第二十六章 反比例函数（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

第二十六章 反比例函数 教学目标 1. 熟练掌握一元二次方程全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数的图象与性质； （2）反比例函数k的几何意义； （3）反比例函数与实际问题。 2. 难点 （1）反比例函数k的几何意义； （2）反比例函数与实际问题以及反比例函数与一次函数的综合。 考点01 反比例函数的定义 1. 反比例函数的定义： 一般地，形如（k是常数且k≠0）的函数叫做反比例函数。 2. 反比例函数的三种形式： ①；②；③。 考点02 待定系数法求反比例函数解析式 1. 待定系数法求反比例函数的具体步骤： 具体步骤如下： ①设反比例函数解析式； ②带函数图像上的点； ③解方程求比例系数； ④写函数解析式。 考点03 反比例函数的图象与性质 3. 画反比例函数的图象的一般步骤： 反比例函数的图象画法的三个步骤进行： ①列表；②描点；③连线。 2. 反比例函数的图象与性质 k的符号 k＞0 k＜0 大致图象 经过象限 一、三象限 二、四象限 增减性 每一支上随的增大而减小 每一支上随的增大而增大 3. 反比例函数的对称性： 反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。 ①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为原点，反比例函数与正比例函数的两个交点一定关于原点对称。 ②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的，则函数的对称轴是一三限的角平分线；若反比例函数的，则对称轴是二四限的角平分线。 考点04 反比例函数k的几何意义 1. k的几何意义： 图① 图② ①如图①，在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到的三角形的面积等于。 推广：在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例函数图象上的点与垂足点得到的三角形的面积都是。 ②如图②，在反比例函数图象上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面积为。 推广：在反比例函数图象上任找一点作坐标轴的垂线，在另一坐标轴上任找一段长度与垂线长度相等的线段，与垂线段构成的平行四边形的面积都等于。 考点05 反比例函数与实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图像和性质解决实际问题。 2. 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 3. 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 题型01 判断反比例函数 【典例1】下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2024x﹣1 C． D．xy＝﹣2024 【答案】C 【解答】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项符合要求； D、xy＝﹣2024，，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列函数：①y＝x﹣2，②y，③y＝x﹣1，④y，y是x的反比例函数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①y＝x﹣2，y是x的一次函数，故错误； ②y，y是x的正比例函数，故错误； ③y＝x﹣1，y是x的反比例函数，故正确； ④y，y是x+1的反比例函数，故错误． 综上所述，正确的结论只有1个． 故选：B． 题型02 根据反比例函数的定义求值 【典例1】函数数是反比例函数，则m＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意，得2m﹣2＝1， 解得m． 故答案为：． 【变式1】如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．±1 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数， ∴|m|﹣2＝﹣1且m﹣1≠0， 由|m|﹣2＝﹣1，解得：m＝±1， 由m﹣1≠0，解得：m≠1， 综上所述：m＝﹣1． 故选：B． 【变式2】已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数是关于x的反比例函数， ∴m+2≠0，m2﹣5＝﹣1， ∴m＝2． 故答案为：2． 【变式3】已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则m＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵是反比例函数， ∴m2﹣5＝﹣1， 解得m＝±2， ∵图象在第一、第三象限内， ∴m+1＞0， ∴m＞﹣1， ∴m＝2， 故答案为：2． 题型03 待定系数法求反比例函数解析式 【典例1】已知反比例函数y，当x＝2时，y＝3，那么k的值是（　　） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数y，当x＝2时，y＝3， ∴k＝xy＝2×3＝6． 故选：A． 【变式1】若一个反比例函数的图象经过点（3，﹣6），则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设反比例函数的解析式为：，由条件可得， 解得：k＝﹣18， ∴， 故选：C． 【变式2】已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数y＝x+b的图象经过该反比例函数图象上的点B（2，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）求一次函数图象与x轴的交点C坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，△POC的面积为3，求点P坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）C（1，0）； （3）或． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）由（1）可知：反比例函数为， 又∵B（2，m）在反比例函数的图象上， ∴，即B（2，1）． ∵B（2，1）在一次函数y＝x+b的图象上， ∴2+b＝1，解得：b＝﹣1， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣1， 令y＝0，则有x﹣1＝0， ∴x＝1， ∴C（1，0）； （3）由题意，设点，由（2）可知：OC＝1， ∴， ∴或， ∴或． 题型04 反比例函数的基本性质 【典例1】关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（1，5）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【答案】A 【解答】解：A、关于反比例函数，当x＞0时，函数值y＜0，故A正确； B、关于反比例函数，在x＜0或x＞0，y随x的增大而增大，故B错误； C、关于反比例函数，点（1，5）不在该函数图象上，故C错误； D、关于反比例函数，图象在第二、四象限，故D错误； 故选：A． 【变式1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．x＞0时，y随x的增大而减小 B．当1＜x＜6时，1＜y＜6 C．当x≤﹣1时，y有最大值为﹣6 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【解答】解：A．∵反比例函数，k＝6＞0， ∴该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； B．∵当x＝1时，y＝6；当x＝6时，y＝1， ∴当1＜x＜6时，1＜y＜6，故本选项正确，不符合题意； C．∵反比例函数k＝6＞0， ∴该函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣6， ∴当x≤﹣1时，﹣6≤y＜0，故本选项错误，符合题意； D．∵反比例函数，k＝6＞0， ∴该函数图象的两个分支位于一、三象限，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而增大．则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数y的图象在其所在的每一个象限内，y都随x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得，m＜2． 故选：A． 【变式3】已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3　 ． 【答案】k＜3． 【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴k﹣3＜0， 解得k＜3， 故答案为：k＜3． 【变式4】如果反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限， ∴k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 题型05 反比例函数的图象及图象共存 【典例1】函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：反比例函数y中， ∵k＝﹣3＜0， ∴双曲线位于二、四象限． 故选：A． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，当x＞0时， ∴|x|＝x． ∴y0，则此时图象分布在第四象限． 当x＜0时， ∴|x|＝﹣x． ∴y0，则此时图象分布在第三象限． 综上，故选：C． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，所以a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过二、四象限，故不符合题意； B、y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，所以ab＜0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过二、四象限，故不符合题意； C、y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，所以a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过二、四象限，故符合题意； D、y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以ab＞0，所以反比例函数y（ab≠0）的图象经过一、三象限，故不符合题意； 故选：C． 【变式3】二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得a＞0，，所以a＞0，b＜0，则ab＜0，由反比例函数图象在第一、三象限，则ab＞0，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得a＜0，，所以a＜0，b＞0，则ab＜0，由反比例函数图象在第一、三象限，则ab＞0，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得a＞0，，所以a＞0，b＞0，则ab＞0，由反比例函数图象在第二、四象限，则ab＜0，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得a＜0，，所以a＜0，b＜0，则ab＞0，由反比例函数图象在第一、三象限，则ab＞0，故此选项符合题意； 故选：D． 题型06 反比例函数图象上的点 【典例1】若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等得：3×（﹣5）＝（m+1）×（﹣3）， 解得m＝4， 故选：A． 【变式1】P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1，y2大小不确定 【答案】C 【解答】解：由条件可知反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随着x增大而减小， ∴y1＞y2， 故选：C． 【变式2】已知点A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3从小到大的顺序为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数，k＝﹣4＜0， ∴该反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵（﹣1，y2）在第二象限，（1，y1）（2，y3）在第四象限，且2＞1， ∴y1＜y3＜y2， 故选：D． 【变式3】已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜x3，则下列结论一定正确的是（　　） A．若x1x3＜0，则y1＜y3＜y2 B．若x1x3＜0，则y2＜y1＜y3 C．若x1x2＞0，则y3＜y2＜y1 D．若x1x2＜0，则y1＜y3＜y2 【答案】D 【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数的图象的两个分支分别在第一、三象限， ∵x1＜x2＜x3， 若x1x3＜0，可以得到点A（x1，y1）在第三象限，点C（x3，y3）在第一象限， ∴当点B在第三象限时，y2＜y3，当点B在第一象限时，y2＞y3， 故A不符合题意，同时选项B不符合题意， C、若x1x2＞0，则x1，x2同号， 当0＜x1＜x2＜x3时，此时三点都是在第一象限内的图象上，即y3＜y2＜y1， 当x1＜x2＜0＜x3时，y3＞y1＞y2，故C不符合题意； D、若x1x2＜0，则x1，x2异号，则x1＜0＜x2＜x3， 所以y1＜y3＜y2，故D选项正确； 故选：D． 题型07 反比例函数k的几何意义 【典例1】如图，已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB＝1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．2 【答案】C 【解答】解：设点A（a，b） ∵点A在反比例函数y的图象上， ∴b， 即k＝3ab， 又∵S△AOBOB•AB＝1，而OB＝a，AB＝﹣b， ∴ab＝1， ∴ab＝﹣2， ∴k＝3ab＝﹣6， 故选：C． 【变式1】如图所示，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分A，C两点，则矩形OABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴xB•yB＝4， ∵四边形OABC是矩形， ∴OA＝xB，AB＝yB， ∴矩形OABC的面积为＝OA•AB＝xB•yB＝4． 故选：D． 【变式2】如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则k2﹣k1的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：∵点A，B分别在反比例函数和的图象上， 设点A（a，b），B（c，d）， ∴k1＝ab，k2＝cd， ∵， ∴， ∴cd﹣ab＝5， ∴k2﹣k1＝5， 故选：B． 【变式3】如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】A 【解答】解：设点A横坐标为a，则， ∵AB∥x轴， ∴， ∵B在上， ∴，则AB＝xA﹣xB＝4a， ∴． 故选：A． 【变式4】如图，▱ABCD的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且▱ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：过点C作CE⊥x轴于E，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴CD⊥y轴， ∴四边形CDOE是矩形， ∴▱ABCD的面积与矩形CDOE的面积相等， ∵▱ABCD的面积为6， ∴矩形CDOE的面积6， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：k＝6． 故选：A． 【变式5】如图，A、B两点在双曲线y上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：根据题意得S1+S阴影＝S2+S阴影＝4， 所以S1＝S2， 而S1+S2＝6， 所以S1＝3， 所以S阴影＝4﹣3＝1． 故选：C． 【变式6】如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B，D在反比例函数的图象上，若▱ABCD的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：连接OB，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线， ∴OA＝OC，S△ABCS▱ABCD， ∵▱ABCD的面积是16， ∴S△ABC＝8， ∵OA＝OC， ∴S△OABS△ABC＝4， ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∵点B在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OAB|k|＝4， ∴|k|＝8， 又∵反比例函数的图象在第一，三象限内， ∴k＝8． 故选：D． 题型08 反比例函数与实际问题 【典例1】为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝600x B． C． D．y＝x+600 【答案】B 【解答】解：由题意得：xy＝600，即； 故选：B． 【变式1】计划修建铁路1200km，则铺轨天数y（d）与平均每天铺轨量x（km/d）之间的函数关系式是（　　） A．y＝1200x B． C．y＝1200+x D．y＝1200﹣x 【答案】B 【解答】解：∵铺轨天数＝铁路长÷每天铺轨量， ∴y， 故选：B． 【变式2】充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强p（kPa）与气体体积V（m3）是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（　　） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由100kPa减压到80kPa，则气体体积增加了0.24m3 D．若气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于0.64m3 【答案】D 【解答】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则k＝0.8×120， 解得k＝96， ∴函数关系式为，故A正确，不符合题意； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确，不符合题意； C．将P＝100代入得V＝0.96，将P＝80代入得V＝1.2，1.2﹣0.96＝0.24（m3），故C正确，不符合题意； D．将P＝150代入得V＝0.64m3， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于0.64m3，故D不正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm 【答案】C 【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为， 由条件可得k＝20． ∴h关于ρ的函数解析式为．据此，逐项分析判断如下： A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确，不符合题意； B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故该选项不正确，不符合题意； C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，故该选项正确，符合题意； D．当液体的密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意； 故选：C． 【变式4】某农场经过前期调研得知，他们培育的一种新品种蔬菜有30天的上市时间，蔬菜的出场产量y1（kg）随上市时间x（天）的函数关系满足y1＝﹣2x2+64x，销售价格y2（元/kg）随上市时间x（天）的函数关系满足y22（0＜x≤30）． （1）求蔬菜上市第3天时的出场产量及销售价格； （2）若每天出场的蔬菜都能按当天的销售价格y2（元/kg）销售完，那么蔬菜上市第几天的销售额最高？最高是多少元？（销售额＝销售价格×销售量） 【答案】（1）蔬菜上市第3天时的出场产量是174kg，销售价格是元/kg； （2）蔬菜上市第11天的销售额最高，最高是1764元． 【解答】解：（1）令x＝3．则y1＝﹣2x2+64x＝﹣2×32+64×3＝174，y22， 答：蔬菜上市第3天时的出场产量是174kg，销售价格是元/kg． （2）设每天的销售额为w元， 根据题意得w＝（2）•（﹣2x2+64x）＝﹣4（x﹣11）2+1764． 当x＝11时，w取得最大值1764． 答：蔬菜上市第11天的销售额最高，最高是1764元． 【变式5】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第10分钟时消毒效果为　3　 效力； （2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）3； （2）深消毒阶段为线段BC的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式； （3）消毒有效． 【解答】解：（1）根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）当10≤x≤30时， 设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，由题意可得： ， ∴， 所以． 当x≥30时， 设反比例函数的解析式为， 由题意可得：， 解得m＝180， 故． （3）∵，， ∴当y＝4时，； 当y＝4时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【变式6】某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤．已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1与踏板上人的质量m之间满足一次函数关系，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为8V，定值电阻R0的阻值为30Ω，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m． 知识小链接：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求出R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式； （2）当电压表显示的读数为1.5V时，求出对应测重人的质量． 【答案】（1）R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）； （2）当电压表显示的读数为1.5伏时，对应测重人的质量为55千克． 【解答】解：（1）将（0，240）、（120，0）代入R1＝km+b， ， 解得， ∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）； （2）由题意得可变电阻两端的电压V1＝8﹣1.5＝6.5伏， ∵I，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 解得R1＝130， ∴﹣2m+240＝130， 解得m＝55， ∴当电压表显示的读数为1.5伏时，对应测重人的质量为55千克． 【变式7】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a （1）表格中a的值是 　100　 ； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【答案】（1）100； （2）见解析； （3）当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小，理由见解析． 【解答】解：（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300， ∴3a＝300， ∴a＝100， 故答案为：100； （2）画出F与l的函数图象如图所示： （3）当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： ∵F、l都是正数， ∴这条曲线是反比例函数的一支， ∵FL＝300， ∴其函数表达式为F， ∵k＞0， ∴在第一象限内，F随l的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F是减小． 题型09 反比例函数与一次函数的不等式 【典例1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：C． 【变式1】如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象交于A（1，m），B（4，n）两点，则关于x的不等式kx+b解集是（　　） A．x＜0或1＜x＜4 B．x＜1或x＞4 C．0＜x＜1或x＞4 D．1＜x＜4 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点， ∴根据还是图象可知当0＜x＜1或x＞4时y1在y2下方， ∴关于x的不等式解集是0＜x＜1或x＞4， 故选：C． 【变式2】如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（1，0），与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是　﹣2＜x＜0　 ． 【答案】﹣2＜x＜0． 【解答】解：由条件可得， ∴反比例函数解析式为， 把y＝2代入，得， ∴x＝﹣2， ∴C（﹣2，2）， ∴不等式组的解集是﹣2＜x＜0， 故答案为：﹣2＜x＜0． 题型10 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】已知直线y＝﹣2x与双曲线的一个交点为（﹣1，2），则它们另一个交点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵两个函数的一个交点为（﹣1，2），且两图象的交点关于原点对称， ∴它们另一个交点坐标是（1，﹣2）， 故选：C． 【变式1】如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D．下列结论错误的是（　　） A． B．△BOC与△AOD的面积相等 C．△COD的面积是 D．当1≤x≤4时，y1≥y2 【答案】C 【解答】解：（1）由y2过点C（1，2）和D（m，）可得：， 解得： ∴y2， 又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（4，）可得：， 解得， ∴y1，A选项正确，不符合题意； 又∵一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B， ∴A坐标为（5，0），B（0，）， 又点C的坐标是C（1，2），D（4，） ∴△BOC的面积1， △AOD的面积， ∴△BOC与△AOD的面积相等，B选项正确，不符合题意； △COD的面积＝△BOA的面积﹣△AOD的面积﹣△BOC的面积5，故C选项错误，符合题意； 由图可知，当1≤x≤4时，y1≥y2正确，D项不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，直线y＝2x﹣3与反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）若点P是x轴上一点，且S△AOP＝2S△AOB，求出点P的坐标． 【答案】（1）A（2，1），； （2）或0＜x＜2； （3）（15，0）或（﹣15，0）． 【解答】解：（1）联立y＝2x﹣3和得， 即2x2﹣3x﹣2＝0， （2x+1）（x﹣2）＝0， 解得：， 当时，，故， 当x＝2时，y＝2×2﹣3＝1，故A（2，1）； （2）由图象可知，当时，或0＜x＜2； （3）如图，设直线y＝2x﹣3与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝2×0﹣3＝﹣3，故C（0，﹣3）， ∴， ∴， ∴， ∴OP＝±15， ∴点P的坐标为（15，0）或（﹣15，0）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 【答案】（1）y，y＝x+7；（2）﹣6≤x≤﹣1；（3）8． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（﹣6，1）， ∴k1＝﹣6×1＝﹣6， 故反比例函数的表达式为， 把点A（a，6）代入反比例函数得，， 解得a＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，6）， ∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点， ∴，解得， 故一次函数的表达式为y＝x+7； （2）∵， ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴﹣6≤x≤﹣1； （3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7， 解得：y＝﹣4+7＝3， ∴C（﹣4，3）， 当y＝3时，代入，得， 解得：x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， 如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， ∵B（﹣6，1），D（﹣2，3）， ∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4， ∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3， ∴S△BOD＝S梯形BFED（DE+BF）EF（3+1）×4＝8． 【变式4】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（m，﹣4），B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且S△ABC＝6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接BC，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y，B（2，2）； （2）点C的坐标为（1，4）或（，3）； （3）点N的坐标为（﹣5，1）或（﹣7，）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣2过点A（m，﹣4）， ∴﹣4＝2m﹣2， ∴m＝﹣1， ∴A（﹣1，﹣4）， 把A（﹣1，﹣4）代入得，k＝4， ∴反比例函数的表达式为y； ∴， ∴或， ∴B（2，2）； （2）设点C（c，），过点C作x轴平行线交直线AB于H， ∴点H（1，）， ∵S△ABC＝6， ∴S△ABC（4+2）×|xC﹣xH|＝6， ∴（4+2）×|c1|＝6， 解得c＝1或（0，舍去）． ∴点C的坐标为（1，4）或（，3）； （3）∵点C位于点B左侧， ∴C（1，4）． ①当四边形BCNM为矩形时，如图： 过B作直线l⊥x轴，过C作CF⊥直线l，过P作PE⊥直线l， ∵∠FCB+∠FBC＝∠FBC+∠PBE＝90°， ∴∠FCB＝∠PBE， ∵C（1，4），B（2，2）， ∴CF＝1，BF＝2，PE＝2， ∴BF＝PE， 在△BCF和△PBE中， ， ∴△BCF≌△PBE（AAS）， ∴BE＝CF＝1， ∴P（0，1）， 设直线BM解析式为y＝kx+1， 代入B（2，2）得k， ∴直线BM解析式为yx+1， 联立y得x+1， ∴x2+2x﹣8＝0， ∴x＝﹣4或2， ∴M（﹣4，﹣1）， ∵B（2，2）移动到C（1，4）， ∴M（﹣4，﹣1）移动到N， ∴N（﹣5，1）． ②当BCM'N'为矩形时， ∵M'C∥BM， ∴设直线M'C解析式为yx+t， 代入C（1，4）得t， ∴直线M'C解析式为yx， 联立y得x， ∴x2+7x﹣8＝0， ∴x＝﹣8或1， ∴M'（﹣8，）， ∵C（1，4）移动到B（2，2）， ∴M'（﹣8，）移动到N'， ∴N'（﹣7，）． 综上所述，点N的坐标为（﹣5，1）或（﹣7，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 反比例函数 教学目标 1. 熟练掌握一元二次方程全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数的图象与性质； （2）反比例函数k的几何意义； （3）反比例函数与实际问题。 2. 难点 （1）反比例函数k的几何意义； （2）反比例函数与实际问题以及反比例函数与一次函数的综合。 考点01 反比例函数的定义 1. 反比例函数的定义： 一般地，形如（k是常数且k≠0）的函数叫做反比例函数。 2. 反比例函数的三种形式： ①；②；③。 考点02 待定系数法求反比例函数解析式 1. 待定系数法求反比例函数的具体步骤： 具体步骤如下： ①设反比例函数解析式； ②带函数图像上的点； ③解方程求比例系数； ④写函数解析式。 考点03 反比例函数的图象与性质 3. 画反比例函数的图象的一般步骤： 反比例函数的图象画法的三个步骤进行： ①列表；②描点；③连线。 2. 反比例函数的图象与性质 k的符号 k＞0 k＜0 大致图象 经过象限 一、三象限 二、四象限 增减性 每一支上随的增大而减小 每一支上随的增大而增大 3. 反比例函数的对称性： 反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。 ①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为原点，反比例函数与正比例函数的两个交点一定关于原点对称。 ②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的，则函数的对称轴是一三限的角平分线；若反比例函数的，则对称轴是二四限的角平分线。 考点04 反比例函数k的几何意义 1. k的几何意义： 图① 图② ①如图①，在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到的三角形的面积等于。 推广：在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例函数图象上的点与垂足点得到的三角形的面积都是。 ②如图②，在反比例函数图象上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面积为。 推广：在反比例函数图象上任找一点作坐标轴的垂线，在另一坐标轴上任找一段长度与垂线长度相等的线段，与垂线段构成的平行四边形的面积都等于。 考点05 反比例函数与实际问题 1. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图像和性质解决实际问题。 2. 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 3. 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 题型01 判断反比例函数 【典例1】下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2024x﹣1 C． D．xy＝﹣2024 【变式2】下列函数：①y＝x﹣2，②y，③y＝x﹣1，④y，y是x的反比例函数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型02 根据反比例函数的定义求值 【典例1】函数数是反比例函数，则m＝　 ． 【变式1】如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．±1 【变式2】已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 　 　 ． 【变式3】已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则m＝　 　 ． 题型03 待定系数法求反比例函数解析式 【典例1】已知反比例函数y，当x＝2时，y＝3，那么k的值是（　　） A．6 B． C． D．3 【变式1】若一个反比例函数的图象经过点（3，﹣6），则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数y＝x+b的图象经过该反比例函数图象上的点B（2，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）求一次函数图象与x轴的交点C坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，△POC的面积为3，求点P坐标． 题型04 反比例函数的基本性质 【典例1】关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（1，5）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【变式1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．x＞0时，y随x的增大而减小 B．当1＜x＜6时，1＜y＜6 C．当x≤﹣1时，y有最大值为﹣6 D．它的图象位于第一、三象限 【变式2】反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而增大．则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【变式3】已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3　 ． 【变式4】如果反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 题型05 反比例函数的图象及图象共存 【典例1】函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3】二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型06 反比例函数图象上的点 【典例1】若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【变式1】P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1，y2大小不确定 【变式2】已知点A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3从小到大的顺序为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【变式3】已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜x3，则下列结论一定正确的是（　　） A．若x1x3＜0，则y1＜y3＜y2 B．若x1x3＜0，则y2＜y1＜y3 C．若x1x2＞0，则y3＜y2＜y1 D．若x1x2＜0，则y1＜y3＜y2 题型07 反比例函数k的几何意义 【典例1】如图，已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB＝1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．2 【变式1】如图所示，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分A，C两点，则矩形OABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则k2﹣k1的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 【变式4】如图，▱ABCD的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且▱ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【变式5】如图，A、B两点在双曲线y上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．无法确定 【变式6】如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B，D在反比例函数的图象上，若▱ABCD的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型08 反比例函数与实际问题 【典例1】为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝600x B． C． D．y＝x+600 【变式1】计划修建铁路1200km，则铺轨天数y（d）与平均每天铺轨量x（km/d）之间的函数关系式是（　　） A．y＝1200x B． C．y＝1200+x D．y＝1200﹣x 【变式2】充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强p（kPa）与气体体积V（m3）是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（　　） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由100kPa减压到80kPa，则气体体积增加了0.24m3 D．若气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于0.64m3 【变式3】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm 【变式4】某农场经过前期调研得知，他们培育的一种新品种蔬菜有30天的上市时间，蔬菜的出场产量y1（kg）随上市时间x（天）的函数关系满足y1＝﹣2x2+64x，销售价格y2（元/kg）随上市时间x（天）的函数关系满足y22（0＜x≤30）． （1）求蔬菜上市第3天时的出场产量及销售价格； （2）若每天出场的蔬菜都能按当天的销售价格y2（元/kg）销售完，那么蔬菜上市第几天的销售额最高？最高是多少元？（销售额＝销售价格×销售量） 【变式5】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）第10分钟时消毒效果为　 　 效力； （2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【变式6】某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤．已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1与踏板上人的质量m之间满足一次函数关系，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为8V，定值电阻R0的阻值为30Ω，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m． 知识小链接：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求出R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式； （2）当电压表显示的读数为1.5V时，求出对应测重人的质量． 【变式7】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a （1）表格中a的值是 　 　 ； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 题型09 反比例函数与一次函数的不等式 【典例1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【变式1】如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象交于A（1，m），B（4，n）两点，则关于x的不等式kx+b解集是（　　） A．x＜0或1＜x＜4 B．x＜1或x＞4 C．0＜x＜1或x＞4 D．1＜x＜4 【变式2】如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（1，0），与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是　 ． 题型10 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】已知直线y＝﹣2x与双曲线的一个交点为（﹣1，2），则它们另一个交点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 【变式1】如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D．下列结论错误的是（　　） A． B．△BOC与△AOD的面积相等 C．△COD的面积是 D．当1≤x≤4时，y1≥y2 【变式2】如图，直线y＝2x﹣3与反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）若点P是x轴上一点，且S△AOP＝2S△AOB，求出点P的坐标． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 【变式4】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（m，﹣4），B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且S△ABC＝6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接BC，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $