专题02 反比例函数与三角形或线段长度综合（高效培优专项训练）数学人教版九年级下册

专题02 反比例函数与三角形或线段长度综合 类型一：反比例函数与三角形的面积 类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题） 类型三：反比例函数中存在直角三角形问题 类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题 类型一：反比例函数与三角形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； 【答案】（1）反比例函数的表达式为； （2）； 【解答】解：（1）作BF⊥x轴于点F， ∵△OBA为等边三角形，OA＝2， ∴OB＝2，OF＝AF＝1， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵OA＝2， ∴点A的坐标为（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为， 联立得， 解得x＝3或x＝﹣1（舍去）， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； 2．如图，已知A（m，2）在反比例函数的图象上，连接OA，将线段OA绕A点逆时针旋转90°，O点恰好落在反比例函数的B点处． （1）反比例函数的解析式． （2）在x轴上是否存在一点F，使得S△ABF＝S△AOF，若存在，请求出F点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）在x轴上存在一点F，使得S△ABF＝S△AOF，点F的坐标为（35，0）或（5，0）． 【解答】解：（1）如图1，过A作CD⊥y轴于点C，过点B作BD⊥CD于点D， ∵A（m，2）， ∴CO＝2，AC＝m， ∵将线段OA绕A点逆时针旋转90°， ∴AO＝AB，∠OAB＝90°， 又∵∠ACO＝∠ADB＝90°， ∴∠CAO＝90°﹣∠DAB＝∠ABD， 在△CAO和△DBA中， ， ∴△CAO≌△DBA（AAS）， ∴AC＝BD＝m，AD＝CO＝2， ∴B（2+m，2﹣m）， ∵A（m，2），B（2+m，2﹣m）在图象上， ∴2m＝（2+m）（2﹣m）， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）在x轴上存在一点F，使得S△ABF＝S△AOF．理由如下： 由（1）可得， 当F在点O右侧时，如图2，延长AB交x轴于点E， 设直线AB的解析式为y＝k1x+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 当y＝0时，， ∴； 设F（t，0）， ∴S△ABF＝S△AEF﹣S△BEFEF•2EF•（3）EF（1）， S△AOFt×2＝t， ∵S△ABF＝S△AOF， （2t）（1）＝t， 解得：t＝35， ∴F（35，0）； 当F在点O左侧时，如图3，延长AB交x轴于点E， ∴S△ABF＝S△AEF﹣S△BEFEF•2EF•（3）EF（1）， S△AOF（﹣t）×2＝﹣t， ∵S△ABF＝S△AOF， （2t）（1）＝﹣t， 解得：t5， ∴F（5，0）， 综上所述，点F的坐标为（35，0）或（5，0）． 3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）的图象相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C（3，0），点D的坐标为（﹣1，0），连接BC、BD． （1）求该反比例函数的表达式； （2）在该反比例函数的图象上是否存在点E，使得△ACE的面积与△BCD的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点E的坐标为（﹣1，﹣12）或． 【解答】解：（1）∵AC⊥x轴于点C（3，0）， ∴A的横坐标为3， 在正比例函数中，令x＝3，则， ∴A（3，4）， 将A（3，4）代入反比例函数中，得4， 解得k＝12， ∴反比例函数的表达式为； （2）存在， 联立， 解得或， ∴B（﹣3，﹣4），A（3，4）， ∵D（﹣1，0），C（3，0）， ∴CD＝3﹣（﹣1）＝4，AC＝3﹣0＝3， ∴S△BCDCD•|yB|4×|﹣3|＝6，S△ACEAC•|xC﹣xE|3×|3﹣xE||3﹣xE|， ∵△ACE的面积与△BCD的面积相等， ∴， 解得：xE＝﹣1或xE＝7， ∴在反比例函数的图象上存在点E，使得△ACE的面积与△BCD的面积相等，点E的坐标为（﹣1，﹣12）或． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图象交于点B（m，4），与x轴交于点A（1，0）． （1）求直线l的函数关系式； （2）直线y＝﹣x与反比例的图象交于点C，与直线l交于点D，连接BC，点M是直线l上一动点，当S△BCM＝4S△OAD时，求点M的坐标： 【答案】（1）y＝﹣2x+2； （2）点M的坐标为（1，0）或（﹣3，8）； 【解答】解：（1）∵反比例函数图象y（x＜0）经过B（m，4）， ∴4m＝﹣4， 解得：m＝﹣1， ∴B（﹣1，4）， 设直线l的函数表达式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线l的函数表达式为y＝﹣2x+2； （2）令， 解得x＝2（舍去）或x＝﹣2， ∴C（﹣2，2）， 令﹣x＝﹣2x+2， 解得x＝2， ∴D（2，﹣2）， ∴S△OAD•|y|D＝1， 设M（m，﹣2m+2），过点C作CF∥y轴交直线l于点F， 则当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+2＝6， ∴F（﹣2，6）， ∴CF＝6﹣2＝4， 如图，当点M在直线CF右侧时， S△BCM＝S△CFM﹣S△CBF ＝2m+2， ∵S△BCM＝4S△OAD， ∴2m+2＝4， 解得：m＝1， ∴M（1，0）； 当点M在直线CF左侧时， S△BCM＝S△CFM+S△CBF ＝﹣2m﹣2， ∵S△BCM＝4S△OAD， ∴﹣2m﹣2＝4， 解得：m＝﹣3， ∴M（﹣3，8）， 综上所述，点M的坐标为（1，0）或（﹣3，8）； 5．如图，点B（2，n）是直线y＝k1x（k1≠0）上的点，如果直线y＝k1x（k1≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C． （1）求k1的值； （2）如果反比例函数y（k2≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E，求证：OD＝OE； （3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE的面积是△ABO面积的，求反比例函数的解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵直线y＝k1x（k1≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C， ∴AB＝BC；又B（2，n）， ∴AB＝BC＝2； ∴B（2，2）， ∴2＝2k1， ∴k1＝1． （2）∵反比例函数y（k2≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E， ∴D（，2），E（2，）； ∴OD，OE； ∴OD＝OE． （3）由题意，可得△BOD≌△BOE， ∴S△BOES四边形BDOE； 又S四边形BDOES△AOB， ∴S△BOES△AOB， 即BE•OAAB•OA， ∴BEAB； ∴AE， ∴E（2，）， ∴， 解得k2， ∴y． 类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题） 1．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC． （1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值； （2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，求点P的坐标． 【答案】（1）m＝1； （2）或． 【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，OB＝m+2，AB＝m， ∴A（m+2，m）， ∵k＝3， ∴反比例函数解析式为， ∵点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，将点A的坐标代入得： ， 解得：m＝1（经检验，是原分式方程的根，且符合题意）或m＝﹣3（不合题意，舍去）； （2）由（1）可得AB＝1， ∵的值为“黄金比”， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以OA，OC为边作平行四边形OABC，且OA＝6，∠AOC＝60°． （1）求k的值； （2）过点B作BF⊥x轴于点F，BC，BF分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点D，E，若BE＝3EF，求D点的横坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G， 在Rt△AOG中，∠AOG＝60°，OA＝6， ∴∠OAG＝30°， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 点A在反比例函数y（k＞0，x＞0）第一象限的图象上，将点A的坐标代入得： 3， 解得：； （2）由（1）可得反比例函数解析式为， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥x轴， ∴四边形ABFG为矩形， ∴， ∵BE＝3EF， ∴， 在中， 当时，得：， 解得：x＝12， ∴OF＝12， ∴OC＝AB＝GF＝OF﹣OG＝12﹣3＝9， ∵， 设直线OA的解析式为y＝mx（m≠0），将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线OA的解析式为， ∴直线BC为直线OA向右平移9个单位长度得到， ∴直线BC的解析式为， 令， 解得：（不合题意，舍去），． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的顶点A的坐标为（3，﹣2），BC与反比例函数的图象交于点C，点D． （1）求BC所在直线的解析式． （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）如图，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E， ∴∠OEC＝∠AFO＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OA，∠AOC＝90°， ∴∠EOC+∠ECO＝∠EOC+∠FOA＝90°， ∴∠ECO＝∠FOA， 在△ECO和△FOA中， ， ∴△ECO≌△FOA（AAS）， ∴OE＝AF，CE＝OF， ∵A（3，﹣2）， ∴OE＝AF＝3，CE＝OF＝2， ∴C（2，3）， 依题意得：， 解得：， ∴B（5，1）， 设直线BC解析式为y＝k′x+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC解析式为； （2）把C（2，3）代入到中得： ， 解得：k＝6， ∴反比例函数解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴， ∴，， ∴． 4．已知：一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于A（3，1），点B（1，t）， （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）设一次函数y＝mx+n的图象与x轴、y轴的交点分别为C、D，反比例函数的图象关于直线CD的对称的图形，记为图形G，图形G与x轴、y轴的交点分别为F、E，求EF的长； （3）点P是反比例函数图象上A、B间的一个动点（不与A，B重合），过P作PQ∥y轴，交图形G于Q，求PQ的最大值． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为y＝﹣x+4； （2）； （3）1． 【解答】解：（1）一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于A（3，1），点B（1，t），将点A代入反比例函数得： ， 解得：k＝3， ∴反比例函数表达式为； 将点B的坐标代入得： ∴， ∴B（1，3）． 将点A，点B的坐标分别代入一次函数解析式y＝mx+n得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为y＝﹣x+4； （2）一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴、y轴的交点分别为C、D， 当y＝0时，得：﹣x+4＝0， 解得：x＝4； 当x＝0时，得：y＝4， ∴C（4，0），D（0，4）， ∴OC＝OD＝4， 如图1，过点D作DM⊥OD交于点I，过点C作CM⊥OC交于点H，DM交CM于M，则四边形OCMD是矩形， ∵OD＝OC＝4， ∴四边形OCMD是正方形， ∴DM与OD关于直线CD对称，OC与CM关于直线CD对称， ∵反比例函数的图象关于直线CD对称得到图形G， ∴E与I关于直线CD对称，F与H关于直线CD对称， ∴OE＝IM，MH＝OF， 对于， 当y＝4时，得：，解得， 当x＝4时，得：， ∴OE＝IM＝4，MH＝OF＝4， ； （3）如图2，设（1＜x＜3），令PQ交直线CD于点S，过S作RS∥x轴，交反比例函数于点R， ∵OD＝OC＝4，∠COD＝90°，RS∥x轴， ∴∠RSD＝∠OCD＝45°， ∵PQ∥y轴，RS∥x轴， ∴RS⊥PQ， ∴∠RSQ＝90°， ∴∠QSD＝90°﹣45°＝45°＝∠RSD， ∴RS和QS关于CD对称， ∵反比例函数的图象关于直线CD对称得到图形G， ∴点R和点Q关于直线CD对称，即RS＝QS， ∵设（1＜x＜3）， ∴S（x，﹣x+4），， ∴PQ＝PS+QS＝RS+PS， ∴，， ∴PQ＝PS+QS ＝RS+PS ， 当x＝2时（x﹣2）2﹣4有最小值，即PQ取最大值， 此时最大． 类型三：反比例函数中存在直角三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数y（x＜0）的图象交于点B（﹣2，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点D（﹣6，n）是反比例函数y图象上一点，连接BD，CD，求△BCD的面积； （3）点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为yx+2，反比例函数为y（x＜0）； （2）4； （3）P1（0，），P2（0，）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y（x＜0）的图象交于点B（﹣2，3）， ∴3＝﹣2k+2，3， ∴k，m＝﹣6， ∴一次函数为yx+2，反比例函数为y（x＜0）； （2）∵一次函数yx+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C， ∴A（4，0），C（0，2）， ∵点D（﹣6，n）是反比例函数y图象上一点， ∴n1， ∴D（﹣6，1）， 设直线BD的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为yx+4， 延长DB交y轴于E， 当x＝0时，y＝4， ∴E（0，4） ∴△BCD的面积＝△ECD的面积﹣△BCE的面积（4﹣2）×6（4﹣2）×2＝4； （3）设P（0，x）， A（4，0），B（﹣2，3）， 根据题意：（x﹣3）2+22+x2+42＝（4+2）2+（0﹣3）2， 解得：x1，x2， ∴所有符合条件的点P的坐标：P1（0，），P2（0，）． 2．已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）若点A关于原点的对称点为A′，求△AA′B的面积； （3）探究：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），B（﹣6，﹣1）； （2）16； （3）P（0，﹣3）． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴A（2，3）， ∵反比例函数的图象过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）； （2）如图，过点A′作A′M∥CO，交AB于点M， 由条件可知点A关于原点的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣3）， 把x＝﹣2代入， 可得y1＝1， ∴M（﹣2，1）， ∴MA′＝4， ∴； （3）如图，过点A作AE⊥y轴于E，BD⊥y轴于D， ∴∠AEP＝∠BDP＝90°， 由条件可知BP＝AP，∠APB＝90°＝∠AEP＝∠BDP， ∴∠APE+∠BPD＝90°＝∠APE+∠PAE， ∴∠BPD＝∠PAE， ∴△BPD≌△PAE（AAS）， ∴BD＝PE＝6， ∵E（0，3）， ∴点P（0，﹣3）． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数的图象交于点A（3，a）和点B（14﹣2a，2），与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接AO、BO，求△AOC的面积； （3）点D在y轴上，且△ADC是直角三角形，求点D的坐标． 【答案】（1）y； （2）9； （3）（0，4）或（0，）． 【解答】解：（1）∵点A（3，a）和点B（14﹣2a，2）在反比例函数图象上， ∴3a＝（14﹣2a）×2， 解得：a＝4， 则m＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图，连接AO，BO， ∵A（3，4）在一次函数y＝kx+6的图象上， ∴3k+4＝6， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴C（0，6），即OC＝6， ∵B（6，2）， ∴； （3）∵点A，C为两个定点， ∴△ADC为直角三角形有两种情况： ①∠ADC＝90°时，AD⊥y轴，此时点AD∥x轴， ∵A的坐标为（3，4）， ∴D的坐标为（0，4）； ②∠CAD＝90°时，此时直线AD与AB垂直，设D（0，y）， ∴CD＝6﹣y，，， ∵CD2＝AC2+AD2， ∴（6﹣y）2＝13+y2﹣8y+25， 解得：， ∴， 综上，点D的坐标为（0，4）或． 4．如图，已知直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°． （1）求点A的坐标； （2）求反比例函数的解析式和直线OA的解析式； （3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）反比例函数解析式为；直线OA的解析式为； （3）或或（2，0）或（8，0）． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E， ∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，OA＝4， ∴∠OAE＝30°， ∴，， ∴点； （2）∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； 设直线OA的解析式为y＝nx（k≠0）， 则，解得， ∴直线OA的解析式为； （3） 当P点在y轴上时，如图2， 当∠AP1O＝90°， 又∵∠AOP1＝30°， ∴AP1＝2，， ∴点； 当∠P2AO＝90°， 又∵∠AOP2＝30°， ∴OP2＝2AP2，， ∴， ∴点； 当P点在x轴上时，如图2， 当∠OAP3＝90°， 又∵∠AP3O＝30°， ∴OP2＝2AO＝8， ∴点P3（8，0）； 当∠AP4O＝90°，则P4与E两点重合， ∴点P4（2，0）； 综上所述：点P的坐标为或或（2，0）或（8，0）． 类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题 1．如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接OA，，OB＝2． （1）求反比例函数解析式； （2）在y轴上是否存在点M，使得△AOM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）在y轴上存在点M，使得△AOM为等腰三角形；点M的坐标为（0，2.5）或（0，2）或或． 【解答】解：（1）∵，OB＝2． ∴AB＝1， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣2，1）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴m＝﹣2， ∴； （2）在y轴上存在点M，使得△AOM为等腰三角形；理由如下： 由（1）得OB＝2，AB＝1， ∴， ∵在y轴上存在点M，使得△AOM为等腰三角形， ∴设M（0，m）， ∴当OA＝OM时，如图1，得：， 解得：， ∴点M的坐标为或； 当OA＝AM时，过点A作AG⊥y轴，如图2， ∴四边形ABOG为矩形， ∴OG＝AB＝GM3＝1， ∴OM3＝2， ∴点M的坐标为（0，2）； 当OM＝AM时，过点A作AH⊥y轴，如图3， ∴四边形ABOG为矩形， ∴OH＝AB＝1，AH＝OB＝2， 设OM4＝AM4＝x，则HM4＝x﹣1， ∵， ∴22+（x﹣1）2＝x2， 解得：x＝2.5， ∴点M的坐标为（0，2.5）， 综上所述，在y轴上存在点M，使得△AOM为等腰三角形；点M的坐标为（0，2.5）或（0，2）或或． 2．如图，反比例函数图象与正比例函数y2＝nx图象相交于点A（﹣1，2）与点B． （1）试求反比例函数与正比例函数y2＝nx的函数表达式及点B的坐标． （2）请直接写出的解集． （3）现把y2＝nx的图象绕O点顺时针旋转90°得到y3＝ax．在函数y3＝ax图象上是否存在一动点E，使△ABE是以BE为底边的等腰三角形？如果存在，请求出这个点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数表达式为；正比例函数表达式为y2＝﹣2x；B（1，﹣2）； （2）﹣1＜x＜0或x＞1； （3）存在，或． 【解答】解：（1）∵反比例函数图象与正比例函数y2＝nx图象相交于点A（﹣1，2）， ∴m＝﹣1×2＝﹣2，即反比例函数表达式为； ，即y2＝﹣2x； ∵反比例函数图象与正比例函数y2＝nx图象相交于点A（﹣1，2）与点B， ∴联立，解得或，即B（1，﹣2）； （2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示： ∵A（﹣1，2）、B（1，﹣2）， ∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是﹣1＜x＜0或x＞1． （3）如图所示： ∵把y2＝﹣2x的图象绕O点顺时针旋转90°得到了y3＝ax， ∴直线垂直直线y2＝﹣2x， ∵A（﹣1，2）与B（1，﹣2）关于原点O对称， ∴直线是线段AB的垂直平分线， ∴当E在直线上时，由垂直平分线性质可得EA＝EB， 若使△ABE是以BE为底边的等腰三角形，则AB＝AE， ∴此时△ABE是等边三角形， 在Rt△BOE中，∠BEO＝30°，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或， ∴或． 3．如图，一次函数y1＝x+b与y轴交于点A（0，2），与反比例函数y2分别交于点C、D（a，﹣1），连接OC，OD．作CE⊥x轴于点E，且OEOB． （1）求一次函数关系式和k的值； （2）求△COD的面积； （3）点M是y轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数关系式为y1＝x+2，k＝3； （2）4； （3）、、M3（0，6）、． 【解答】解：（1）将A（0，2）代入y1＝x+b中，得：b＝2， ∴y1＝x+2， ∵D（a，﹣1）在一次函数图象上， ∴a+2＝﹣1， ∴a＝﹣3， 将D（﹣3，﹣1）代入， 得：k＝﹣3×（﹣1）＝3； （2）将y1＝x+2与联立，得：， 解得x1＝﹣3，x2＝1， 将x＝1代入y1＝x+2，得y＝1+2＝3 ∴C（1，3）， ∴OE＝1， ∵， ∴OB＝2， ∴； （3）由题意可得：． 当时，如图： ∴点M的坐标为：、； 当时，作CH⊥y轴于点H， 则MH＝OH＝CE＝3， ∴OM＝2OH＝6， ∴点M的坐标为：M3（0，6）； 当CM＝OM时，设点M的坐标为M4（0，m）， 则（1﹣0）2+（3﹣m）2＝m2， 解得， ∴点M的坐标为：； ∴存在满足要求的点M，、、M3（0，6）、． 4．如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为：y；（2）；（3）P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）、P5（0，）、P6（，0）、P7（0，4）、P8（﹣6，0）．． 【解答】解：（1）∵已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点， ∴m＝﹣3×2＝﹣3n， ∴m＝﹣6，n＝2， ∴反比例函数解析式为：y； （2）∵A（﹣3，2），B（2，﹣3）在一次函数y＝kx+b图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1， 设一次函数与y轴交点为C，则C（0，﹣1），OC＝1， S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）∵A（﹣3，2）， ∴OP， ①当OA＝OP时，在坐标轴上存在四个P的位置满足△AOP等腰三角形， P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）； ②当PA＝PO时，存在两个满足条件的P点，P点是线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点， ∵A（﹣3，2）在直线OA上， ∴直线OA的k，线段OA的中点坐标（，1）， 设线段OA垂直平分线解析式为yx+b， 将点（，1）坐标代入得：1b，解得b， ∴线段OA垂直平分线解析式为y， 当x＝0时，y；当y＝0时，x， ∴P5（0，），P6（，0）． 当AP＝AO时，P（0，4），P（﹣6，0）． 综上所述，满足条件的P点有6个，坐标为：P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）、P5（0，）、P6（，0）P7（0，4）、P8（﹣6，0）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02 反比例函数与三角形或线段长度综合 题型归纳 类型一：反比例函数与三角形的面积 类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题） 类型三：反比例函数中存在直角三角形问题 类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题 题型专练 类型一：反比例函数与三角形的面积 1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2,点B在反比例函数 y=(k>0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=奈的图象在第三象限交于点 C,连接CA并延长与反比例函数y=会的图象在第一象限交于点D. (1)求反比例函数的表达式： (2)求点D的坐标及△OAD的面积： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，己知A(m,2)在反比例函数y=的图象上，连接OA,将线段OA绕A点逆时针旋转90°，O 点恰好落在反比例函数的B点处， y年 (1)反比例函数的解析式. (2)在x轴上是否存在一点F,使得S△4Br=S△4OF,若存在，请求出F点坐 A 标，若不存在，请说明理由. B 0 3.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=号x的图象与反比例函数y=奈(0)的图象相交于A、B 两点，AC⊥x轴于点C(3,0),点D的坐标为(-1,0)，连接BC、BD. (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点E,使得△ACE的面积与△BCD的面积相等？若存在，请求 出点E的坐标；若不存在，请说明理由. y B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在平面直角坐标系中，直线1与反比例函数y=一是(x<0)的图象交于点B(m,4),与x轴交 于点A(1,0). (1)求直线1的函数关系式； (2)直线y=~x与反比例y=-(x<O)的图象交于点C,与直线1交于点D,连接BC,点M是直线 1上一动点，当S△BCM=4S△OAD时，求点M的坐标： ⊙ C C M A A 2 备用图 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，点B(2,n)是直线y=1x(k1≠0)上的点，如果直线y=x(k≠0)平分∠yOx,BA⊥x轴于A, BC⊥y轴于C. (1)求的值： (2)如果反比例函数y=架(240)的图象与BC、BA分别交于点D、E,求证：OD=OE: (3)在(2)的条件下，如果四边形BDOE的面积是△ABO面积的青，求反比例函数的解析式. 个 B 类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题） ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值.这个比例被公认为是最 能起美感的比帆，被称为黄金分：其比信是学， 称之为“黄金比”.如图，点A、C是反比例函数 y=(k>0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B,连接BC. (1)若k=3,OB=m+2,AB=m,试求m的值； (2)在(1)的条件下，在x轴上取一点P,使部的值为黄金比，求点P的坐标。 2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在反比例函数y=奈(k>0,x>0)第一象限的图 象上，点C在x轴的正半轴上，以OA,OC为边作平行四边形OABC,且OA=6,∠AOC=60°. (1)求k的值； (2)过点B作BF⊥x轴于点F,BC,BF分别与反比例函数y=袁(k>O,x>O)的图象交于点D,E, 若BE=3EF,求D点的横坐标. y B C 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的顶点A的坐标为(3， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ D B 0 A 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -2),BC与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,点D. (1)求BC所在直线的解析式. (2)求器的值 4.己知：一次函数y=+n与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象交于A(3,1),点B(1,t), (1)求一次函数及反比例函数的表达式： (2)设一次函数y=m+n的图象与x轴、y轴的交点分别为C、D,反比例函数y=(k>0,x>0)的 图象关于直线CD的对称的图形，记为图形G,图形G与x轴、y轴的交点分别为F、E,求EF的长； (3)点P是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上A、B间的一个动点（不与A,B重合），过P作PQ y轴，交图形G于Q,求PQ的最大值. D B 、.Q F!C 类型三：反比例函数中存在直角三角形问题 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=+2的图象分别与x轴，y轴交于点A,点C,与反比例 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 函数y=罗(x<0)的图象交于点B(-2,3). (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)点D(-6,n)是反比例函数y=罗图象上一点，连接BD,CD,求△BCD的面积； (3)点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标， B D 2.已知一次函数y1=x+2与反比例函数y2=(k≠0)的图象交于A(2,m)、B两点，交y轴于点C. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y B 备用图 (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)若点A关于原点的对称点为A',求△AA'B的面积； (3)探究：在y轴上是否存在一点P,使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P,若存在，请 直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由. 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=a+6的图象与反比例函数y=爱的图象交于点A(3,a)和 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点B(14-2a,2),与y轴交于点C. (1)求反比例函数的解析式： (2)连接AO、BO,求△AOC的面积； (3)点D在y轴上，且△ADC是直角三角形，求点D的坐标. y 4.如图，已知直线OA与反比例函数y=要(m≠0)的图象在第一象限交于点A.若OA=4,直线OA与x 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 轴的夹角为60°. (1)求点A的坐标； (2)求反比例函数的解析式和直线OA的解析式： (3)若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标. 类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10