专题26.3 反比例函数的图象与性质（2）（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题26.3 反比例函数的图象与性质（2） 教学目标 1. 掌握反比例函数k的几何意义，并能够在题目中熟练应用其解决相关题目。 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数k的几何意义。 2. 难点 （1）利用k的几何意义求面积； （2）根据面积求反比例函数的k； （3）反比例函数与一次函数的综合问题。 知识点02 反比例函数k的几何意义 1. k的几何意义： 图① 图② ①如图①，在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到的三角形的面积等于 。 推广：在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例函数图象上的点与垂足点得到的三角形的面积都是 。 ②如图②，在反比例函数图象上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面积为 。 【即学即练1】 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【即学即练2】 2．如图，过反比例函数上一点A作AB⊥x轴于B．若S△ABO＝6，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12 【即学即练3】 3．如图点P是反比例函数图象上一点，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，那么四边形PCOD的面积为（　　） A．2 B．1 C． D． 【即学即练4】 4．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C在x轴上，E为边AC上的点．若S△BOE＝3，则k的值为（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．12 【即学即练5】 5．已知直线y＝﹣2x与双曲线的一个交点为（﹣1，2），则它们另一个交点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 【即学即练6】 6．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（1，0），与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是　 ． 题型01 利用反比例函数的k求图形面积 【典例1】如图，直线AB平行于y轴，且分别与反比例函数、的图象交于点A、B，则△ABO面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式2】如图：A，B是函数y的图象上关于原点O点对称的任意两点，AC垂直于x轴于点C，BD垂直于x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（　　） A．S＝2 B．2＜S＜4 C．S＝4 D．S＞4 【变式3】如图，A、B两点在双曲线y上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．无法确定 【变式4】如图，反比例函数与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝4，OC＝8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．若S1+S2＝8，则△ODE的面积为（　　） A．12 B．15 C． D．30 题型02 根据图形面积求反比例函数的k 【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　） A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5 【变式1】如图，点A是反比例函数图象上一点，点B是反比例函数图象上一点，点C在x轴上，若AB∥x轴，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2】如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则k2﹣k1的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，AB∥x轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣12 D．12 【变式4】如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，k＞0）的图象经过点D，交BC于点E，CE＝2BE，记△ADE的面积为s，若，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 题型03 反比例函数与一次函数的不等式 【典例1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【变式1】如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象交于A（1，m），B（4，n）两点，则关于x的不等式kx+b解集是（　　） A．x＜0或1＜x＜4 B．x＜1或x＞4 C．0＜x＜1或x＞4 D．1＜x＜4 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2的图象交于点A（﹣1，﹣2）、B（2，n）．则不等式kx+b的解集为（　　） A．x＞2 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 【变式3】如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点B的横坐标为3，当0＜y2＜y1时，x的取值范围是（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 题型04 反比例函数与一次函数的交点 【典例1】如图，直线y＝2x+4交双曲线于A，B两点，交y轴于点C，过点C作y轴的垂线，交双曲线于点D，连接AD，BD，则△ABD的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】如图，正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为11，则k2的值为（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 【变式2】如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D．下列结论错误的是（　　） A． B．△BOC与△AOD的面积相等 C．△COD的面积是 D．当1≤x≤4时，y1≥y2 【变式3】如图，一次函数y＝kx+3（k＞1）的图象过点A（1，a），，若反比例函数的图象与线段AB只有一个交点，则m的值不可能为（　　） A． B． C．3 D．4 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC的面积为2，则k＝2 D．若点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1 2．如图，点P是反比例函数y（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角边AB与反比例函数的图象交于点C，若点C为AB的中点，△ABO的面积为4，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 6．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，3）也在此函数的图象上，则a＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，已知双曲线经过等腰三角形ABO顶角的顶点A，过x轴上一点B作x轴的垂线交双曲线于点C，连接OC，若△ABO的面积为12，则△BOC的面积为（　　） A．6 B．7 C．12 D．21 8．已知反比例函数与一次函数y＝x+3的图象在第一象限交于点A，一次函数y＝x+3与y轴交于点B，若S△OAB＝3，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象分别交于M，N两点．根据图象信息，可得关于x的不等式的解集为（　　） A．x≥1 B．﹣3≤x＜0或x≥1 C．x≤﹣3 D．x≤﹣3或﹣3≤x≤0 10．如图过点O的两条直线分别交双曲线y于点A，C，交双曲线y于点B，D，现有以下结论：①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 11．如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 　 ． 12．如图，点A在双曲线上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C．若BC＝2AC，△AOB的面积为6，则k的值为 　 　 ． 13．如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，AB∥x轴，交y轴于点P．点Q是x轴上的动点，连结QA、QB，取QB的中点C，连结PC．若四边形APCQ的面积为7，则k的值为 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　 　 ． 15．如图，一次函数y＝x与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点An的坐标为 　 　 ． 16．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E． （1）由图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证； （2）若四边形OCED的面积为2，求k的值． 17．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在y轴正半轴上，矩形ABCD的面积为8，且D（2，5），E为CD的中点．反比例函数的图象经过点E． （1）求k的值； （2）观察图象，当时，直接写出x的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 19．已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数y＝x+b的图象经过该反比例函数图象上的点B（2，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）求一次函数图象与x轴的交点C坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，△POC的面积为3，求点P坐标． 20．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象相交于A（1，n），B（﹣2，﹣1）两点，与y轴相交于点C． （1）求反比例函数表达式和n的值． （2）观察图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围． （3）已知点，作直线CM，将直线CM向上平移b（b＞0）个单位长度后，与双曲线有唯一交点，求b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 反比例函数的图象与性质（2） 教学目标 1. 掌握反比例函数k的几何意义，并能够在题目中熟练应用其解决相关题目。 教学重难点 1. 重点 （1）反比例函数k的几何意义。 2. 难点 （1）利用k的几何意义求面积； （2）根据面积求反比例函数的k； （3）反比例函数与一次函数的综合问题。 知识点02 反比例函数k的几何意义 1. k的几何意义： 图① 图② ①如图①，在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到的三角形的面积等于 。 推广：在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例函数图象上的点与垂足点得到的三角形的面积都是 。 ②如图②，在反比例函数图象上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面积为 。 【即学即练1】 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，x轴⊥y轴， ∴四边形ACOB是矩形，BC是矩形的对角线， ∴矩形ACOB的面积是△ABC的面积的二倍， 即， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴S矩形ACOB＝8， ∴S△ABC＝4， 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，过反比例函数上一点A作AB⊥x轴于B．若S△ABO＝6，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12 【答案】D 【解答】解：∵AB⊥x， ∴S△AOB＝丨k丨＝6， ∴k＝±12， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣12． 故选：D． 【即学即练3】 3．如图点P是反比例函数图象上一点，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，那么四边形PCOD的面积为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，∵点P是反比例函数图象上一点， ∴可设P（m，）． ∴OC＝m，PC． ∴四边形PCOD的面积＝OC•PC． 故选：C． 【即学即练4】 4．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C在x轴上，E为边AC上的点．若S△BOE＝3，则k的值为（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【解答】解：∵S△BOE＝3， ∴OB•OC＝3， ∴OB•OC＝6， ∴矩形ABOC的面积为6， ∵矩形ABOC的面积＝|k|， ∴k＝6， 故选：C． 【即学即练5】 5．已知直线y＝﹣2x与双曲线的一个交点为（﹣1，2），则它们另一个交点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵两个函数的一个交点为（﹣1，2），且两图象的交点关于原点对称， ∴它们另一个交点坐标是（1，﹣2）， 故选：C． 【即学即练6】 6．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（1，0），与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是　﹣2＜x＜0　 ． 【答案】﹣2＜x＜0． 【解答】解：由条件可得， ∴反比例函数解析式为， 把y＝2代入，得， ∴x＝﹣2， ∴C（﹣2，2）， ∴不等式组的解集是﹣2＜x＜0， 故答案为：﹣2＜x＜0． 题型01 利用反比例函数的k求图形面积 【典例1】如图，直线AB平行于y轴，且分别与反比例函数、的图象交于点A、B，则△ABO面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：如图，令直线AB交x轴于D， 由条件可知，， ∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝3﹣2＝1， 故选：A． 【变式1】如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接AO，BO， ∵AB∥x轴， ∴S△APB＝1+3＝4， 故选：C． 【变式2】如图：A，B是函数y的图象上关于原点O点对称的任意两点，AC垂直于x轴于点C，BD垂直于x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（　　） A．S＝2 B．2＜S＜4 C．S＝4 D．S＞4 【答案】C 【解答】解：∵A，B是函数y的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC垂直于x轴于点C，BD垂直于x轴于点D， ∴S△AOC＝S△BOD2＝1， 假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y）， 则OC＝OD＝x， ∴S△AOD＝S△AOC＝1，S△BOC＝S△BOD＝1， ∴四边形ADBC面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝4． 故选：C． 【变式3】如图，A、B两点在双曲线y上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝（　　） A．4 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：根据题意得S1+S阴影＝S2+S阴影＝4， 所以S1＝S2， 而S1+S2＝6， 所以S1＝3， 所以S阴影＝4﹣3＝1． 故选：C． 【变式4】如图，反比例函数与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝4，OC＝8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．若S1+S2＝8，则△ODE的面积为（　　） A．12 B．15 C． D．30 【答案】B 【解答】解：∵四边形OABC是长方形，OA＝4，OC＝8， ∴∠BAO＝∠BCO＝∠B＝90°，BC＝OA＝4，AB＝OC＝8， ∴BA⊥y轴，BC⊥x轴， ∵反比例函数与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2，S1+S2＝8， ∴，， ∴， 解得：k＝8， ∴，，即S1＝4，S2＝4， ∴，， ∴AD＝2，EC＝1， ∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，BE＝BC﹣EC＝4﹣1＝3， ∴ ∴S△ODE＝S长方形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE， ＝OA•OC﹣S1﹣S2﹣S△BDE ＝4×8﹣4﹣4﹣9 ＝32﹣4﹣4﹣9 ＝15． ∴△ODE的面积为15． 故选：B． 题型02 根据图形面积求反比例函数的k 【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　） A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5 【答案】C 【解答】解：连接OA， ∵AB⊥y， ∴AB∥OP， ∴S△OAB＝S△APB＝5， ∵A在反比例函数的图象上， ∴， ∴|k|＝10， 又∵k＜0， ∴k＝﹣10． 故选：C． 【变式1】如图，点A是反比例函数图象上一点，点B是反比例函数图象上一点，点C在x轴上，若AB∥x轴，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解答】 解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴|﹣2||k|＝3， ∵k＞0， ∴k＝4． 故选：C． 【变式2】如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则k2﹣k1的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：∵点A，B分别在反比例函数和的图象上， 设点A（a，b），B（c，d）， ∴k1＝ab，k2＝cd， ∵， ∴， ∴cd﹣ab＝5， ∴k2﹣k1＝5， 故选：B． 【变式3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，AB∥x轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣12 D．12 【答案】C 【解答】解：如图，延长AB交y轴于点E， ∵点B在双曲线上， ∴S矩形BCOE＝3， ∵矩形ABCD的面积是9， ∴S矩形ADOE＝9+3＝12， ∵点A在双曲线上，且反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣12． 故选：C． 【变式4】如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，k＞0）的图象经过点D，交BC于点E，CE＝2BE，记△ADE的面积为s，若，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：设D（a，），则A（a，0）， ∴OA＝a，BC＝AD， ∵CE＝2BE， ∴BE， ∴E（3a，）， ∴B（3a，0）， ∴AB＝3a﹣a＝2a， ∵ABCD是矩形，△ADE的面积为s， ∴S矩形ABCD＝2s， ∴AB•AD＝2s， ∵， ∴2a2（13）， 整理得k2﹣13k﹣48＝0， 解得k＝16或k＝﹣3， ∵k＞0， ∴k的值为16， 故选：B． 题型03 反比例函数与一次函数的不等式 【典例1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数y2（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：C． 【变式1】如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象交于A（1，m），B（4，n）两点，则关于x的不等式kx+b解集是（　　） A．x＜0或1＜x＜4 B．x＜1或x＞4 C．0＜x＜1或x＞4 D．1＜x＜4 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点， ∴根据还是图象可知当0＜x＜1或x＞4时y1在y2下方， ∴关于x的不等式解集是0＜x＜1或x＞4， 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2的图象交于点A（﹣1，﹣2）、B（2，n）．则不等式kx+b的解集为（　　） A．x＞2 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 【答案】D 【解答】解：由图象得：不等式kx+b的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2． 故选：D． 【变式3】如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点B的横坐标为3，当0＜y2＜y1时，x的取值范围是（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【答案】B 【解答】解：根据反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，可得点A的横坐标是﹣3， 当0＜y2＜y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣3， 故选：B． 题型04 反比例函数与一次函数的交点 【典例1】如图，直线y＝2x+4交双曲线于A，B两点，交y轴于点C，过点C作y轴的垂线，交双曲线于点D，连接AD，BD，则△ABD的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：∵直线y＝2x+4交y轴于点C， ∴当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∵过点C作y轴的垂线，交双曲线于点D， ∴当y＝4时，即， 解得， ∴， ∵直线y＝2x+4交双曲线于A，B两点， ∴， 解得，， ∴A（1，6），B（﹣3，﹣2）， ∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD ＝6． 故选：C． 【变式1】如图，正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为11，则k2的值为（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 【答案】B 【解答】解：由题意，过点A作AH⊥x轴， 由条件可知， ∵AC＝AO， ∴△AOC是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴|k2|＝11， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限， ∴k2＜0， ∴k2＝﹣11． 故选：B． 【变式2】如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D．下列结论错误的是（　　） A． B．△BOC与△AOD的面积相等 C．△COD的面积是 D．当1≤x≤4时，y1≥y2 【答案】C 【解答】解：（1）由y2过点C（1，2）和D（m，）可得：， 解得： ∴y2， 又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（4，）可得：， 解得， ∴y1，A选项正确，不符合题意； 又∵一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B， ∴A坐标为（5，0），B（0，）， 又点C的坐标是C（1，2），D（4，） ∴△BOC的面积1， △AOD的面积， ∴△BOC与△AOD的面积相等，B选项正确，不符合题意； △COD的面积＝△BOA的面积﹣△AOD的面积﹣△BOC的面积5，故C选项错误，符合题意； 由图可知，当1≤x≤4时，y1≥y2正确，D项不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，一次函数y＝kx+3（k＞1）的图象过点A（1，a），，若反比例函数的图象与线段AB只有一个交点，则m的值不可能为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：由题可知，一次函数y＝kx+3（k＞1）的图象过点A（1，a）， ∴a＝k+3， ∴A（1，k+3）， 反比例函数的图象与线段AB只有一个交点， 第一种情况：当反比例函数的图象与线段AB相交于点A时， 可得k+3＝m， ∵k＞1， ∴m＞4， 即当m＞4时，反比例函数与一次函数y＝kx+3（k＞1）没有交点， ∴0＜m≤4， ∵一次函数y＝kx+3（k＞1）的图象过点， ∴， 解得， ∴B， 第二种情况：当反比例函数的图象与线段AB相交于点B时， 可得， 整理可得， ∵k＞1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC的面积为2，则k＝2 D．若点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1 【答案】D 【解答】解：A．由于反比例函数图象在第二象限，因此k＜0，选项A不符合题意； B．由图象可知y随x的增大而增大，选项B不符合题意； C．由|k|＝S矩形OABC＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，选项C不符合题意； D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，选项D符合题意； 故选：D． 2．如图，点P是反比例函数y（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解答】解：∵△POM的面积等于3， ∴|k|＝3， 而图象在第二象限，k＜0， ∴k＝﹣6， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的直角边AB与反比例函数的图象交于点C，若点C为AB的中点，△ABO的面积为4，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴，即|k|＝4， ∵图象在第一象限， ∴k＝4． 故选：A． 4．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S△POA3， ∵点B在反比例函数y的图象上， ∴S△BOA2， ∴S△POB＝S△POA﹣S△BOA＝3﹣2＝1． 故选：D． 5．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】B 【解答】解：由条件可知，， ∴， ∴k2﹣k1＝6； 故选：B． 6．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，3）也在此函数的图象上，则a＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：由条件可知． 又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0， ∴，解得k＝12． ∴反比例函数解析式为． ∵点P（a，3）在上， ∴， 解得a＝4． 故选：B． 7．如图，已知双曲线经过等腰三角形ABO顶角的顶点A，过x轴上一点B作x轴的垂线交双曲线于点C，连接OC，若△ABO的面积为12，则△BOC的面积为（　　） A．6 B．7 C．12 D．21 【答案】A 【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，如图所示： ∵△ABO是等腰三角形，AB＝AO， ∴OD＝BD， 设OD＝BD＝a，AD＝b，BC＝t， ∴OB＝OD+BD＝2a， ∴点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（2a，t）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴k＝ab＝2at， ∴t， ∴BC＝t， ∵△ABO的面积为12， ∴S△ABOOB•AD＝12， ∴2ab＝12， ∴ab＝12， ∴S△BOCOB•BC6． 故选：A． 8．已知反比例函数与一次函数y＝x+3的图象在第一象限交于点A，一次函数y＝x+3与y轴交于点B，若S△OAB＝3，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为反比例函数与一次函数y＝x+3的图象在第一象限交于点A， 所以k＞0． 将x＝0代入y＝x+3得，y＝3， 所以点B的坐标为（0，3）， 则OB＝3． 令点A坐标为（a，a+3）， 因为S△OAB＝3， 所以， 解得a＝2， 则a+2＝5， 所以点A的坐标为（2，5）． 因为点A在反比例函数的图象上， 所以k＝2×5＝10． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象分别交于M，N两点．根据图象信息，可得关于x的不等式的解集为（　　） A．x≥1 B．﹣3≤x＜0或x≥1 C．x≤﹣3 D．x≤﹣3或﹣3≤x≤0 【答案】B 【解答】解：由图象可知：关于x的不等式的解集为﹣3≤x＜0或x≥1． 故选：B． 10．如图过点O的两条直线分别交双曲线y于点A，C，交双曲线y于点B，D，现有以下结论：①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：由反比例函数的对称性可知，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵点A，C在双曲线y，点B，D在双曲线y上， ∴AC与BD可能互相垂直，也可能相等，也能垂直且相等， ∴四边形ABCD可能是菱形和矩形，可能是正方形， 故选项①②③④正确， 故选：D． 11．如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　8　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴， ∵点A在双曲线y上， ∴四边形AEOD的面积为4， ∵点B在双曲线y上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为12， ∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8． 故答案为8． 12．如图，点A在双曲线上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C．若BC＝2AC，△AOB的面积为6，则k的值为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H． ∵AH⊥OC， ∴OB：OH＝BC：AC＝2， ∴S△AOHS△AOB＝3， ∴3， ∴k＝6． 故答案为：6． 13．如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，AB∥x轴，交y轴于点P．点Q是x轴上的动点，连结QA、QB，取QB的中点C，连结PC．若四边形APCQ的面积为7，则k的值为 　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【解答】解：连接OB，OA，PQ， 由条件可知△BOP的面积为， 则△BQP的面积为， ∵四边形APCQ的面积为7， ∴△APQ的面积为7﹣S△CPQ＝4， ∴， ∴， ∴k＝±8， ∵k＜0， ∴k＝﹣8． 故答案为：﹣8． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D， ∵AC＝AO， ∴CD＝DO， ∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵S△ABC＝12， ∴S△AOC6， ∴S△AODS△AOC|k|， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 15．如图，一次函数y＝x与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点An的坐标为 　（，）　 ． 【答案】（，）． 【解答】解：如图，过点A、A1、A2、A3…分别作AC⊥x轴，A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴…，垂足分别为C、C1、C2、C3…..． ∵直线OA的关系式为y＝x，OA⊥AB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OC＝AC， 同理可得△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形， 设OC＝a＝AC， 则点A（a，a），点A在反比例函数的图象上， ∴a×a＝1， 解得：a＝1（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设A1C1＝b， 则点A1（2+b，b），点A1在反比例函数的图象上， ∴（2+b）×b＝1， 解得：b1， ∴点A1的横坐标为211 设B1C2＝c＝A2C2， 则点A2（2c，c），点A2在反比例函数的图象上， ∴（2c）×c＝1， 解得：c， ∴点A2（，）； 同理可得：点A3（，（）； 点A4（，）； 点A5（，）； …..． ∴点An为：（，）； 故答案为：（，）． 16．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E． （1）由图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证； （2）若四边形OCED的面积为2，求k的值． 【答案】（1）y1＞y2，验证：见解答 （2）﹣6． 【解答】解：（1）y1＞y2， 验证如下： 由反比例函数的图象可知k＜0， 当x＝﹣6时，；当x＝﹣2时，， ∵，k＜0， ∴y1﹣y2＞0， 即y1＞y2； （2）由条件可知四边形OCED是矩形， ∴OD•OC＝2， ∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）， ∴OC＝2，OD＝y2， ∴2y2＝2， 解得y2＝1， ∴B（﹣6，1）， 将点B（﹣6，1）代入得：k＝﹣6×1＝﹣6． 17．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在y轴正半轴上，矩形ABCD的面积为8，且D（2，5），E为CD的中点．反比例函数的图象经过点E． （1）求k的值； （2）观察图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由条件可知， ∴点C（2，1）， 由中点可知点，即点E（2，3）， ∴k＝2×3＝6． （2）联立解析式得： 解得：，， 如图： 由图象可知：当0＜x＜2时，． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 【答案】（1）点D的坐标为（2，2），k的值为4； （2）1． 【解答】解：（1）由题知， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， ∴点B的坐标为（4，2）． ∵D为BC的中点， ∴点D的坐标为（2，2）． 将点D坐标代入得， k＝2×2＝4， ∴k的值为4； （2）由（1）知， 反比例函数解析式为y， 将x＝4代入y得， y＝1， ∴点E的坐标为（4，1）． 令直线DE的函数解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线DE的函数解析式为y． 由得， x＝6， ∴点F的坐标为（6，0）， ∴． 19．已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数y＝x+b的图象经过该反比例函数图象上的点B（2，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）求一次函数图象与x轴的交点C坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，△POC的面积为3，求点P坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）C（1，0）； （3）或． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）由（1）可知：反比例函数为， 又∵B（2，m）在反比例函数的图象上， ∴，即B（2，1）． ∵B（2，1）在一次函数y＝x+b的图象上， ∴2+b＝1，解得：b＝﹣1， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣1， 令y＝0，则有x﹣1＝0， ∴x＝1， ∴C（1，0）； （3）由题意，设点，由（2）可知：OC＝1， ∴， ∴或， ∴或． 20．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象相交于A（1，n），B（﹣2，﹣1）两点，与y轴相交于点C． （1）求反比例函数表达式和n的值． （2）观察图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围． （3）已知点，作直线CM，将直线CM向上平移b（b＞0）个单位长度后，与双曲线有唯一交点，求b的值． 【答案】（1），n＝2； （2）﹣2＜x＜0或x＞1； （3）b＝3． 【解答】解：（1）将点A（1，n）代入一次函数解析式得， n＝1+1＝2， 则点A坐标为（1，2）． 将点A坐标代入反比例函数得， k＝2， 所以反比例函数表达式； （2）由函数图象可知， 当﹣2＜x＜0或x＞1，一次函数的图象位于反比例函数图象上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1； （3）当x＝0时，y1＝0+1＝1， 所以点C的坐标为（0，1）． 设直线CM表达式为y＝ax+c， 则， 解得， 所以直线CM表达式为y＝﹣2x+1， 将直线CM向上平移b（b＞0）个单位长度后表达式为y＝﹣2x+1+b， 因为反比例函数图象与平移后直线y＝﹣2x+1+b有唯一交点， 所以方程有两个相等的实数根， 整理得，2x2﹣（1+b）x+2＝0， 所以（1+b）2﹣4×2×2＝0， 解得b1＝3，b2＝﹣5（不合题意，舍去）， 所以b＝3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $