第二十八章 圆（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C． 2．如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， 则， ∴， 故选B． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可． 【详解】解：由图可知，过圆心为直径， ∴最长， 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 7．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，等腰的一个锐角A的顶点在上，边，分别与交于点D，E，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 先根据等腰直角三角形得到，再由圆周角定理得到． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 8．（2024·河北·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形等知识点，熟练运用圆周角定理是本题的关键．由三角形中位线定理可得 ，即当为直径时，长最大，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴， 当为直径时，长最大， ∵为直径， ∴，且，， ∴， ∴， ∴长的最大值为． 故选：A． 9．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论是锐角三角形还是钝角三角形是解决本题的关键． 本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论是锐角三角形还是钝角三角形求解即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图， 已知点O为的外心，连接，， 此时是圆心角，是圆周角，且， 即； 当是钝角三角形时，如图， 同样连接，，， 此时可得， 则四边形为圆的内接四边形， 所以， 总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或． 故选：A． 10．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和，弧长公式，掌握圆的相关性质是解题关键．由切线的性质可得，从而得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：过点A、B的两条切线相交于点C， ， ， ， ， 这段圆弧的长为， 故选：A． 11．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 12．（2025·河北邢台·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、的圆周角所对的弦是直径、弧长计算，由，那么点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上，点O与点E不会重合，即点E不可能落在上；从点E在点C位置开始，点，运动路径的长度为以点A为圆心，分别以，为半径的弧长，且与转过的角度相等，那么点，运动路径的长度比始终保持与一致，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：， ∴， ∴点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上， ∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在上，故甲对； 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 从点E在点C位置开始，点运动路径的长度为以点A为圆心，分别以为半径的弧长，且与转过的角度相等， ∵， ∴点运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的直径，，则为 度． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理与垂径定理．由的直径，根据垂径定理可得，又由，利用圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：∵的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，的半径为，点A，B，C是上的三个点，若四边形是菱形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积，根据菱形的性质可得可得，再利用扇形面积公式即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为： 15．（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解∶如图所示， 解：转动一次顶点A至点，旋转，路线长是：， 转动第二次顶点至点，未动，路线长是：0， 转动第三次顶点至点，旋转，路线长是：， 以此类推，每三次循环， 故顶点A转动三次经过的路线长为：， ∵9次旋转重复了（遍）， ∴顶点A转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为：． 故答案为 ∶． 16．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 【详解】解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，是的直径，点，在上，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，先求解，再利用同弧所对的圆周角定理相等可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，， ∵， ∴； 18．（8分）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标； (2)请在图中作出的外接圆（保留作图过程），写出圆心M的坐标． 【答案】(1)点D、E的坐标分别为， (2)M的坐标为 【分析】本题考查了旋转作图以及外接圆，熟练掌握旋转的性质作图是解题的关键． （1）将、绕点A顺时针旋转90°得到对应的点D、E，顺次连接即可得到，进而得到点D，E的坐标． （2）作出、垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以的长为半径作圆即可． 【详解】（1）所作如图所示，点D、E的坐标分别为，． （2）所作如图所示，M的坐标为． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为，扇形的面积，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键. （1）由正六边形的性质解得，，再根据扇形面积公式解答； （2）由直径所对的圆周角为解答； 【详解】（1）解：连接，    ∵正六边形为的内接正六边形， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下，连接，    由题意可得，点A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴． 20．（8分）（24-25九年级上·河北·期末）如图，是的直径，弦于点M，连结． (1)若，则______° (2)若，求的长度． 【答案】(1)60 (2)8 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．掌握相关定理，是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：是所对的圆心角， ． 故答案为：60； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点M ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．（9分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图是一圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面的交点为E，且，四边形是一个矩形．已知米，米．设圆弧形门的圆心为O． (1)请在图中画出圆弧形门的最高点M（不说理由）； (2)求圆弧形门最高点到地面的距离； (3)求的值（圆内阴影部分）． 【答案】(1)图见解析 (2)圆弧门最高点到地面的距离为2米 (3)平方米 【分析】本题考查的是矩形的性质、弓形面积的计算，构造直角三角形，利用勾股定理是求解本题的关键． （1）连接并延长，与交于点M，即为所求； （2）根据题意，所求距离就是圆的直径，所以可以连接半径作弦心距来构造直角三角形． （3）先求出扇形面积，减去面积即所求弓形面积． 【详解】（1）解：点M即为所求作； （2）解：设交于F，连接，如图所示： ， ， 四边形是一个矩形，米， 米，四边形是矩形， 米，米， 设半径为x米， 则米，米， 在中，， 解得：， ∴圆弧门最高点到地面的距离为2米． （3）∵米，米， ， ∴， ∴， 米， 平方米． 22．（9分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、M均为格点． 佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，在中，______ ∴．∴______ ∵．∴，∴，即． （1）如图②是以格点O为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，不写作法，保留作图痕迹，并给出证明； （2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使，不写作法，保留作图痕迹，不用证明． 【答案】；；（1）见详解；（2）见解析 【分析】本题考查了正切的定义，垂径定理，直角三角形的两个锐角互余，勾股定理等知识，在网格中求线段的长度是解题的关键．根据锐角三角函数定义，已知两个角的正切值相等，这两个角相等回答即可． （1）如图，射线交于点，点即为所求作的点．取格点，设交于点，根据正切定义证明，再根据直角三角形两个锐角互余，得，进而，最后根据垂径定理即可证得结论； （2）求出线段，根据求得，即小正方形对角线的一半，根据网格的特征确定点即可． 【详解】解：；，理由如下： 在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，在中， ∴． ∴ ∵． ∴， ∴，即． 故答案为：；； （1）如图所示点即为所求作的点； 证明；如图，取格点，设交于点， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 则在中，根据垂径定理得，； （2）如图所示，点这即为所求作的点． 23．（11分）（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1，一汤碗的截面是以为直径的半圆O（碗体厚度忽略不计），放置于水平桌面上，碗中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线．已知液面截线宽，液体的最大深度为． (1)求汤碗直径的长； (2)如图2，在同一截面内，将汤碗（半圆O）沿桌面向右作无滑动的滚动，使液体流出一部分后停止，再次测得液面截线减少了． ①上述操作后，水面高度下降了多少？ ②通过计算比较半径和流出部分液体后劣弧的长度哪个更长．（参考数据：） 【答案】(1) (2)①水面下降了② 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用以及弧长公式的应用． （1）连接，过点O作，与交于点P，与半圆O交于点Q，利用垂径定理得出，设半圆O的半径为，利用勾股定理解出r，即可求解． （2）①先求出，然后再利用勾股定理求出，即可求出，进一步即可求出答案，②根据正切的定义求出，则可得出，利用弧长公式求出劣弧的长，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，过点O作，与交于点P，与半圆O交于点Q，如图1． 于P， ， 设半圆O的半径为， 在中， ， ，解得， （2）①作与交于点E，与半圆O交于点F， 操作后， 同（1）可得，， ∴在中， ， ， ，水面下降了． ②在中，， ， ， ， ∵ ． 24．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． (1)当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； (2)当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； (3)在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则是等腰直角三角形，据此求出AC的长，再根据扇形面积计算公式求解即可； （2）过点C作于T，连接，，可证明O、C、T三点共线，根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论； （3）可证明OC垂直平分，则点C一定在的某条直径EF上运动，设，交于M，解直角三角形得到的值，则随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大，当点C与点E重合时，有最小值，当点M恰好与点O重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图1， 为弧的中点．是直径，圆的半径为， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ； （2）解：如图2，过点C作于T，连接，， ，， 垂直平分AB， 、C、T三点共线， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 点O与点C的距离为， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ， ； （3）解：，， 垂直平分， 点C一定在的某条直径上运动， 设，交于M， ，， ， 随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点C与点E重合时， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 如图4，当点M恰好与点O重合时，此时， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了扇形面积计算，解直角三角形，垂径定理，三线合一定理，线段垂直平分线的判定和性质等等，熟知扇形面积计算公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 2．如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A．B．C． D． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，等腰的一个锐角A的顶点在上，边，分别与交于点D，E，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 10．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 12．（2025·河北邢台·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的直径，，则为 度． 14．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，的半径为，点A，B，C是上的三个点，若四边形是菱形，则阴影部分的面积为 ． 15．（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 16．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，是的直径，点，在上，若，求的度数． 18．（8分）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标； (2)请在图中作出的外接圆（保留作图过程），写出圆心M的坐标． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 20．（8分）（24-25九年级上·河北·期末）如图，是的直径，弦于点M，连结． (1)若，则______° (2)若，求的长度． 21．（9分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图是一圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面的交点为E，且，四边形是一个矩形．已知米，米．设圆弧形门的圆心为O． (1)请在图中画出圆弧形门的最高点M（不说理由）； (2)求圆弧形门最高点到地面的距离； (3)求的值（圆内阴影部分）． 22．（9分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、M均为格点． 佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，在中，______ ∴．∴______ ∵．∴，∴，即． （1）如图②是以格点O为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，不写作法，保留作图痕迹，并给出证明； （2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使，不写作法，保留作图痕迹，不用证明． 23．（11分）（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1，一汤碗的截面是以为直径的半圆O（碗体厚度忽略不计），放置于水平桌面上，碗中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线．已知液面截线宽，液体的最大深度为． (1)求汤碗直径的长； (2)如图2，在同一截面内，将汤碗（半圆O）沿桌面向右作无滑动的滚动，使液体流出一部分后停止，再次测得液面截线减少了． ①上述操作后，水面高度下降了多少？ ②通过计算比较半径和流出部分液体后劣弧的长度哪个更长．（参考数据：） 24．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． (1)当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； (2)当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； (3)在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B B C C C A A A C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16． 或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，先求解，再利用同弧所对的圆周角定理相等可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，， ∵， ∴；······································7分 18．（8分） 【答案】(1)点D、E的坐标分别为， (2)M的坐标为 【分析】本题考查了旋转作图以及外接圆，熟练掌握旋转的性质作图是解题的关键． （1）将、绕点A顺时针旋转90°得到对应的点D、E，顺次连接即可得到，进而得到点D，E的坐标． （2）作出、垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以的长为半径作圆即可． 【详解】（1）所作如图所示，点D、E的坐标分别为，．···········2分 ······································4分 （2）所作如图所示，M的坐标为． ······································8分 19．（8分） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为，扇形的面积，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键. （1）由正六边形的性质解得，，再根据扇形面积公式解答； （2）由直径所对的圆周角为解答； 【详解】（1）解：连接，    ∵正六边形为的内接正六边形， ∴， ∴， ∴；·····································4分 （2），理由如下，连接，    由题意可得，点A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴．·····································8分 20．（8分） 【答案】(1)60 (2)8 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．掌握相关定理，是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：是所对的圆心角， ． 故答案为：60；·····································3分 （2）∵， ∴， ∴， ∴，·····································5分 ∵于点M ， ∴，， ∴， ∴， ∴．·····································8分 21．（9分） 【答案】(1)图见解析 (2)圆弧门最高点到地面的距离为2米 (3)平方米 【分析】本题考查的是矩形的性质、弓形面积的计算，构造直角三角形，利用勾股定理是求解本题的关键． （1）连接并延长，与交于点M，即为所求； （2）根据题意，所求距离就是圆的直径，所以可以连接半径作弦心距来构造直角三角形． （3）先求出扇形面积，减去面积即所求弓形面积． 【详解】（1）解：点M即为所求作； ·····································2分 （2）解：设交于F，连接，如图所示： ， ， 四边形是一个矩形，米， 米，四边形是矩形， 米，米，·····································3分 设半径为x米， 则米，米， 在中，， 解得：， ∴圆弧门最高点到地面的距离为2米．·····································5分 （3）∵米，米， ， ∴， ∴， 米，·····································7分 平方米．··························9分 22．（9分） 【答案】；；（1）见详解；（2）见解析 【分析】本题考查了正切的定义，垂径定理，直角三角形的两个锐角互余，勾股定理等知识，在网格中求线段的长度是解题的关键．根据锐角三角函数定义，已知两个角的正切值相等，这两个角相等回答即可． （1）如图，射线交于点，点即为所求作的点．取格点，设交于点，根据正切定义证明，再根据直角三角形两个锐角互余，得，进而，最后根据垂径定理即可证得结论； （2）求出线段，根据求得，即小正方形对角线的一半，根据网格的特征确定点即可． 【详解】解：；，理由如下： 在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，在中， ∴． ∴ ∵． ∴， ∴，即． 故答案为：；；·····································2分 （1）如图所示点即为所求作的点； 证明；如图，取格点，设交于点， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 则在中，根据垂径定理得，；·····································4分 ·····································6分 （2）如图所示，点这即为所求作的点． ·····································9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)①水面下降了② 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用以及弧长公式的应用． （1）连接，过点O作，与交于点P，与半圆O交于点Q，利用垂径定理得出，设半圆O的半径为，利用勾股定理解出r，即可求解． （2）①先求出，然后再利用勾股定理求出，即可求出，进一步即可求出答案，②根据正切的定义求出，则可得出，利用弧长公式求出劣弧的长，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，过点O作，与交于点P，与半圆O交于点Q，如图1． 于P， ， 设半圆O的半径为， 在中， ， ，解得， ·····································3分 （2）①作与交于点E，与半圆O交于点F， 操作后， 同（1）可得，， ∴在中， ， ， ，水面下降了．·····································6分 ②在中，， ， ， ，·····································8分 ∵ ．·····································11分 24．（12分） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则是等腰直角三角形，据此求出AC的长，再根据扇形面积计算公式求解即可； （2）过点C作于T，连接，，可证明O、C、T三点共线，根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论； （3）可证明OC垂直平分，则点C一定在的某条直径EF上运动，设，交于M，解直角三角形得到的值，则随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大，当点C与点E重合时，有最小值，当点M恰好与点O重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图1， 为弧的中点．是直径，圆的半径为， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ；·····································4分 （2）解：如图2，过点C作于T，连接，， ，， 垂直平分AB， 、C、T三点共线， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 点O与点C的距离为， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ， ；·····································8分 （3）解：，， 垂直平分， 点C一定在的某条直径上运动， 设，交于M， ，， ， 随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点C与点E重合时， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 如图4，当点M恰好与点O重合时，此时， ， ．·····································12分 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了扇形面积计算，解直角三角形，垂径定理，三线合一定理，线段垂直平分线的判定和性质等等，熟知扇形面积计算公式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 2．如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A．B．C． D． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，等腰的一个锐角A的顶点在上，边，分别与交于点D，E，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 10．（2025·河北唐山·二模）某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 12．（2025·河北邢台·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的直径，，则为 度． 14．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，的半径为，点A，B，C是上的三个点，若四边形是菱形，则阴影部分的面积为 ． 15．（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 16．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，是的直径，点，在上，若，求的度数． 18．（8分）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标； (2)请在图中作出的外接圆（保留作图过程），写出圆心M的坐标． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 20．（8分）（24-25九年级上·河北·期末）如图，是的直径，弦于点M，连结． (1)若，则______° (2)若，求的长度． 21．（9分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图是一圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面的交点为E，且，四边形是一个矩形．已知米，米．设圆弧形门的圆心为O． (1)请在图中画出圆弧形门的最高点M（不说理由）； (2)求圆弧形门最高点到地面的距离； (3)求的值（圆内阴影部分）． 22．（9分）（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、M均为格点． 佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，在中，______ ∴．∴______ ∵．∴，∴，即． （1）如图②是以格点O为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，不写作法，保留作图痕迹，并给出证明； （2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使，不写作法，保留作图痕迹，不用证明． 23．（11分）（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1，一汤碗的截面是以为直径的半圆O（碗体厚度忽略不计），放置于水平桌面上，碗中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线．已知液面截线宽，液体的最大深度为． (1)求汤碗直径的长； (2)如图2，在同一截面内，将汤碗（半圆O）沿桌面向右作无滑动的滚动，使液体流出一部分后停止，再次测得液面截线减少了． ①上述操作后，水面高度下降了多少？ ②通过计算比较半径和流出部分液体后劣弧的长度哪个更长．（参考数据：） 24．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． (1)当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； (2)当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； (3)在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $