精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市衡越实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第一次学情调研诊断 初三数学 注意事项： 1.作答前，将姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题纸上相应位置，并核对准考证号等有关信息． 2.答题内容一律填涂或书写在答题纸上规定的位置，在试题卷上作答无效． 3.本试题共2页，16道小题，5道大题，满分100分，考试时间共计90分钟． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的说法中，不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象经过点 D. 当时，y随x的增大而减小 4. 一元二次方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 5. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k＜1 C. k≤1 且k≠0 D. k<1且k≠0 6. 若方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 7. 若二次函数的图象有最低点，则的值为（　　） A. B. 2 C. 0 D. 或2 8. 奇台县“江布拉克”旅游人数逐年增加，据统计，年约为万人次，年约为万人次，设旅游人数年均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 9. 在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 10. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 12. 如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为 _____． 14. 点，在抛物线上，则____________（填“＞”、“＜”或“=”）． 15. 正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是______． 16. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______ 三、解答题（共52分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是等腰三角形时，求的值． 19. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 20. 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业.某电商在抖音平台上对一款成本为元/件的服装进行直播销售，如果按每件元销售，那么每天可售出件，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，设每件服装降价元（降价后不得低于成本）. （1）平均每天销售量增加_________件，每件服装盈利__________元．（用含的代数式表示） （2）当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各的门，设花圃的宽为，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）能围成面积为的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由． 22. 如图是二次函数的图象，顶点为，与轴的交点为． （1）经过两点的直线的函数解析式为________； （2）请在第二象限中的抛物线上找一点，使的面积与的面积相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第一次学情调研诊断 初三数学 注意事项： 1.作答前，将姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题纸上相应位置，并核对准考证号等有关信息． 2.答题内容一律填涂或书写在答题纸上规定的位置，在试题卷上作答无效． 3.本试题共2页，16道小题，5道大题，满分100分，考试时间共计90分钟． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是熟悉一元二次方程的定义． 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，按照定义逐一分析即可． 【详解】解：A、中含有两个未知数，是二元一次方程，则A不符合题意， B、不是整式方程，则B不符合题意， C、符合一元二次方程的定义，则C符合题意， D、中，未知数的次数是1，是一元一次方程，则D不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可. 【详解】解： 移项得： 两边都加4得： 故选A 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键. 3. 关于二次函数的说法中，不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象经过点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】由可判断选项A；由可得对称轴为y轴，可判断选项B；把点代入抛物线解析式可判断选项C；由对称轴及抛物线增减性可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，故选项A不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，故选项B符合题意； 把点代入，等式成立，故选项C不符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键． 4. 一元二次方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由△=b2-4ac的情况进行分析. 【详解】因为，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3<0, 所以，方程没有实数根. 故选C 【点睛】本题考核知识点：根判别式. 解题关键点：熟记一元二次方程根判别式. 5. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k＜1 C. k≤1 且k≠0 D. k<1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：依题意可得，解得k≤1 且k≠0 故选：C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式的运用．解题的关键是除熟知根的判别式外还要确定方程是一元二次方程． 6. 若方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题有两种解法：①利用方程根的定义，将代入得到，解得，从而解一元二次方程即可得到方程的另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系，设两个根分别为、，则，将一个根是代入即可得到方程的另一个根是；从而得到答案． 【详解】解：（方法一）利用方程根的定义及解方程： 方程的一个根是， 将代入得到，解得， 方程为，解得、， 方程的另一个根是； （方法二）利用一元二次方程根与系数的关系： 设方程的两个根分别为、， 由根与系数的关系可得， 将一个根是代入上式即可得到方程的另一个根是； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义、解一元一次方程、解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识，把握基本题型的求解方法是解决问题的关键． 7. 若二次函数的图象有最低点，则的值为（　　） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义和性质，解一元二次方程，根据二次函数定义可得，且，再根据二次函数的图象有最低点，可得，结合求解，即可求出的值，掌握二次函数的图象与性质，得到二次函数的开口向下是解题关键． 【详解】解： 是二次函数， ，且， 解得或， 又二次函数的图象有最低点， 抛物线的开口向上， ，即， ， 故选B． 8. 奇台县“江布拉克”旅游人数逐年增加，据统计，年约为万人次，年约为万人次，设旅游人数年均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，年约为万人次，年约为万人，依题意可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选 ：B． 9. 在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设参加聚会的人数为人， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故参加聚会的人数为10， 故选：B． 10. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为， 则由题意可列方程为， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：， 解得：， 所以． 故答案为：． 12. 如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为 _____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据方程与根的关系得到，根据根与系数的关系得到，代入即可计算结果． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，，， 则， ， =， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了方程与根的关系、一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 14. 点，在抛物线上，则____________（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据题意把x的值代入函数解析式进行计算，进行比较大小即可得到答案． 【详解】解：代入，，可得：，， 因为，所以. 故答案为：＜. 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数函数关系式是解题的关键． 15. 正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是______． 【答案】y=x2+4x 【解析】 【分析】增加的面积新正方形的面积原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】新正方形的边长为，原正方形的边长为2． 新正方形的面积为，原正方形的面积为4， ， 故答案为． 【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键． 16. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，则有，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 用公式法解一元二次方程即可； 用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 整理得：， 可得：，， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根． （2）或． 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据 是等腰三角形分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，原方程为：， 解得：， 当时，原方程为：， ∴，． 由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形， ∴符合题意； 当时，则有：， 解得：， ∴原方程为：， 解得：． 由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形， ∴符合题意． 综上所述：的值为或． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，对等腰三角形进行分类讨论． 19. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】（1）是， 理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 20. 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业.某电商在抖音平台上对一款成本为元/件的服装进行直播销售，如果按每件元销售，那么每天可售出件，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，设每件服装降价元（降价后不得低于成本）. （1）平均每天销售量增加_________件，每件服装盈利__________元．（用含的代数式表示） （2）当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 【答案】（1），； （2）每件服装降价元或元时商家平均每天能盈利元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，设每件服装降价元，则平均每天销量增加件；根据成本为元/件，按每件元销售，每件服装降价元，则每件服装盈利元； 设当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，可列方程，解方程可知当每件服装降价元或元时商家平均每天能盈利元． 【小问1详解】 解：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：当每件服装降价元或元时商家平均每天能盈利元． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各的门，设花圃的宽为，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）能围成面积为的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由． 【答案】（1），自变量的取值范围是 （2）不能； 当时，代入得：， 移项化简后得： ， ， 此一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的，不能围成面积为的花圃． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、一元二次方程根的判别式问题： （1）确定平行于墙的长度表达式，根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据墙的长度和的实际意义确定的取值范围； （2）将面积值代入函数关系式，分析方程根的判别式，根据判别式结果确定． 【小问1详解】 解：，垂直于墙的篱笆有段， 每段长， 长为的篱笆，两个各的门， 平行于墙的边， ， 墙的最大可用长度为，且为正数， ， 解得：或， 即：． 【小问2详解】 略 22. 如图是二次函数的图象，顶点为，与轴的交点为． （1）经过两点的直线的函数解析式为________； （2）请在第二象限中的抛物线上找一点，使的面积与的面积相等． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由题意得到，过点作轴于点，如图所示，设，则，数形结合，由的面积与的面积相等列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图像的顶点为， 令，则，即； 令，则，即； 设经过两点的直线的函数解析式为， 由题意得，解得， 经过两点的直线的函数解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ，即， 点在第二象限中的抛物线上，， 点在点左侧的抛物线上，过点作轴于点，如图所示： 设，则， ，， ， ， ，即， ，解得（不合题意，舍去），， ，即． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数与图形面积问题，熟练掌握二次函数图象与性质，掌握常见函数题型解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $