，求的半径； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的动点（不与点、重合），则线段长度的取值范围是___________ 36．定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”： ； (2)求证：关于的“经典方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为 （   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 4．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 5．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心O． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点M，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 6．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 7．如图，是的直径，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接．若，则的长是 ． 8．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 10．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 11．如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，． (1)求的半径； (2)在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度． 如图，，当时，求切割的长度为多少； 当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $