第二十六章 反比例函数（高效培优单元测试·强化卷）数学人教版九年级下册

第二十六章 反比例函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面几组量不成反比例的是（　　） A．路程一定，时间和速度 B．长方形面积一定，长和宽 C．圆周长一定，圆的直径和圆周率 D．比的前项一定，比的后项和比值 2．若反比例函数y图象在各个象限内y随着x的增大而增大，则m满足（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2 3．已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣2，﹣6） D．（6，2） 4．如图，反比例函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 6．如图，点A为反比例函数y图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 7．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A）、电阻R（单位：Ω）与电压U（单位：V）的关系式：U＝IR，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A 8．已知函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列选项中正确的是（　　） A．y3＜y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1＜y3 C．y3＜0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0＜y3 9．如图所示，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当时，x的取值范围为（　　） A．0＜x＜2或x＞6 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．x＜0或2＜x＜6 10．如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表： x（cm） …… 10 15 20 25 30 …… y（N） …… 45 30 22.5 18 15 …… 下列说法不正确的是（　　） A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图 B．y与x的函数关系式为 C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 11．如图，过反比例函数的图象上点A，作x轴的垂线AB，垂足为B，C是x轴上一点（点C在点B右侧）以AB，BC为邻边作矩形ABCD，连接AC与BD交于点E，若点E在反比例函数的图象上，且S矩形ABCD＝10，则k的值为（　　） A．10 B． C． D．5 12．如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　） A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则（m﹣2）2023＝　 　 ． 14．反比例函数的图象在第 　 　 象限． 15．一个用电器的电阻是可调节的，其调节范围为110～220Ω．已知电压为220V，则这个用电器功率的范围是　 　 W． 16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．反比例函数的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．当n＞﹣2时，m的取值范围为　 　 ． 17．已知点A（a，b）是反比例函数y图象上的任意一点，连接AO并延长交反比例函数图象于点C．现有以下结论：①点（﹣a，﹣b）一定在反比例函数y的图象上；②过点A作AE⊥x轴于E，S△AOEk；③分别过点A，C作AC的垂线交反比例函数y图象于点B，D，则四边形ABCD是平行四边形；④若点B，D在反比例函数y的图象上，且CD＝AB，则四边形ABCD为平行四边形．其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号） 18．如图，在反比例函数y（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…，Pn等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+S2025＝ 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）已知y＝y1+y2，y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数．且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣2时，．求y关于x的函数关系式． 20．（8分）已知A＝（）． （1）化简A； （2）若点P（a，a+2）在反比例函数的图象上，求A的值． 21．（8分）如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G＝10N．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是x（cm），弹簧秤的示数是y（N）．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即G•d＝y•x） （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数y的最小值． 22．（8分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm，AB＝3cm，OB＝2cm． （1）求反比例函数解析式； （2）连接OA、OC，求△OAC的面积． 23．（10分）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点A（m，3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）C是线段AB上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？ 24．（10分）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E． （1）当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标． （2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想． 25．（10分）如图已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A（m，3）． （1）m的值为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）对于反比例函数，当y＜﹣1时，写出x的取值范围　 　 ； （3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点B是否落在反比例函数上． 26．（12分）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段AB表示距离水平面（x轴）高度为20m的平台（点A在y轴上），滑道BC可以看作是反比例函数图象的一部分，点B到y轴的距离是4m，点C到水平面的距离为5m，滑道CD可以看作是二次函数图象的一部分，最高点到y轴的距离是25m，到水平面的距离是9m． （1）求滑道BC的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求滑道CD的函数解析式及自变量x的取值范围； （3）在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面8m时，所滑过的水平距离为　 　 （直接写出所有可能的结果）． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 反比例函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面几组量不成反比例的是（　　） A．路程一定，时间和速度 B．长方形面积一定，长和宽 C．圆周长一定，圆的直径和圆周率 D．比的前项一定，比的后项和比值 【答案】C 【解答】解：A、路程＝速度×时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意； B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意； C、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意； D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．若反比例函数y图象在各个象限内y随着x的增大而增大，则m满足（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大， ∴m+2＜0， m＜﹣2． 故选：A． 3．已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（　　） A．（﹣2，6） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣2，﹣6） D．（6，2） 【答案】C 【解答】解：∵直线y＝ax（a≠0）与双曲线的图象均关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标与（2，6）关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标为：（﹣2，﹣6）． 故选：C． 4．如图，反比例函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵k＝4，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限； ∴在每个象限内，y随x的增大而减小． 故选：D． 5．若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等得：3×（﹣5）＝（m+1）×（﹣3）， 解得m＝4， 故选：A． 6．如图，点A为反比例函数y图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 【答案】D 【解答】解：连接OA， ∵AB⊥y轴， ∴AB∥x轴， ∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3， ∴k＝6或k＝﹣6， ∵在第二象限， ∴k＝﹣6， 故选：D． 7．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A）、电阻R（单位：Ω）与电压U（单位：V）的关系式：U＝IR，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A 【答案】C 【解答】解：设I， ∵图象过（4，9）， ∴U＝36， ∴I，故选项A不正确，不符合题意； 当I≤10A时，R≥3.6Ω，选项C正确，符合题意； 当R＝6Ω时，I＝6A，选项D不正确，不符合题意； 蓄电池的电压不一定是18V，故选项B不正确，不符合题意； 故选：C． 8．已知函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列选项中正确的是（　　） A．y3＜y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1＜y3 C．y3＜0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0＜y3 【答案】C 【解答】解：当k＜0时， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限， ∵函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3， ∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第二象限，点A3（x3，y3）在第四象限， ∴y1＞0，y2＞0，y3＜0， 又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴y2＞y1＞0＞y3． 当k＞0时， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限， ∵函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3， ∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第三象限，点A3（x3，y3）在第一象限， ∴y1＜0，y2＜0，y3＞0， 又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴y2＜y1＜0＜y3． 故选：C． 9．如图所示，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当时，x的取值范围为（　　） A．0＜x＜2或x＞6 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．x＜0或2＜x＜6 【答案】A 【解答】解：由图象可知，当k1x+b时，x的取值范围为0＜x＜2或x＜6， 故选：A． 10．如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表： x（cm） …… 10 15 20 25 30 …… y（N） …… 45 30 22.5 18 15 …… 下列说法不正确的是（　　） A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图 B．y与x的函数关系式为 C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 【答案】C 【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数． 所以设y（k≠0）， 把x＝10，y＝45代入求得k＝450， ∴y， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为y（x＞0）， 把y＝12.5代入y，得x＝36， ∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm， 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小． 故选：C． 11．如图，过反比例函数的图象上点A，作x轴的垂线AB，垂足为B，C是x轴上一点（点C在点B右侧）以AB，BC为邻边作矩形ABCD，连接AC与BD交于点E，若点E在反比例函数的图象上，且S矩形ABCD＝10，则k的值为（　　） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【解答】解：设， 由条件可知， ∴BC＝OC﹣OB＝c﹣a， ∵四边形形ABCD是矩形，AC与BD交于点E， ∴E为AC的中点， ∴， S矩形ABCD＝10， ∴AB•BC＝10， ∴， 由条件可知， ∴c＝3a， ∴， ∴k＝5， 故选：D． 12．如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　） A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13 【答案】C 【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF， 由条件可知， ∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴， ∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH， 由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等， ∴AB∥FH， ∴四边形DHFB为平行四边形， ∴BF＝DH， ∵AH∥x轴， ∴∠DAH＝∠BCF， ∵∠AHD＝∠CFB＝90°， ∴△AHD≌△CFB（AAS）， ∴AD＝BC， 在△EKD和△AHD中， ， ∴△EKD≌△AHD（AAS）， ∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED， ∵AB＝3BC， ∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1， ∴， ∴， ∵AG∥y轴， ∴， ∴， ∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1， ∴S△EKD＝S△AHD＝1， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴k2＝﹣12， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则（m﹣2）2023＝　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：因为y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数， 所以， 解得， 所以m＝2， 所以（m﹣2）2023＝（2﹣2）2023＝0． 故答案为：0． 14．反比例函数的图象在第 　一、三　 象限． 【答案】一、三． 【解答】解：反比例函数y中， ∵2＞0， ∴该函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三． 15．一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω．已知电压为220V，则这个用电器功率的范围是　220～440　 W． 【答案】220～440． 【解答】解：根据物理中电学知识可知，当电压为220V时， ∵2202＞0， ∴P随R的增大而减小， 当R＝110时，P＝440；当R＝220时，P＝220， ∴用电器功率的范围是220～440W， 故答案为：220～440． 16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．反比例函数的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．当n＞﹣2时，m的取值范围为m＞0或m＜﹣1　 ． 【答案】m＞0或m＜﹣1． 【解答】解：∵y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣2， ∴直线经过平面内一个定点A（﹣1，﹣2）， 由条件可知b＝﹣1×（﹣2）＝2； 即， 若点P（m，n）在第一象限，当n＞﹣2时，m＞0， 若点P（m，n）在第三象限，当n＞﹣2时，m＜﹣1， 综上，当n＞﹣2时，m＞0或m＜﹣1， 故答案为：m＞0或m＜﹣1． 17．已知点A（a，b）是反比例函数y图象上的任意一点，连接AO并延长交反比例函数图象于点C．现有以下结论：①点（﹣a，﹣b）一定在反比例函数y的图象上；②过点A作AE⊥x轴于E，S△AOEk；③分别过点A，C作AC的垂线交反比例函数y图象于点B，D，则四边形ABCD是平行四边形；④若点B，D在反比例函数y的图象上，且CD＝AB，则四边形ABCD为平行四边形．其中正确的是 　①③　 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③． 【解答】解：①∵点A（a，b）在反比例函数y图象上， ∴k＝ab， 将点（﹣a，﹣b）代入函数解析式y得，k＝ab， ∴点（﹣a，﹣b）在反比例函数y图象上，故①正确，符合题意； ②当k＜0时，k＜0， ∵S△AOE＞0， ∴S△AOEk不成立，故②错误，不符合题意； ③由反比例函数的对称性得，OA＝OC， ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴AB∥CD，∠OAB＝∠OCD＝90°， ∴∠ABO＝∠CDO， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确，符合题意； ④∵反比例函数图象一支上到点A的距离为定值（不为零）的点有两个， ∴当点B，D在反比例函数y的图象上且CD＝AB时，四边形ABCD不一定为平行四边形，故④错误，不符合题意； 故答案为：①③． 18．如图，在反比例函数y（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…，Pn等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+S2025＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知阴影矩形的一边长都为1，如图： 由题意得：P1D⊥y轴，P1C⊥x轴，P2025A⊥y轴，交P1C于点B， 将面积为S2，S3，•••，S2025的矩形向左平移到S1下方，则有： ， 当x＝2026时，y，即OA， ∴S矩形OABC＝OA•OC， 根据反比例函数k值的几何意义得：， S阴影＝S矩形DABP1＝S矩形OCP1D﹣S矩形OABC＝1， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）已知y＝y1+y2，y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数．且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣2时，．求y关于x的函数关系式． 【答案】． 【解答】解：∵y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数，y＝y1+y2， ∴设y1＝kx，，则， ∵x＝1时，y＝﹣1；x＝﹣2时，， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 20．（8分）已知A＝（）． （1）化简A； （2）若点P（a，a+2）在反比例函数的图象上，求A的值． 【答案】（1）a2+2a﹣1； （2）2． 【解答】解：（1）A＝（） ＝a+1+（a+2）（a﹣1） ＝a+1+a2+2a﹣a﹣2 ＝a2+2a﹣1； （2）点p（a，a+2）在反比例函数y的图象上， ∴a（a+2）＝3 即a2+2a﹣3＝0， （a﹣1）（a+3）＝0， ∴a＝1或a＝﹣3． 当a＝1时，A＝2， 当a＝﹣3时，A＝2， ∴A的值为2． 21．（8分）如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G＝10N．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是x（cm），弹簧秤的示数是y（N）．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即G•d＝y•x） （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数y的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意设，把x＝25，y＝10代入，得k＝25×10＝250， ∴y关于x的函数解析式为． （2）k＝250＞0，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是50cm， ∵x＞0， ∴y随x的增大而减小， ∴把xmax＝50代入，得ymin＝5， ∴弹簧秤的示数y的最小值为5N． 22．（8分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm，AB＝3cm，OB＝2cm． （1）求反比例函数解析式； （2）连接OA、OC，求△OAC的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题意可知A（2，3），D（4，0）， 将A点坐标代入中，得：， ∴k＝6， ∴双曲线的解析式为； （2）∵OB＝2cm，直尺的宽度为2cm， ∴D（4，0）， 把x＝4代入，得， ∴， ∵，， ∴S△OAC＝S△AOB+S梯形ABCD﹣S△COD＝S梯形ABDC． 23．（10分）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点A（m，3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）C是线段AB上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）当a＝1时，△BCD的面积最大，这个最大值是． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得m＝8， ⸫点A（8，3）， ⸪反比例函数图象过点A（8，3）， ⸫k＝8×3＝24， ⸫反比例函数的表达式为； （2）∵点C的横坐标为a，CD∥y轴交反比例函数的图象于点D， ∴，， ∴， 则△BCD的面积为 ， ⸪， ⸫当a＝1时，△BCD的面积最大，这个最大值是． 24．（10分）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E． （1）当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标． （2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）E点坐标为（，1）； （2）结论：AE＝DF．证明见解析部分． 【解答】解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y＝k1x，y，把P（2，3）分别代入得k1，k2＝6， ∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为yx，y， 又∵点D的纵坐标为9， ∴对于yx，令y＝9，得9x，解得x＝6， ∴D点坐标为（6，9）， ∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴， ∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6， ∵点A与点F在反比例y的图象上， ∴把y＝9代入y得x，把x＝6代入y得y＝1， ∴A点坐标为（，9），F点坐标为（6，1）， 又∵AB⊥x轴， ∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为， 而点E在直线yx上，把x代入yx得y＝1， ∴E点坐标为（，1）； （2）结论：AE＝DF．理由如下： 设D点坐标为（a，a）， 则A点的纵坐标为a，点F的横坐标为a， 把ya代入y得x，把x＝a代入y得y， ∴A点坐标为（，a），F点坐标为（a，）， ∴DFa； 又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为， 而点E在直线yx上，把x代入yx得y， ∴E点坐标为（，） ∴AEa， ∴AE＝DF． 25．（10分）如图已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A（m，3）． （1）m的值为　2　 ，k的值为　6　 ； （2）对于反比例函数，当y＜﹣1时，写出x的取值范围x＜﹣6　 ； （3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点B是否落在反比例函数上． 【答案】（1）2，6；（2）x＜﹣6；（3）点B（5，1）不在反比例函数图象上． 【解答】解：（1）∵点A（m，3）在一次函数图象上， ∴3m，解得m＝2， ∴A（2，3）， ∵点A（2，3）在反比例函数的图象上， ∴k＝6． 故答案为：2，6； （2）对于反比例函数，当y＜﹣1时， 即1， ∴x＜﹣6， ∴x的取值范围为x＜﹣6， 故答案为：x＜﹣6． （3）如图，作AM⊥y轴，垂足为M，BN⊥AM交MA的延长线于点N， 在△OMA和△ANB中， ， ∴△OMA≌△ANB（AAS）， ∴OM＝AN＝3，AM＝NB＝2， ∴B（5，1）， 在反比例函数y中，当x＝5时，y1， ∴点B（5，1）不在反比例函数图象上． 26．（12分）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段AB表示距离水平面（x轴）高度为20m的平台（点A在y轴上），滑道BC可以看作是反比例函数图象的一部分，点B到y轴的距离是4m，点C到水平面的距离为5m，滑道CD可以看作是二次函数图象的一部分，最高点到y轴的距离是25m，到水平面的距离是9m． （1）求滑道BC的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求滑道CD的函数解析式及自变量x的取值范围； （3）在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面8m时，所滑过的水平距离为　6m或16.5m或25.5m （直接写出所有可能的结果）． 【答案】（1）滑道BC的函数解析式为y（4≤x≤16）；（2）滑道CD的函数解析式为y（x﹣25）2+9（16≤x≤38.5）；（3）6m或16.5m或25.5m． 【解答】解：（1）由题意得，B（4，20）， 设滑道BC的函数解析式为y（k≠0）， ∴k＝4×20＝80． ∴滑道BC的函数解析式为y． 又∵点C到水平面的距离为5m， ∴令y5，则x＝16． ∴C（16，5）． ∴自变量x的取值范围为4≤x≤16． （2）由题意得，滑道CD的顶点为（25，9）， ∴可设滑道CD的函数解析式为y＝a（x﹣25）2+9． 又∵C（16，5）， ∴5＝a（16﹣25）2+9． ∴a． ∴滑道CD的函数解析式为y（x﹣25）2+9． ∴令y＝0，则：． ∴x＝38.5或x＝11.5． 由于点D在点C右侧（x＞16）， ∴D（38.5，0）． ∴自变量x的取值范围是16≤x≤38.5． （3）由题意，分两种情形讨论． ①当滑在BC段（4≤x≤16）： 令y＝8，代入得，， ∴x＝10． ∴水平距离为10﹣4＝6（m）． ②滑在CD段（16≤x≤38.5）： 令y＝8，代入得， ∴x＝29.5或x＝20.5，均满足16≤x≤38.5． ∴此时水平距离分别为：29.5﹣4＝25.5（m），20.5﹣4＝16.5（m）． 综上，所滑过的水平距离为6m或16.5m或25.5m． 故答案为：6m或16.5m或25.5m． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $