数学（新课标I卷）-学科网2024届高三10月大联考

( ………………………○……○……○……○……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… 学校： 班级： 姓名： 准考证号 ： ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) 绝密★启用前 2024届高三10月大联考（新课标I卷） 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．“是第二象限角”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图象是 4．已知圆O的半径为2，弦MN的长为，若,则 A． B． C．2 D．4 5．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾(多指塑料袋)污染环境现象的一种形象称谓．经过长期 研究，一种全生物可降解塑料（简称）逐渐被应用于超市购物袋、外卖包装盒等产品．研 究表明，在微生物的作用下,最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然,当其分解 率()超过时,就会成为对环境无害的物质．为研究总质量为 的的已分解质量(单位：)与时间(单位:月)之间的关系,某研究所人员每隔1 个月测量1次的已分解质量, 对通过实验获取的数据做计算处理,研究得出已分解质量 与时间的函数关系式为.据此研究结果可以推测,总质量为的被分解为对环境无害的物质的时间至少为（参考数据：） A．8个月 B．9个月 C．10个月 D．11个月 6．在三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献.在托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最早的正弦表，据书中记载，为了度量圆弧与弦长，他采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，即用圆周的作为单位来度量圆弧；把圆的半径60等分，即用半径的作为单位来度量弦长，其中圆心角所对的弦长表示为.建立了半径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对的弦长，比如60°角所对的弦长正好是正六边形外接圆的半径，则60°角所对的弦长为60个单位，即，由此可知，的值为 A． B． C． D． 7．已知，，且，，则 A． B． C． D． 8．已知函数，则的大小关系为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知，且，则 A． B． C． D． 10．若函数的部分图象如图所示，则 A． B． C．在上单调递减 D． 11．已知函数，则 A．为偶函数 B．是的一个单调递增区间 C． D．当时， 12．已知函数及其导函数的定义域均为,且为非常数函数,, 为奇函数，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知幂函数的图象过点，则__________. 14．已知向量，，的夹角为，则__________. 15．若是正实数，且，则的最小值为__________. 16．当时，恒有成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，． （1）求； （2）若，D为AC的中点，求BD的长． 18．（12分） 某公园池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系如下表所示: 时间t/月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且． （1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； （2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m2，31m2，211m2所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由． 19．（12分） 在通用课实践活动中，某兴趣小组在以为圆心，1为半径的半圆形模板上，设计一个以 直径的端点A为顶点，边AB在直径上，点C，D均在半圆上的四边形，且满 足，如图所示．设，四边形的周长为． （1）求关于的函数关系式； （2）试判断是否有最大值，若有，求出最大值，并求出此时的正弦值；若没有，请 说明理由． 20.（12分） 已知函数． （1）若为函数的导函数，求的极值； （2）若有两个不等的实根，求实数a的取值范围． 21.（12分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （1）求； （2）若，O为的内心，求的取值范围． 22．（12分） 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 新课标I卷 数学 第1页（共4页） 新课标I卷 数学 第2页（共4页） 新课标I卷 数学 第3页（共4页） 新课标I卷 数学 第4页（共4页） 理科数学试卷 第5页（共6页） 理科数学试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 6.在三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献在托勒密的《天文学大成》中有一张 2024届高三10月大联考（新课标1卷)》 弦表，被认为是最早的正弦表，据书中记载，为了度量圆弧与弦长，他采用了巴比伦人的 数学 60进位法，把圆周360等分，即用圆周的360作为单位来度量圆弧：把圆的半径60等分， 本卷满分150分，考试时间120分钟。 即用半径的0作为单位来度量弦长，其中圆心角a所对的弦长表示为ca建立了半径与 注意事项： 圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对的弦长，比如60°角所对的弦长正 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 好是正六边形外接圆的半径，则60°角所对的弦长为60个单位，即cd(60)=60,由此可知， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 crd(45)的值为 在本试卷上无效。 A.60N2+V2 B.√2+5 C.√2-5 D.60W2-√2 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 7.已知a,Be(0,,a>B,且cosa(cosa-cos)+sina(6ina-sin)={ ,si=7 10 选项是符合题目要求的。 则sin(a+B)= 1.已知集合A={x∈Zx2s16,B={x-1≤x<4,则C,(A∩B)= A.{-4-3,-2 B.{-4,-3,-2,4} C.0,1,2,3} D.{x0≤x<5} A号 B. D高 2.“0是第二象限角”是“sin0tan0<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8.已知函数fx)=d+a+cosx+x2(a>),则f2),f(-e),f(a)的大小关系为 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.fπ)<f(-e)<f(2) B.f2<fπ<f-e) 3.函数f(x)=x21og 2+的大致图象是 2-x C.f(π)<f(W2)<f(-e) D.f(-e)<fπ)<f(N2) 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知a>b>0,且a≠1，b≠1，则 A.logb>0 B,2>1 C.In D.log b+4loga24 4.己知圆0的半径为2，弦MN的长为25，若2M亚=P,则Mō.O= A.4 B.-2 C.2 D.4 5.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓.经过长期 10.若函数f因=如(r+p400>0p水孕的部分图象如图所示。则 研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT)逐渐被应用于超市购物袋、外卖包装盒等产品，研 究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解 率（分解率已分解质量 总质量 100%)超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为 100g的PBAT的已分解质量y(单位：g)与时间x(单位：月)之间的关系，某研究所人员每隔1 个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出己分解质量 A.0=2 y与时间x的函数关系式为y=I00-e-a.据此研究结果可以推测，总质量为100g的PBT B.9=8 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（参考数据：n40≈37） A.8个月 B.9个月 C.10个月 D.11个月 C网在停爱上单润送减 D.f-2= 新课标I卷数学第1页（共4页） 新课标1卷数学第2页（共4页》 11.已知函数f(x)=cosx tanx,则 19.(12分) 在通用课实践活动中，某兴趣小组在以O为圆心，1为半径的半圆形模板上，设计一个以 A.f(x)为偶函数 B.【元-受是f)的一个单调递增区间 直径AE的端点A为顶点，边AB在直径上，点C,D均在半圆上的四边形ABCD,且满 C.f(π+x)=-f(x) D.当xe(时，20 足AC=AB+AD,如图所示.设∠CAE=O,四边形ABCD的周长为L. (1)求L关于0的函数关系式： 12.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,且f(x)为非常数函数，f(x)+f(x+2)=6, (2)试判断L是否有最大值，若有，求出最大值，并求出此时日的正弦值：若没有，请 装 g(2x+)为奇函数，则下列结论中正确的是 说明理由。 A.g(1)=0 B.g(x+2)=g(2-x) C.f(x)=f(x+2) D. 2f0=120 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 注 20.(12分) 1。已知幂函数y=因的图象过点6，则/= 已知函数f(x)=e-ax2+x-1. (1)若(x)为函数(x)的导函数，求h(x)的极值： 14.已知向量a=(-L.a+b外万，ab的夹角为后则bF 卷 (2)若f(x)=0有两个不等的实根，求实数a的取值范围 15.若a6是正实数。且6十2a51,则0+6的最小值为 21.(12分) 无 1 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos B-2 acos A=bcos Acos B- 印 16.当x21时，恒有n+1≤c--mr-1成立，则m的取值范围是 asin'B. e-mx (1)求A: 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (2)若a=√3，O为△ABC的内心，求3OB+2OC的取值范围. 17.(10分) 22.(12分) 已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且S=acsinA,cosB=} 已知函数g(x)=e“cosx-er- 及 4 (1)若a=1,求g(x)的图象在点(0，g(O)处的切线方程： (1)求c0sA: 换 (2)若S=√5，D为AC的中点，求BD的长. (2)若8闭在区间（普孕上单调递增，求实数口的取值范围 18.(12分) 则 某公园池塘里浮萍的面积y(单位：m)与时间t(单位：月)的关系如下表所示： 任 自 时间/月 2 3 浮萍的面积y/m 9 17 线 现有以下三种函数模型可供选择：①y=kt+b，,②y=p·a+g,③y=mlog。t+n,其 中k,b,P,g,m,n,a均为常数，a>0且a≠1. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于1的函数解析式： (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m2,31m2,211m2所经过的时间分别为，4,4， 写出一种，2，马满足的等量关系式，并说明理由. 新课标1卷数学第3页（共4页） 新课标I卷数学第4页（共4页） ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024届高三10月大联考（新课标I卷） 数 学·答题卡 ( 姓 名 ： ________________________________ 准考证号： ) ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 ) ( 贴条形码区 ) ( 缺考标记 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C ] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题 （ 每小题5分，共20分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共20分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续17） 18 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 请在各题目的答题仪域内作答，栖出黑色矩形边框限定风域的答案无效1 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2024届高三10月大联考（新课标1卷） (续17) 19.(12分) 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 1。答题馆，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 选择题必须用2B铅笔填涂：非边 注 择题必须用0.5mm需色签字笔答 贴条形码区 愿，不得用船笔或圆珠笔答愿：字 体工整、笔迹清晰。 项 3 请按圆号顺序在各题目的答恩区域 内作答，韬出区域书写的容案无 效：在草稿纸、试题卷上答题无效 缺考标记 ▣ 4.架持卡面清洁。不要折叠、不要弄 破。 18.(12分) 5。正确填涂■ 选择题（每小题5分，共40分） [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 7 [A][B]IC][D] 2 [A1 [B][C][D] 5 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、选择题（每小题5分，共20分） 9[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 12 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共20分） 3 14. 16 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分) 请在各题目的答避区域内作答，超出需色矩形边彪限定区域的答案无效！ 请在各遇日的答题区域内作答，超出愿色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答愿区域内作答，超出黑色矩形边框跟定区域的答案无效 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出属色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答想区域内作容，超出黑色矩形边框限定区域的容案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效】 20.(12分) 21.(12分) 22.(12分) 请在各题目的答题区减内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的容想区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，足出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6项） 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页）2024届高三10月大联考（新课标I卷) 数学·全解全析及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A 0 B C 0 A BC ACDACD ABD 1.B【解析】由题意，知A={x∈Z-4≤x≤4={-4，-3，-2，-1,0,12,3,4}. 又B={x|-1≤x<4},所以A∩B={-1,0,1,2,3},所以C4(A∩B)={4,-3,-2,4}.故选B. 2.A【解析】若“0是第二象限角”，则sin6>0,tan6<0,所以sin0tan0<0,所以“0是第二象限角”是 “sim0tan0<0”的充分条件： 若sim8tan0<0,则sin8>0,tan8<0或sin8<0,tan8>0,所以0是第二象限角或第三象限角，则“6是 第二象限角不是“sin0tam0<0”的必要条件，故选A. 3。D【解析】方法一：由题意，知函数)=1g,2的定义域为(2,2)，关于原点对称， C)=(P12f@,所以函数/是奇函数，其图象关于原点对称，故拌除B,C 当x∈0,2时， 2+x>1,即log2-x 2-x 2+x>0,因此f)>0,故排除A.故选D. 方法二：由方法一，知函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C; 又0=e:3>0,所以排除A.故选D. 4B【解析】方法因为而0-20N25所以-oN-名m 3 所以60F而所-阿=o-而-229cs。4=2-4-2.故选R 6 方法二：如图，设MN的中点为Q,连接OQ,则0Q LMN.由|No=MO=2, 25,得w5.0=1,所以∠o0-g而29，所以Pe 3 所以∠PoO=石所以∠POM=,1OP2N5, 6 6 3 所以M0.0p=-OM.02=oMoP川cos0=-2×Y2×Y3-2.故选B 32 5.C【解析】令y=100-e.6-0x>60,得0.1x>4.6-ln40≈0.9，解得x>9,故至少需要10个月，总质量为 100g的PBAT才会被分解为对环境无害的物质.故选C. 数学全解全析及评分标准第1页（共12页） 6.D【解析】设圆的半径为R,依题意，由余弦定理，得crd(45)=R2+R2-2R.Rcos45°=(2-√2)R2, 所以crd45)=V2-√2R=60W2-√2.故选D, 7元A【解析】因为cosa(cosa-cs)+sana-sm)-写，所以1-cosa-月-片所以coa-)-号 因为aBE0月，a>p,所以0<a-B子所以ma-月子所以acoB-oamB又 i0所以=0,所以s(a+)=6 mco+cosa3mB=7+1-4 sinacos=7 10105·故选A. 8.B【解析】易知f(x)=c+a+cosx+x2(a>1)是偶函数，f()=(-a)na+2x-sinx,当x>0时， 因为a>1,所以lna>0,-a>0.令p(x)=2x-sinx,x>0,则p(x)=2-cosx>0,所以p(x)单调 递增，所以)>以0=0，所以了)>0，)在Q+回)上单调递增.构造函数g6)-,则 令g>0,得0<x<e,令8四<0，得>c,所以8四在区间0，e 区间e+树)上单湖运减，又受-÷，所以g0g国8回.所以2e,月以 24πe 22<π<e,所以f(N2)<f(π)<f(e)=f(-e),即f(N2)<f(π)<f(-e).故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9BC【解折】对于A,当a=26=号时，1o:-1<0,放A错误 对于B,因为a-b>0,所以2b>1,故B正确： 对于C,因为a>b>0,所以0<<1，所以h2<0,故C正确： 对于D,当a>1,0<b<1时，logb<0,loga<0,logb+4loga<0,故D错误.故选BC. 10.ACD【解析】由题图，得A=2,最小正周期T=4×(亚马=元又T=2亚=元，所以0=2，故A正确； 126 f)=2n2x+0,又f的图象过点后0，所以2名+p=2ke☑.又p外号所以p=-子故 B错误： -22x骨.12x背当经及、于1径.=m在经停上年词遥减。 3,3 故C正确： f(-孕=2sm(元-爱=V5,故D正确故选ACD. l1.ACD【解析】因为fx)的定义域为(xx≠m+C,keZ,关于原点对称，且f(x)=cos(-x)tan(←x) 数学全解全析及评分标准第2页（共12页） cosx|tanx卡f(x),所以f(x)是偶函数，故A正确： 因为对=0马=-5，所以K-网>f(35,且[元-药ct-受，故B不正确： 2 f(π+x)=cos(π+x)川tan(π+x)=-cosx|tanx=-f(x),故C正确： 因为当xe0,孕时，cosx>0,amx≥0，smx2≥0，所以f)=imx20,同理，当xe(0时，) -sinx≥0，故D正确.故选ACD. 12.ABD【解析】因为8(2x+1)为奇函数，所以g(-2x+1)=-8(2x+1),即g(-x+1)=-8(x+1),即g1-x)+ 81+x)=0,所以8(x)的图象关于点1,0)中心对称，且8)=0，故A正确： 由f(x)+f(x+2)=6,两边求导，得f"(x)+f"(x+2)=0,即8(x)+8(x+2)=0.由8(x)的图象关于点 1,0)中心对称，得8(x)+8(-x+2)=0,因此8(x+2)=8(2-x),故B正确： 因为8(x)为函数f(x)的导函数，且8(-x+1)=-8(x+1),即∫'(-x+1)=-∫"(x+1),所以-f(-x+1)= -f(x+1),即f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x+2)=f(-x).又f(x)+ f(x+2)=6,所以f(x)+f(-)=6,所以f(x)的图象关于点(0,3)中心对称，所以f(x)是周期函数，4 为它的一个周期，所以f(x)=f(x+4),故C错误： 由f(x)+f(x+2)=6,得f0)+f3)=6.又f(+2)=f(-x),f(x)=f(x+4),所以f(0)=f(2)=f(4)= 3,所以f0+f②+f)+f④=12，所以定f0=120,放D正确故选ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 1.8【解折】设)=r由00=16有得4=4，所以a=子，所以)=， 所以宁=宁-4-2片-2-8故填8 14.1【解析】由n=(-1,√2，得1a=V3.a+仁万，得aP+2 lcos匹+1=7，整理，得 6 1b+3b1-4=0,解得b=1或|b=-4(舍去).故填1. 15.专【解折】因为a+b-号aa创-(a+41-6a+创+a-01(a+b2a+60 +业，a+当组收气布北，即a专私取8号，所a士b的泉小值 3a+b 2a+4b' 故填 16.(←，e-】【解析】由题意，得>0.又x+1>0恒成立，所以e->0在1，+o）)上恒成立， e -nx 即m<g在L,+0)上恒成立.令g)=g（≥，则g()=eC-D,当x≥1时，g侧≥0，所以g) 数学全解全析及评分标准第3页（共12页） 在l,+o)上单调递增，所以g(x)mm=gI)=e,所以m<e① +1≤e-x-m-l,得h(x2+1)-h(e-m)≤(e-mx)-(+1), 由ln ex-nx 即ln(x2+1)+(x2+1)≤n(e-x)+(e-mx).因为y=lnx+x在(0，+oo)上是增函数， 所以x'+1≤e-,所以m≤e--1令f=e--c≥D,则f-在-eX-D x x2 因为e≥x+1恒成立，所以∫'(x)≥0在[1，+o)上恒成立，所以f(x)在1，+o)上单调递增，所以 f(x)m血=fI)=e-2,所以m≤e-2②.由①②，知m≤e-2.故填(-n,e-2]. 说明：14题填1或-4不给分. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 【解析】方法一：(1)由题意及三角形的面积公式，得二acsin B=ac sinA,所以sin8=2sinA.(1分) 2 由正弦定理a-b sindsinB'得b=2a.(2分) 由余弦定理的推论，得cosB=+c2-b_c2-31 整理得(c-2a(2c+3=0.(3分) 2ac 2ac 4 因为a>0,c>0,所以c-2a=0,所以b=c=2a.(4分) 由余弦定理的推论，得cosA= b2+c2-a24a2+4d2-d27 2.2a.2a8 (5分) 2bc (2)由(1)知simA=-co时A= 2,c=2a.(7分) 8 又S=ac sim,S=N5,所以a2a正-5，解得a=2,(8分) 8 所以b=c=2a=4.(9分) 在△ABD中，由余弦定理，得BD= -令-4=+2-2x426.10分) 8 方法二：(1)由己知及三角形的面积公式，得号c sin B=ac sinA,所以sinB=2sinA.（1分) 由cosB= 子得如B ,(2分) 4 所以sinA=Vi (3分) 8 在△ABC中，因为simA<sinB,所以A<B.又B为锐角，所以A也为锐角，(4分) 7 所以cosA=V1-mA=8(5分) (2)由(1，知mA-由s=csmA-5,得ac=80.(6分) 8 数学全解全析及评分标准第4页（共12页） 由题意，知sinC=sn(A+B)=sin co+coAsm=x是+？x压_5 84844 所以S=absinC=5,所以b=8②.(7分) 由(1)知simB=2simA,所以b=2a③.(8分) 由①②③，得a=2,b=4,c=4.(9分) 在△ABD中，由余弦定理，得BD= --A=f2-2x42写=6.0分 8 说明：方法一1分到2分之间利用一bcsin A=ac sin A,直接得到b=2a,也给2分 18.（12分) 【解析】(1)应选择函数模型②y=p·a+q.(1分) p×t+g=3 依题意，得{p×a2+q=5,(4分) p×d+q=9 p=1 解得{a=2,(5分) q=1 所以y关于t的函数解析式为y=2+1.(6分) (2)t+t2=t+1.(7分) 理由：依题意，得2+1=15,2+1=31,2+1=211，(8分) 所以21=14,2=30,2=210，(9分) 所以2.2=420，(10分) 所以25.25=24+=420=2×25=2+1，(11分) 所以t+t2=t+1.(12分) 说明：(1)5分处p=1,a=2,q=1,有一个计算错误，扣1分. (2)8分到11分之间，缺少一些步骤，酌情扣分 (3)写成+12-5，=1等也给分. 19.(12分) 【解析】(1)方法一：由AC=AB+AD,得四边形ABCD为平行四边形.(1分) 数学全解全析及评分标准第5页（共12页） 以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，连接OC,则∠C0B=20,日∈(0，乃，(2分) A(-1,0),C(cos28,sin20),D(-cos28,sin20),（3分) 所以AD=(-cos20+1,sin28,DC=(2cos28,0),(4分) 所以L=20AD1+1DC)=2(2sin日+2cos28)=4sim日+4cos28,0∈(0，，(5分) 所以L关于0的函数关系式为L=4sin0+4cos28,日∈(0，.(6分) 方法二：由AC=AB+AD,得四边形ABCD为平行四边形， 如图，过点C,D分别作CF⊥AE,DGLAE,垂足分别为F,G,连接OC,则四边形FCDG为矩形.(1分) 由∠CAE=日，得∠COE=20.因为弧CE,AD的长为28，所以弧CD的长为元-40， 所以∠D1c-号20，∠DaB-号0,2分) 2 所以DG=CF=sin20,OG=OF=cos20,所以AB=GF=2cos20,(3分) 所以sin∠DAE=sim(5-8)=cos8=DC D,所以AD=DG-sm2 cosecose =2sim0,(4分) 所以L=2(AD+AB)=2(2sim0+2c0s20)=4sin6+4c0s20,0∈(0,5，(5分) 41 所以L关于日的函数关系式为L=4sin日+4cos28,日∈(0，乃.(6分) 4 G 0 (2②)L有最大值，最大值为}，此时血0-行 (7分) 由(1)得L=4sin0+4cos20=4-2sin20+sin0+1),0∈(0，).(8分) 4 令t=血a,当0c0原时，0co5).所以c0号.(0分) 所以L=-+1=0-1号1e@9.10分) 4 数学全解全析及评分标准第6页（共12页) 所以当：=时，1有最大值，（1分) 枚L的最大值为号跳时m9=子(12分) 说明：(1)另解：如图所示，设CD的中点为M,连接OC,OM,CE. 由AC=AB+AD,得四边形ABCD为平行四边形，所以AE∥CD,所以AD=BC=CE. 由对称性，得四边形AECD是等腰梯形，且OM⊥AE.(1分) 因为∠CAE=0,所以∠COE=20.(2分) 因为AE是半圆的直径，所以∠ACE=90°，所以CE=AE sin0=2sin0.(3分) 在Rt△OMC中，∠OCM=∠COE=20,所以CM=OCc0s20=cos28,(4分) 所以L=2AD+2CD=2CE+4CM=4sim日+4cos20,8∈(0,5)，(5分) 所以L关于8的函数关系式为L=4s血9+4cos20,0∈(0，孕.(6分) 2 (2)若没有"0∈0，孕，扣1分， G不换元，得到=42sm0+sim0+0=-8(6in0-》+?，sim0∈0,3)，也给10分 4 20.(12分) 【解析】(1)对f(x)求导，得f'(x)=e-2ax+1(x∈R), 所以h(x)=e-2ax+l(x∈R),则h'(x)=e-2a,(1分) 当a≤0时，h'(x)>0,h(x)在R上单调递增，所以h(x)无极值；(2分) 当a>0时，令h'(x)=e-2a=0,得x=lh(2a), 当x<ln(2a)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>(2a)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以当x=n(2a)时，h(x)取得极小值，无极大值，h(x)极小值=h(ln(2a)》=2a-2aln(2a)+1.(3分) 综上，当a≤0时，h(x)无极值；当a>0时，h(x)有极小值h(h(2a)=2a-2ah(2a)+1,无极大值.(4分) (2)显然f(0)=0,要使方程f(x)=0有两个不等的实根， 只需当x≠0时，f(x)=0有且仅有一个实根.(5分) 当x≠0时，由方程f()=0,得a=e+-1 x2 数学全解全析及评分标准第7页（共12页） 令gy)=°十X(≠0)，则直线ya与8)=°(c≠0)的图象有且仅有一个交点，(6分 x2 g0)-e+r-2c+-D--2e-D.7分) 又当x<0时，g()<0,8(x)单调递减； 当0<x<2时，8'(x)<0,8(x)单调递减： 当x>2时，g'(x)>0,8(x)单调递增， 所以当=2时，g)取得极小值g②)=©+1.(9分) 4 又当x<0时，e<1,所以e*+x-1<0,8(x)<0, 当x>0时，e>1,e*+x-1>0,8(x)>0,(10分) 所以作出8(x)的大致图象如图所示. e2+1 由图象，知要使直线y=a与g)=e+x- 二(x≠0)的图象有且仅有一个交点， 只需a<0或a= +1,(11分) 4 综上，若=0有两个不等的实根，则实数a的取位范围为(Cm,0U马.《12分》 说明：9分后不作图象，用文字表述，不扣分： 当x<0时，e*<1,所以e*+x-1<0,8(x)<0,且8(x)单调递减，所以a=8(x)<0.(10分) 当x>0时，e>1,e+x-1>0,8)>0,且当x=2时，8)取得极小值g2=c+ 4 所以a=e+.41分) 4 综上，若f)-0有两个不等的实根，则a的取值范国为(0U马.(2分) 21.(12分) 【解析】（1)由ccos B-2 acos A=bcos Acos B-asim2B及正弦定理， sin CcosB-2 sin Acos A=sin Bcos Acos B-sin Asin2 B=sin B(cos Acos B-sin Asin B)= sin B cos(A+B)=-sin BcosC,( 即sin Ccos B+sin B cosC=2 sin Acos A,所以sin(B+C)=2 sinAcos A.(3分) 数学全解全析及评分标准第8页（共12页） 又A+B+C=π，所以sinA=2 sin Acos A.(4分) 又si血A≠0，所以cosA=} 所以A= 3 .(5分) (2)因为A= 3,所以B+C=2π 3 如图，连接0A0B,oC因为0为△4Bc的内心，所以∠OBC+∠0cB=号所以∠B0C=(6分) 3 设∠0BC=a,则∠0cB=-a. 3 在△OBC中，由正弦定理，得B =OCBC √5 =2, sin-a)sn&sn∠BOCsin2 3 3 所以0B=2sin(-),Oc=2sina,(7分) 3 30B+20C=6sin(-a)+4sina=sina+33cosa-27 sin(a+), 3 其中sinp=3W2 .(8分) 14 .cos= 14 因为sinp= e,所以不0取信孕 14 62 又ueo,孕，所以a+p∈(g+p,其中 3+pe,5元 ),(9分) 2’6 当a+0-受时，308+20c取得最大值27.(10分) 图为m22on,所以m件0又1N2.所以308+20c28. 14 3 7 7<14 综上，30B+2OC的取值范围是(2W3,2√].(12分) 0 B<- 说明：9分处若没有又ac@学，所以&+9e(0号，共中骨9e及，扣1分 26 22.（12分) 【解析】(1)当a=1时，g(x)=e*cosx-1,(1分) 所以g'(x)=e(cosx-simx),所以g'(0)=1.(2分) 又8(O)=0,所以g(x)的图象在点(0,8(0)处的切线方程为y=x,即x-y=0.(3分) (2)方法一：因为g(x)=ea cogx-e-, 数学全解全析及评分标准第9页（共12页） g(x)=ea (a cosx-sinx)-(a-1)ea-*ea-*[e*(a cosx-sinx)-(a-1)]. 设()=in)a-),由题藏，得当xe(景孕时，M)20恒成立，4分) )=eIe-cox-a+ea司、当e(骨孕，时C0 所以h'(x)=e*cosx[a-1-(a+1)tan x].(5分) 设(x)=a-1-(a+1)tanx, 当a<-1时，m()单调递增，且m()=m(=-2<0,所以m)<0,即h()<0,(x)单调递减， 所以h-Y5a-》-4+120,解得a≥1，不符合盟意，合去.(6分) 2 当a=-1时，)-2cosx,当e(平孕时，h)<0, 所以)在←牙孕上单调递减，hN经=2-5心<0，不符合思意，含去.(7分) 当-1<a≤0时，显然当x(平孕时，m)单调递减，且m=M孕=2as0,所以m≤0， 即h()≤0，)单调递减，所以马=巨。是 二e(a-1)-a+1≥0，解得a21,不符合题意，舍去.(8分) 42 当a>0时，m0在（子孕上单调递减，（孕-2a>0,m宁-2s0, 所以存在x∈（平孕，使得m)-0,9分） 当xe(异)时，m)>0,印()>0，M单润递增。 当x∈（孕时，Mm)<0,即）<0，()单调递减，(10分) 所以(=ea+)-a*120,3- e(a-1)-a+1≥0， 4 2 解得1sas2+e .=1+ 2一.(11分) V2-e年√2e4-1 综上所述，实数a的取值范围是1+2].12分) √2e4-1 方法二：因为g(x)=e cosx-ex, 所以g'(x)=e“(a cosx-simx)-(a-1)er-x=e“[(acosx-simx)-(a-l)ex]. 由题煮，得当x(平孕时，g)20恒成立4分) 数学全解全析及评分标准第10页（共12页) 2024届高三10月大联考（新课标I卷） 数学·全解全析及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D B C D A B BC ACD ACD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．B 【解析】由题意,知. 又，所以，所以.故选B． 2．A 【解析】若“是第二象限角”，则，所以，所以“是第二象限角”是“”的充分条件； 若，则或，所以θ是第二象限角或第三象限角，则“是第二象限角”不是“”的必要条件，故选A． 3．D 【解析】方法一：由题意，知函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C； 当时，，即，因此，故排除A．故选D． 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C； 又，所以排除A．故选D． 4．B 【解析】方法一：因为,所以,, 所以．故选B． 方法二：如图，设的中点为，连接，则.由，，得，，所以，，所以，所以，所以，， 所以.故选B． 5．C 【解析】令，得解得，故至少需要10个月,总质量为 的才会被分解为对环境无害的物质．故选C． 6．D 【解析】设圆的半径为,依题意，由余弦定理，得，所以.故选D. 7．A 【解析】因为，所以，所以.因为，，所以，所以，所以.又，所以，所以．故选A． 8．B 【解析】易知是偶函数，，当时， 因为，所以,.令，，则，所以单调 递增，所以，所以，在上单调递增．构造函数，则 .令，得，令，得，所以在区间上单调递增，在 区间上单调递减．又，所以，所以，所以 ，所以，即．故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．BC 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，当时，，，，故D错误.故选BC． 10．ACD 【解析】由题图，得，最小正周期.又，所以,故A正确； ,又的图象过点，所以.又，所以，故B错误； ，令，当时，，在上单调递减，故C正确； ，故D正确.故选ACD． 11．ACD 【解析】因为的定义域为，关于原点对称，且 ，所以是偶函数，故A正确； 因为，所以，且，故B不正确； ，故C正确； 因为当时，，所以，同理，当时， ，故D正确．故选ACD． 12．ABD 【解析】因为为奇函数，所以，即，即 ，所以的图象关于点中心对称，且，故A正确； 由，两边求导，得，即.由的图象关于点中心对称，得，因此，故B正确； 因为为函数的导函数，且，即，所以 ，即，所以的图象关于直线对称，所以.又 ，所以，所以的图象关于点中心对称，所以是周期函数，4为它的一个周期，所以，故C错误； 由，得.又，，所以 ，所以，所以，故D正确.故选ABD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．8 【解析】设,由，得，所以，所以， 所以.故填8. 14．1 【解析】由，得．由，得，整理，得，解得或（舍去）．故填1. 15． 【解析】因为 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故填. 16． 【解析】由题意，得.又恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以①. 由，得， 即.因为在上是增函数， 所以，所以.令，则. 因为恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以②.由①②，知.故填. 说明：14题填或不给分. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 【解析】方法一：（1）由题意及三角形的面积公式，得，所以.（1分） 由正弦定理，得．（2分） 由余弦定理的推论，得，整理得.（3分） 因为，所以，所以．（4分） 由余弦定理的推论，得.（5分） （2）由（1）知，.（7分） 又,，所以，解得，（8分） 所以.（9分） 在中，由余弦定理,得.（10分） 方法二：（1）由已知及三角形的面积公式，得，所以.（1分） 由，得,（2分） 所以.（3分） 在中，因为，所以.又为锐角，所以也为锐角，（4分） 所以.（5分） （2）由（1），知.由，得①.（6分） 由题意，知， 所以，所以②.（7分） 由(1)知，所以③.（8分） 由①②③，得.（9分） 在中，由余弦定理，得．（10分） 说明：方法一1分到2分之间利用，直接得到，也给2分. 18.（12分） 【解析】（1）应选择函数模型②.（1分） 依题意，得，（4分） 解得，（5分） 所以关于的函数解析式为．（6分） （2）．（7分） 理由：依题意，得，，，（8分） 所以，，，（9分） 所以，（10分） 所以，（11分） 所以．（12分） 说明：（1）5分处，有一个计算错误，扣1分. （2）8分到11分之间，缺少一些步骤，酌情扣分. （3）写成等也给分. 19．（12分） 【解析】（1）方法一：由，得四边形为平行四边形.（1分） 以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，连接，则，（2分） （3分） 所以，，（4分） 所以，（5分） 所以关于的函数关系式为.（6分） 方法二：由，得四边形为平行四边形， 如图，过点分别作垂足分别为，连接，则四边形为矩形．（1分） 由，得.因为弧的长为，所以弧的长为, 所以，，（2分） 所以，，所以，（3分） 所以，所以，（4分） 所以，，（5分） 所以关于的函数关系式为.（6分） （2）有最大值，最大值为，此时.（7分） 由（1）得.（8分） 令，当时，，所以，（9分） 所以.（10分） 所以当时，有最大值，（11分） 故的最大值为，此时.（12分） 说明：（1）另解：如图所示，设的中点为，连接，，. 由，得四边形为平行四边形，所以，所以. 由对称性，得四边形是等腰梯形，且.（1分） 因为，所以.（2分） 因为是半圆的直径，所以，所以.（3分） 在中，，所以，（4分） 所以，，（5分） 所以关于的函数关系式为，.（6分） （2）若没有“”，扣1分. （3）不换元，得到，，也给10分. 20．（12分） 【解析】（1）对求导，得， 所以，则，（1分） 当时，，在上单调递增，所以无极值；（2分） 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，无极大值，.（3分） 综上,当时,无极值；当时,有极小值,无极大值.（4分） （2）显然，要使方程有两个不等的实根， 只需当时，有且仅有一个实根.（5分） 当时，由方程，得. 令，则直线与的图象有且仅有一个交点，（6分） .（7分） 又当时，，单调递减； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值.（9分） 又当时，，所以，， 当时，，，，（10分） 所以作出的大致图象如图所示． 由图象，知要使直线与的图象有且仅有一个交点， 只需或，（11分） 综上，若有两个不等的实根，则实数a的取值范围为．（12分） 说明：9分后不作图象，用文字表述，不扣分： 当时，，所以，，且单调递减，所以.（10分） 当时，，，，且当时，取得极小值， 所以.（11分） 综上，若有两个不等的实根，则a的取值范围为．（12分） 21.（12分） 【解析】（1）由及正弦定理， 得 ，（2分） 即，所以.（3分） 又，所以.（4分） 又，所以，所以．（5分） （2）因为，所以. 如图，连接.因为O为的内心，所以，所以.（6分） 设，则. 在中，由正弦定理，得， 所以，，（7分） 所以， 其中.（8分） 因为，所以不妨取. 又，所以，其中，（9分） 当时，取得最大值.（10分） 因为，所以.又，所以.（11分） 综上，的取值范围是．（12分） 说明：9分处若没有“又，所以，其中”，扣1分. 22．（12分） 【解析】（1）当时，，（1分） 所以，所以.（2分） 又，所以的图象在点处的切线方程为，即.（3分） （2）方法一：因为， 所以. 设，由题意，得当时，恒成立，（4分） ，当时，， 所以.（5分） 设， 当时，单调递增，且，所以，即，单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去.（6分） 当时,,当时，， 所以在上单调递减，,不符合题意,舍去.（7分） 当时，显然当时，单调递减，且，所以，即，单调递减，所以，解得，不符合题意，舍去.（8分） 当时，在上单调递减，，， 所以存在，使得，（9分） 当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减，（10分） 所以， ， 解得.（11分） 综上所述，实数的取值范围是.（12分） 方法二：因为， 所以. 由题意，得当时，恒成立.（4分） 因为恒成立，所以恒成立. 又恒成立，所以恒成立， 所以在上恒成立.（5分） 当时，，，该不等式成立，所以；（6分） 当时，设，则.（7分） 设， (i)当时，令，则. 因为，所以，所以，所以在上单调递增， 所以，所以. 因为当时，，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以；（8分） (ii)当时，，所以在上单调递增，所以，所以.（9分） 因为，所以. 又和在上单调递增，所以在上单调递增，且，， 所以，使得，即， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，，（10分） 所以，所以在上单调递增，所以，所以.（11分） 综上所述,实数的取值范围是.（12分） 说明：（1）切线方程写成不扣分. （2）方法一中6分到11分之间的分类讨论，若讨论不全，最多给4分. 方法二中6分到11分之间，缺少一些步骤，酌情扣分，过程不完整，最多给5分. （3）的取值范围写成或等不扣分. 数学 全解全析及评分标准 第5页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $