专题26.2 反比例函数的图象与性质（1）（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题26.2 反比例函数的图与性质（1） 教学目标 1. .掌握反比例函数的图与性质，并能够对图和性质进行熟练的应用其解决相关题目。 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数的图与性质。 2. 难点 （1）函数图上的点与函数图的共存问题。 知识点01 反比例函数的图象与性质 1. 画反比例函数的图象的一般步骤： 反比例函数的图象画法与一次函数二次函数类似，分三个步骤进行： ① ：自变量的取值应以O为中心，向两边取三队或以上的互为相反数的值，并计算出相应的函数值，在用表格形式表示出来。 ② ：在直角坐标系中描出表格中作为点的坐标的坐标点。 ③ ：在各限内，用平滑的曲线顺次连接各点并向两边延伸。 2. 反比例函数的性质 （1） 若时，则反比例函数的图象位于第 限，此时反比例函数在每一支上随的增大而 。 （2） 若时，则反比例函数的图象位于第 限，此时反比例函数在每一支上随的增大而 。 3. 反比例函数的对称性： 反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。 ①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为 ，反比例函数与正比例函数的两个交点一定关于 对称。 ②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的，则函数的对称轴是 限的角平分线；若反比例函数的，则对称轴是 限的角平分线。 【即学即练1】 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（1，5）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【即学即练2】 2．下列图象中，是反比例函数的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 3．反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而增大．则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【即学即练4】 4．已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【即学即练5】 5．若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣2，y3）在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 【即学即练6】 6．一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【即学即练7】 7．二次函数y＝ax2﹣a与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型01 反比例函数的性质 【典例1】对于反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 【变式1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．x＞0时，y随x的增大而减小 B．当1＜x＜6时，1＜y＜6 C．当x≤﹣1时，y有最大值为﹣6 D．它的图象位于第一、三象限 【变式2】下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．点（﹣1，﹣6）在反比例函数的图象上 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．若点A（﹣2，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2 【变式3】已知反比例函数，在下列说法中：①其图象经过点（﹣3，﹣1）；②其图象分别位于第一、第三象限；③y随x的增大而增大；④当x＞1时，y＞3．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．②④ 题型02 根据反比例函数的性质求k 【典例1】反比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【变式1】若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞7 B．k≥7 C．k＜7 D．k≤7 【变式2】若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　） A．k＜4 B．k＞4 C．k＞2 D．k＜2 【变式3】已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 　 ． 【变式4】反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．5 B．10 C．﹣5 D．﹣1 题型03 反比例函数图象上的点 【典例1】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【变式1】若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x3＜x2 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1 【变式2】已知反比例函数的图象上有两点A（x1，﹣1）、B（x2，2），则一定正确的是（　　） A．x2＜x1＜0 B．x1＜0＜x2 C．x1＜x2＜0 D．x2＜0＜x1 【变式3】已知点A（m﹣1，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数（k是常数，k＞0）的图象上，下列结论正确的是（　　） A．当m＜0时，y1＜y2＜0 B．当0＜m＜1时，y1＜0＜y2 C．当0＜m＜1时，y2＜y1＜0 D．当m＞1时，0＜y1＜y2 题型04 反比例函数与其他函数图象共存 【典例1】函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知反比例函数的图象如图所示，则函数y＝ax2﹣a的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式4】二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 1．反比例函数的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 2．关于反比例函数的描述错误的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＞﹣1时，y＞5 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 3．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3 4．在反比例函数的图象在某象限内y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m＞3 D．m＜3 5．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．16 B．11 C．8 D．6 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 8．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（7，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y＝ax+b在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是反比例函数的图象的一部分，由点C开始不断重复形成一组“波浪线”．若点P（2024，m）在该“波浪线”上，则m的值为（　　） A．1 B．5 C． D．2024 11．写出一个反比例函数的图象不经过第一、三象限，则这个反比例函数的表达式是　 　 ． 12．已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的m值是 　 　 ． 13．若反比例函数y（k≠0），当x＞0时，y随x增大而增大，则函数y＝kx﹣k的图象不经过第 　 　 象限． 14．已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣4，则k的值为　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝4，反比例函数的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN取最小值时，点P的坐标为 ． 16．已知反比例函数． （1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 17．如图，反比例函数的图象经过正方形OABC的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形OABC扩大得到正方形ODEF，使其面积比为1：2．DE交反比例函数的图象于点G，已知OA＝1． （1）求反比例函数的解析式； （2）求GE的长． 18．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BD∥x轴，点A、B的坐标分别为（6，10）、（2，7）． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）若将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求m及此时k（k＞0）的值． 19．如图，在直角坐标系中，A，B，C，D四点在反比例函数y的图象上，线段AC，BD都过原点O，点A的坐标为（4，2），点B点纵坐标为4，连接AB，BC，CD，DA． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当y≥﹣2时，写出x的取值范围； （3）求四边形ABCD的面积． 20．问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）画出函数图象． ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②描点并连线． （2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①　 　 ，②　 　 ； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　 　 平移 　 　 个单位，其对称中心的坐标为 　 　 ． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　 　 时，y≥3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2 反比例函数的图与性质（1） 教学目标 1. .掌握反比例函数的图与性质，并能够对图和性质进行熟练的应用其解决相关题目。 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数的图与性质。 2. 难点 （1）函数图上的点与函数图的共存问题。 知识点01 反比例函数的图象与性质 1. 画反比例函数的图象的一般步骤： 反比例函数的图象画法与一次函数二次函数类似，分三个步骤进行： ① 列表 ：自变量的取值应以O为中心，向两边取三队或以上的互为相反数的值，并计算出相应的函数值，在用表格形式表示出来。 ② 描点 ：在直角坐标系中描出表格中作为点的坐标的坐标点。 ③ 连线 ：在各限内，用平滑的曲线顺次连接各点并向两边延伸。 2. 反比例函数的性质 （1） 若时，则反比例函数的图象位于第 一、三 限，此时反比例函数在每一支上随的增大而 减小 。 （2） 若时，则反比例函数的图象位于第 二、四 限，此时反比例函数在每一支上随的增大而 增大 。 3. 反比例函数的对称性： 反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。 ①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为 原点 ，反比例函数与正比例函数的两个交点一定关于 原点 对称。 ②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的，则函数的对称轴是 一三 限的角平分线；若反比例函数的，则对称轴是 二四 限的角平分线。 【即学即练1】 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（1，5）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【答案】A 【解答】解：A、关于反比例函数，当x＞0时，函数值y＜0，故A正确； B、关于反比例函数，在x＜0或x＞0，y随x的增大而增大，故B错误； C、关于反比例函数，点（1，5）不在该函数图象上，故C错误； D、关于反比例函数，图象在第二、四象限，故D错误； 故选：A． 【即学即练2】 2．下列图象中，是反比例函数的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y，k＝2＞0， ∴此时函数的图象关于原点对称，图象分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小． ∴排除A、B、C，而D正确． 故选：D． 【即学即练3】 3．反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而增大．则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数y的图象在其所在的每一个象限内，y都随x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得，m＜2． 故选：A． 【即学即练4】 4．已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【答案】C 【解答】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限， ∴4﹣2m＜0， 解得m＞2． 故选：C． 【即学即练5】 5．若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣2，y3）在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小， ∵B（2，y2）在第一象限， ∴y2＞0， ∵点A（﹣1，y1）、C（﹣2，y3）在第三象限，且﹣2＜﹣1， ∴y1＜y3＜0， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 【即学即练6】 6．一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题知， 由A选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＞0； 由A选项中反比例函数的图象可知，mn＜0， 所以A选项不符合题意； 由B选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0； 由B选项中反比例函数的图象可知，mn＞0， 所以B选项不符合题意； 由C选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＜0； 由C选项中反比例函数的图象可知，mn＞0， 所以C选项不符合题意； 由D选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0； 由D选项中反比例函数的图象可知，mn＜0， 所以D选项符合题意； 故选：D． 【即学即练7】 7．二次函数y＝ax2﹣a与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线开口方向可知a＞0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线开口方向可知a＜0，反比例函数y图象在第二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 题型01 反比例函数的性质 【典例1】对于反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解答】解：A、把x＝﹣2代入解析式得y＝5，所以点（﹣2，5）在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、∵k＝﹣10＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、∵k＝﹣10＜0，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．x＞0时，y随x的增大而减小 B．当1＜x＜6时，1＜y＜6 C．当x≤﹣1时，y有最大值为﹣6 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【解答】解：A．∵反比例函数，k＝6＞0， ∴该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； B．∵当x＝1时，y＝6；当x＝6时，y＝1， ∴当1＜x＜6时，1＜y＜6，故本选项正确，不符合题意； C．∵反比例函数k＝6＞0， ∴该函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣6， ∴当x≤﹣1时，﹣6≤y＜0，故本选项错误，符合题意； D．∵反比例函数，k＝6＞0， ∴该函数图象的两个分支位于一、三象限，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．点（﹣1，﹣6）在反比例函数的图象上 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．若点A（﹣2，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2 【答案】C 【解答】解：∵k＝﹣6＜0， ∴图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； ∵当x＝﹣1时，， ∴点（﹣1，﹣6）不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ∵k＝﹣6＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， 故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴y1＞y2， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】已知反比例函数，在下列说法中：①其图象经过点（﹣3，﹣1）；②其图象分别位于第一、第三象限；③y随x的增大而增大；④当x＞1时，y＞3．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．②④ 【答案】C 【解答】解：∵反比例函数， ∴xy＝3， ∵﹣3×（﹣1）＝3， ∴其图象经过点（﹣3，﹣1），故①正确； ∵k＝3＞0， ∴其图象分别位于第一、第三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②正确，③错误； 当x＝1时，y＝3， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＞1时，0＜y＜3， 综上，正确的说法是①②， 故选：C． 题型02 根据反比例函数的性质求k 【典例1】反比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴k＜0， ∴k的值可以是﹣1， 故选：D． 【变式1】若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞7 B．k≥7 C．k＜7 D．k≤7 【答案】A 【解答】解：由题意得，k﹣7＞0， ∴k＞7， 故选：A． 【变式2】若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　） A．k＜4 B．k＞4 C．k＞2 D．k＜2 【答案】C 【解答】解：由题意得，2k﹣4＞0， ∴k＞2； 故选：C． 【变式3】已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3　 ． 【答案】k＜3． 【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴k﹣3＜0， 解得k＜3， 故答案为：k＜3． 【变式4】反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．5 B．10 C．﹣5 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：根据反比例函数的图象性质可知： 2×2＝4，﹣3×（﹣3）＝9， 结合图象得4＜k＜9， 故选：A． 题型03 反比例函数图象上的点 【典例1】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【答案】B 【解答】解：∵k＝﹣5＜0， ∴图象在二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在反比例函数的图象上，﹣2＜0＜1＜3， ∴y1＞0，y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 【变式1】若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x3＜x2 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1 【答案】A 【解答】解：由条件可知反比例函数的图象在第一、三象限，且B，C两点在第一象限，点A在第三象限， ∵1＜2， ∴x2＞x3＞0， ∵x1＜0， ∴x1＜x3＜x2， 故选：A． 【变式2】已知反比例函数的图象上有两点A（x1，﹣1）、B（x2，2），则一定正确的是（　　） A．x2＜x1＜0 B．x1＜0＜x2 C．x1＜x2＜0 D．x2＜0＜x1 【答案】D 【解答】解：∵﹣3＜0， ∴反比例函数的图象在第二和第四象限， ∵﹣1＜0， ∴A（x1，﹣1）在第四象限， ∴x1＞0， ∵2＞0， ∴B（x2，2）在第二象限， ∴x2＜0， ∴x2＜0＜x1， 故选：D． 【变式3】已知点A（m﹣1，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数（k是常数，k＞0）的图象上，下列结论正确的是（　　） A．当m＜0时，y1＜y2＜0 B．当0＜m＜1时，y1＜0＜y2 C．当0＜m＜1时，y2＜y1＜0 D．当m＞1时，0＜y1＜y2 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数y中，k＞0， ∴图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小， 当m＜0时，点A（m﹣1，y1）、B（m，y2）均在第三象限，y2＜y1＜0，故A选项错误，不符合题意； 当0＜m＜1时，点A（m﹣1，y1）在第三象限，B（m，y2）在第一象限，y2＞0＞y1，故B选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意； 当m＞1时，点A（m﹣1，y1）、B（m，y2）均在第一象限，0＜y2＜y1，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型04 反比例函数与其他函数图象共存 【典例1】函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：反比例函数y中， ∵k＝﹣3＜0， ∴双曲线位于二、四象限． 故选：A． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y的图象经过二、四象限， 故D选项的图象符合要求． 故选：D． 【变式2】已知反比例函数的图象如图所示，则函数y＝ax2﹣a的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴a＞0， ∴函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：A． 【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，a＜0，b＜0，c＞0， ∴反比例函数的图象在二，四象限，一次函数y＝﹣bx+c的图象经过一，二，三象限． 故选：C． 【变式4】二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当b＞0时，反比例函数的图象经过第一、三象限，当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意，当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当b＜0时，反比例函数的图象经过第二、四象限，当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 1．反比例函数的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【解答】解：反比例函数中， ∵k＝2025＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选：A． 2．关于反比例函数的描述错误的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＞﹣1时，y＞5 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解答】解：∵反比例函数y， ∴当x＝﹣1时，y＝55，即该函数图象过点（﹣1，5），故选项A正确； 该函数图象在第二、四象限，故选项B正确； 当﹣1＜x＜0时，y＞5，故选项C错误； 当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D正确； 故选：C． 3．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3 【答案】D 【解答】解：由题意得，k﹣3＞0， 解得k＞3． 故选：D． 4．在反比例函数的图象在某象限内y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m＞3 D．m＜3 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数的图象在某象限内y随着x的增大而增大， ∴m+3＜0， ∴m＜﹣3． 故选：B． 5．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．16 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数的图象在点（2，4）和（4，4）之间， ∴2×4＜k＜4×4，即8＜k＜16， 故选：B． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，所以a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过二、四象限，故不符合题意； B、y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，所以ab＜0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过二、四象限，故不符合题意； C、y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，所以a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过二、四象限，故符合题意； D、y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以ab＞0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过一、三象限，故不符合题意； 故选：C． 7．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 【答案】B 【解答】解：∵y（k＞0）， ∴反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小， ∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是a， ∴当x＝2时，y＝a， ∴k＝2×a＝2a， 当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数在第三象限， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a． 故选：B． 8．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（7，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【解答】解：∵在中，﹣5＜0， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（7，y3）在反比例函数的图象上，且﹣3＜﹣1＜0＜7， ∴y3＜0＜y1＜y2． 故选：D． 9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y＝ax+b在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，图象与y轴交在正半轴，故c＞0， 则反比例函数y的图象在第一、三象限， 一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限， 故选：C． 10．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是反比例函数的图象的一部分，由点C开始不断重复形成一组“波浪线”．若点P（2024，m）在该“波浪线”上，则m的值为（　　） A．1 B．5 C． D．2024 【答案】C 【解答】解：由条件可得：y＝1， ∴A（0，1）， ∵， 将x＝1代入抛物线y＝﹣4x2+8x+1，可得：y＝5， ∴B（1，5）， 由条件可知k＝5， 将x＝5代入可得：x＝1， ∴C（5，1）， ∵由点C开始不断重复形成一组“波浪线” 又∵2024÷5＝404…4， ∴P点纵坐标和x＝4时对应的函数值相等， ∴将x＝4代入得， ∴； 故选：C． 11．写出一个反比例函数的图象不经过第一、三象限，则这个反比例函数的表达式是　（答案不唯一）　 ． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：∵反比例函数不经过第一、三象限， ∴比例系数为负数， ∴函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的m值是 　﹣3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1， ∴m可以取﹣3， 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 13．若反比例函数y（k≠0），当x＞0时，y随x增大而增大，则函数y＝kx﹣k的图象不经过第 　三　 象限． 【答案】三． 【解答】解：∵反比例函数y（k≠0），当x＞0时，y随x增大而增大， ∴k＜0， ∴函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三． 14．已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣4，则k的值为　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y（k＜0），． ∴函数图象分布在第二、第四象限，且y随x的增大而增大． 又∵1≤x≤3， ∴当x＝1时，y取最小值为4． ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝4，反比例函数的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN取最小值时，点P的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：正方形OABC中，OA＝AB＝BC＝4， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都是4， 由题意可得：， ∴， ∵S正方形OABC＝S△OCN+S△OAM+S△OMN+S△MBN ∴， 解得：k＝12（负值舍去）， ∴M（4，3），N（3，4）， 如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接M′N交x轴于点P，连接PM，此时PM+PN最小， ∵点M关于x轴的对称点M′， ∴M′（4，﹣3）， 设直线M′N的表达式为y＝kx+b，由题意可得： ， 解得， ∴直线M′N的表达式为y＝﹣7x+25， 令y＝0，则， ∴点P 的坐标为：． 16．已知反比例函数． （1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴2k+1＜0， 解得：； （2）∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴2k+1＞0， ∴． 17．如图，反比例函数的图象经过正方形OABC的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形OABC扩大得到正方形ODEF，使其面积比为1：2．DE交反比例函数的图象于点G，已知OA＝1． （1）求反比例函数的解析式； （2）求GE的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵OA＝1，四边形OABC是正方形， ∴点B坐标为（1，1）， ∵反比例函数的图象经过正方形OABC的顶点B， ∴k＝1， ∴反比例函数解析式为； （2）∵将正方形OABC扩大得到正方形ODEF，使其面积比为1：2， ∴正方形ODEF的面积为2， ∴正方形ODEF的边长为， ∵点G在反比例函数上， 令，解得 ∴． 18．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BD∥x轴，点A、B的坐标分别为（6，10）、（2，7）． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）若将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求m及此时k（k＞0）的值． 【答案】（1）C（6，4），D（10，7）； （2）m的值为，此时k的值为9或45． 【解答】解：（1）连接AC交BD于点E， 由条件可知AC∥y轴， ∵点A、B的坐标分别为（6，10）、（2，7）， ∴xE＝xC＝xA＝6，yE＝yD＝yB＝7， ∴E（6，7）， ∴C（6，4），D（10，7）； （2）将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度后对应点的坐标依次为A′（6，10﹣m），B′（2，7﹣m），C′（6，4﹣m），D′（10，7﹣m）， ∵BD∥x轴，AC∥y轴， ∴B′，D′或A′，C′不能同时落在反比例函数图象上． 当A′，D′两点同时落在反比例函数图象上时，6（10﹣m）＝10（7﹣m）， ∴， ∴， ∴； 当B′，C′两点同时落在反比例函数图象上时，2×（7﹣m）＝6×（4﹣m）． ∴， ∴， ∴． 故m的值为，此时k的值为9或45． 19．如图，在直角坐标系中，A，B，C，D四点在反比例函数y的图象上，线段AC，BD都过原点O，点A的坐标为（4，2），点B点纵坐标为4，连接AB，BC，CD，DA． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当y≥﹣2时，写出x的取值范围； （3）求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（4，2）代入y得k＝4×2＝8， 所以反比例计算解析式为y； （2）∵点A与点C关于原点对称， ∴C点坐标为（﹣4，﹣2）， ∴当x≤﹣4或x＞0时，y≥﹣2； （3）把y＝4代入y得x＝2， ∴B点坐标为（2，4）， ∵点B与点D关于原点对称， ∴点D的坐标为（﹣2，﹣4）， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AB2，AD6， ∴四边形ABCD的面积＝AB•AD＝224． 20．问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）画出函数图象． ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②描点并连线． （2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①　图象是中心对称图形　 ，②　当x＞﹣1时，y随着x的增大减小　 ； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　左　 平移 　1　 个单位，其对称中心的坐标为 　（﹣1，0）　 ． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　﹣1＜x≤3　 时，y≥3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） ①列表： x … ﹣5 ﹣3 ﹣2 0 1 3 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②描点并连线． （2）观察图象， ①图象是中心对称图形； ②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小． 故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小； （3）理解运用：函数y的图象是由函数y的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：左；1；（﹣1，0）． （4）灵活应用：函数y2的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x≤3时，y≥3． 故答案为：﹣1＜x≤3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $