精品解析：2025年山西省临汾市永和县多校联考 中考第二次模拟数学试卷

2025年初中学业水平考试适应性测试（二）数学试卷 说明：本卷时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. 1.414 C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在标准大气压下，液体沸点是指液体变成气体时所需的温度，液体沸点的大小与物质的性质有关，一般来说，分子量较小、分子间作用力也较小的物质沸点较低，反之，沸点较高．以下是一些常见液体的沸点： 液体名称 水 乙醇 二甲苯 氯仿 丙酮 沸点/℃ 100 78.5 139 61 56.2 这五种液体沸点的中位数是（ ） A. 100 B. 78.5 C. 139 D. 61 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（ ） A. 150辆 B. 152辆 C. 153辆 D. 154辆 7. 下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 函数图象位于第二、四象限 C. 当时， D. 函数值随的增大而增大 8. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 9. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 10. 计算：_____． 11. 英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是_____． 12. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是_____． 13. 电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为_____千克． 14. 如图，已知菱形的边长为， 是的中点，平分交于点 ，交于点 ．若，则的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，四边形是矩形， 是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形． 17. 农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 18. 手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 19. 某高校组织校园歌手大赛，由10位专业评审和10位大众评审对参赛的选手进行打分，下面是甲、乙两位参赛歌手的得分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示，10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． 下面是专业评审和大众评审的评分统计表： 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分2 甲 8 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 7 （1）表格中_____，_____，_____． （2）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛选手的最终得分，哪位选手的得分更高? 20. 下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高． 如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为 ， ， ，过点作于点，则． 证明：如图2，设等边的边长为，连接，，， ，，，．⋯． 思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系． 任务： （1）请完成该定理证明的剩余部分； （2）请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____． （3）如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，则点到其他三边的距离之和为_____． 21. 如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为 （1）如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； （2）游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； （3）某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆、与水面夹角的正切值为为上的一个动点，于点、，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好．请直接写出其最大值（注：点在轴的左侧或轴上、点 在线段的上方或上）． 22. 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 （1）“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点 ， ，发现，请证明他们发现的结论； （2）“希望”小组：如图2， ， 分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点 ，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； （3）教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性测试（二）数学试卷 说明：本卷时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. 1.414 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：属于无理数的是． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，同底数幂的乘法法则，合并同类项以及负指数幂的运算，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 利用算术平方根，同底数幂的乘法法则，合并同类项以及负指数幂的运算对每个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：， A选项的结论不正确，不符合题意； ， B选项的结论不正确，不符合题意； ∵ ∴C选项的结论正确，符合题意； ∵， D选项的结论不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 在标准大气压下，液体沸点是指液体变成气体时所需的温度，液体沸点的大小与物质的性质有关，一般来说，分子量较小、分子间作用力也较小的物质沸点较低，反之，沸点较高．以下是一些常见液体的沸点： 液体名称 水 乙醇 二甲苯 氯仿 丙酮 沸点/℃ 100 78.5 139 61 56.2 这五种液体沸点的中位数是（ ） A. 100 B. 78.5 C. 139 D. 61 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题关键； 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可． 【详解】解：将五种液体的沸点从小到大排列为：56.2，61，78.5，100，139， 故中位数为：78.5． 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于 ， 的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中 的值，纵坐标为方程组中 的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于 、 的方程组的解为． 故选：B． 5. 如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（ ） A. 150辆 B. 152辆 C. 153辆 D. 154辆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键． 设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得， 解得：， 又x为正整数， 故符合题意的最小正整数为154， 故选：D． 7. 下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 函数图象位于第二、四象限 C. 当时， D. 函数值 随 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值 随 的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，以及正切的定义，由矩形的性质可得出，，由正切的定义可得出，即，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在 轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题； 如图，过点作轴于点 ，过点作轴于点，证明是等边三角形，勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于点 ，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 10. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先根据平方差公式计算乘法、并根据二次根式的除法运算法则计算除法，再进行加减计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列表求概率．设五大名窑的卡片分别为，根据列表法求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解： 设五大名窑的卡片分别为，列表如下， 共有20种等可能的结果，其中他抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是， 故答案为：． 12. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是_____． 【答案】61 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律的探究．根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了， 第个图案用了， 当时，解得， ∴第11个图案用的木棍根数是根， 故答案为：61． 13. 电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为_____千克． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解． 【详解】解：由图可知，与踏板上人的质量之间的关系为一次函数关系，设函数关系式为（其中，为常数，）， 把和代入得： ，解得， ∴， 当为90欧时，， 解得：， 故答案为：75． 14. 如图，已知菱形的边长为， 是的中点，平分交于点，交于点．若，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：过点作于点，过点作于点，根据，可得，所以，然后证明是的垂直平分线，可得，设，根据，进而可以解决问题； 方法二：作垂直于，延长和交于点由已知可得，所以设，则，，由三角形相似于三角形即可得结论． 【详解】解：方法一，如图，过点作于点，过点作于点， 菱形的边长为4， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， 平分， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， 则的长是． 或者：，， 四边形的等腰梯形， ， 则， 解得， 则的长是． 方法二：如图，作垂直于，延长和交于点， 菱形的边长为4， ， ， ， 是的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， 所以， 设， 则，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握菱形的性质． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，正确掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）原式计算乘方的绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可； （2）直接利用平方差公式以及整式的除法运算法则计算，进而合并同类项可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，四边形是矩形， 是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：如图，连接交于点． 四边形是矩形， ． ， ． ． 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键， 连接交于点，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得，得， 即得矩形是正方形． 【详解】略 17. 农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米 亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米 亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 18. 手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】点到工作台的距离为6.1米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，在和中分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则四边形是矩形，， 米，， ， 在中，， （米）， ， ， 在中，，， （米）， （米）， ， 点到工作台的距离和点到工作台的距离相等． 答：点到工作台的距离为6.1米． 19. 某高校组织校园歌手大赛，由10位专业评审和10位大众评审对参赛的选手进行打分，下面是甲、乙两位参赛歌手的得分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示，10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． 下面是专业评审和大众评审的评分统计表： 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分2 甲 8 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 7 （1）表格中_____，_____，_____． （2）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛选手的最终得分，哪位选手的得分更高? 【答案】（1）8，8，1 （2）选手甲的得分更高 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，统计表，加权平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）由条形统计图中数据，以及中位数，众数,方差的概念求解，即可解题； （2）利用加权平均数得到甲的最终得分和乙的最终得分，再进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，甲的中位数为，乙的众数为， 故答案为：8，8，1． 【小问2详解】 解：甲的最终得分为：（分）， 乙的最终得分为：（分）， ， 选手甲的得分更高． 20. 下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高． 如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为 ，，，过点作于点，则． 证明：如图2，设等边的边长为，连接，，， ，，，．⋯． 思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系． 任务： （1）请完成该定理证明的剩余部分； （2）请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____． （3）如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，则点到其他三边的距离之和为_____． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形等，利用等面积法求解是解题的关键． （1）根据可得，据此可证明结论； （2）如图3所示，设等边的边长为b，连接，根据求解即可；如图4所示，设等边的边长为c，连接，根据列式求解即可； （3）过点E作于T，过点D作于R，证明四边形是矩形，得到，；可证明，则，根据，，可推出；再证明，则点到其他三边的距离之和为． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图3所示，设等边的边长为b，连接， ∴，，，； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设等边的边长为c，连接， ∴，，，； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图5所示，过点E作于T，过点D作于R， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； 在中，， 在中，， ∴， ∴， 同理； 如图5所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴点到其他三边的距离之和为． 21. 如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为 （1）如图1，以的中点为原点，所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； （2）游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由； （3）某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆、与水面夹角的正切值为为上的一个动点，于点、，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好．请直接写出其最大值（注：点在 轴的左侧或 轴上、点 在线段的上方或上）． 【答案】（1）抛物线的表达式为． （2）游船能安全通过 （3）取得最大值为3 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答； （2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答； （3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为． 【小问1详解】 解：由题意，得，抛物线顶点为． 设抛物线的表达式为，将顶点代入，得； ∴抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵游船宽，从桥下正中间通过时， ∴将代入抛物线，得 ， ∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔， ∴所需最小高度为 ∵， ∴游船能安全通过． 【小问3详解】 解：过点P作于F，延长交于点，则，过点C作轴于点N，如图1 ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． 即， ∴， 设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则 ∴，， ∴，，，， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴，， 即，点C关于y轴的对称点为， ∴， ∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴开口向下，对称轴为， ∴当时，随n的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为． 取得最大值为3． 22. 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 （1）“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点 ，，发现，请证明他们发现的结论； （2）“希望”小组：如图2， ，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； （3）教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， 又∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质； （1）由四边形是平行四边形，得到，，根据折叠的性质得，，即可得到，； （2）根据折叠的性质得，，，，证明，得到； （3）过作交延长线于，先求出，，根据折叠的性质得，，，，再证明，得， 设，则，，在中，根据得到，最后根据，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作交延长线于， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $