专题 3.4 一元一次不等式的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 3.4 一元一次不等式的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 （一）新知识引入： 1 （二）用一元一次方程解决问题的一般过程： 2 【题型1】用一元一次不等式解决营销问题 2 【题型2】用一元一次不等式解决方案设计问题 3 【题型3】用一元一次不等式解决最值问题 4 【题型4】用一元一次不等式解决分配问题 5 【题型5】用一元一次不等式解决行程问题 6 【题型6】用一元一次不等式解决工程问题 8 【题型7】用一元一次不等式解决比赛积分问题 9 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题 9 二. 同步练习​ 10 【基础巩固（12题）】 10 【能力提升（12题）】 12 一．知识梳理与题型分类精析 （一）新知识引入： 【情景问题】一部电梯的额定限载量为1000千克。两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，货物每箱的质量为50千克。问：若两人一起乘梯，则每次最多搬运货物多少箱? 建议讨论下列问题： （1）选择哪一种数学模型?是列方程，还是列不等式? （2）问题中有哪些相等的数量关系和不等的数量关系? 【分析】 （1）题目要求“最多搬运多少箱”，即需要求最大整数，属于限制条件下的最大制问题，因此选择列不等式的数学模型。 （2）问题中相等的数量关系：每箱货物质量固定为50kg，两人体重分别为60kg和80kg，总和固定为140kg。问题中的不等数量关系：总重量（货物+体重）1000kg. 通过以上的分析：我们得到了应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的问题。 （二）用一元一次方程解决问题的一般过程： 1. 审题 分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系； 相等关系：每箱货物质量固定为50kg，两人体重分别为60kg和80kg，总和固定为140kg； 不等关系：总重量（货物+体重）1000kg. 2. 设元 选择一个适当的未知数用字母表示； 设每次最多能搬运货物箱 3. 列不等式 根据不等关系列出不等式； 4. 解不等式 求出未知数的取值范围； 5. 检查 检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案。 由于是整数，所以最大值为 【题型1】用一元一次不等式解决营销问题 基本思路： （1） 设未知数； （2） 利用等量关系“利润 = 销售额 - 成本”列代数式； （3）通过关键词“利润至少 、 不低于、销售额超过、 不超过、销量不少于”列一元一次不等式. 【例题1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨）某饭店老板到红葡萄酒直销店选购A、B两种品牌的红葡萄酒，若购进A品牌的红葡萄酒5瓶，B品牌的红葡萄酒6瓶，需要950元；若购进A品牌的红葡萄酒3瓶，B品牌的红葡萄酒2瓶，需要450元． （1）求A、B两种品牌的红葡萄酒每瓶进价分别为多少元？ （2）饭店进行销售时，1瓶A品牌的红葡萄酒售价130元，1瓶B品牌的红葡萄酒售价100元，饭店将购进的A、B两种品牌红葡萄酒共50瓶全部售出后，若所获利润要求不少于1400元，则A品牌的红葡萄酒至少购进多少瓶？ 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）某商场计划购进甲，乙两种商品，已知购进甲种商品2个和乙种商品3个共需270元；购进甲种商品3个和乙种商品2个共需230元． （1）甲，乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲种商品以40元/个的价格出售，乙种商品以90元/个的价格出售，为满足市场需求，需购进甲，乙两种商品共100个，当购进的甲，乙两种商品全部售出后，该商场要想获得利润不低于1200元，则最多购进甲种商品多少个？ 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元． （1）求两种型号报警器的单价； （2）若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？ 【题型2】用一元一次不等式解决方案设计问题 基本思路： （1） 设甲量为未知数； （2） 利用等量关系“甲量+乙量=总量”列乙量代数式； （3）通过关键词“最省费用、不超过预算、至少完成任务、满足需求”列一元一次不等式. 【例题2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完，要使总利润不少于6190元，有多少种进货方案？ 【变式1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． （1）1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ （2）若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ （3）若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某商场购进甲、乙两种空调共40台．已知每台甲种空调的进价比每台乙种空调的进价多0.2万元，用36万元购进乙种空调的数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍． 请解答下列问题： （1）每台甲种空调的进价为____________万元，每台乙种空调的进价为____________万元． （2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购进甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少16台，商场有哪几种购进方案？ 【题型3】用一元一次不等式解决最值问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系列代数式； （3）通过关键词“最多、至少、不超过、不少于”列一元一次不等式. 【例题3】（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． （1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ （2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【变式1】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元 单价：元 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【题型4】用一元一次不等式解决分配问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用分配问题中“物资总数、人数总和、任务总量”不变列代数式； （3）通过关键词“至少、最多、不少于、不超过、多于、少于”列一元一次不等式. 【例题4】（24-25七年级下·福建漳州·期中）在书架上按图示方式摆放数学书和语文书，书架宽，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共60本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本； （2）如果书架上已摆放9本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，每套设备由2个部件和1个部件组成，需成套装运．已知1个部件和3个部件总质量为，2个部件的质量和1个部件的质量相等． （1）求1个部件和1个部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解） （2）为防止、部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为的垫板和隔板，求该微型货车一次最多可装运多少套设备？ 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）某校在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米；若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米． （1）求编织个大号中国结和个小号中国结各需用绳多少米？ （2）该校决定编织大、小两种中国结共个，所用绳长总共不超过米，那么最多可以编织多少个大号中国结？ 【题型5】用一元一次不等式解决行程问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系“路程=速度 ×时间 ”不变列代数式； （3）通过关键词“早于、晚于、超过、至少、最多”列一元一次不等式. 【例题5】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，一条公路上有A，B，C三座城市，A，B两城间的路程是．一天早上，嘉淇乘坐客运班车从城出发，前往城参赛，同时，嘉淇的舅舅驾驶轿车从城前往A城送一个急件．已知客运班车每发一班车，并以的速度匀速行驶． （1）若轿车的速度为，求几点几分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇？ （2）嘉淇乘坐的客运班车从A城出发行驶后突发故障，嘉淇有下列两种方案前往城： 方案①：原地等候下一班客运班车，再乘坐客运班车前往城； 方案②：立即电话联系舅舅，并让舅舅把车速由原来的提至，接上自己后，先陪舅舅一块去A城送急件，之后立即返程，保持的车速前往城． 事后嘉淇发现，选择方案②比选择方案①到达城更早，则B，C两城之间的路程至少是多少km（结果取整数，换乘车、电话通话和交接急件过程所用的时间忽略不计）？ 【变式1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． （1）求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ （2）下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【变式3】（24-25七年级下·河北承德·期末）小明一家假期开自家小客车外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小明家驾驶的速度为v（千米/小时） 最高限速： （千米/小时） 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速（千米/小时） 60 （1）用不等关系写出此段公路v应满足的条件； （2）小明家11:20距离此段公路上A地 70千米，要在12:00点前驶过A地，匀速行驶状态求小明家车速应满足什么条件? 【题型6】用一元一次不等式解决工程问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系“工作总量=工作效率×工作时间 ”列代数式； （3）通过关键词“至少完成、不超过时间、提前完工、工作量不少于”列一元一次不等式. 【例题6】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度比乙队多50m，如果两队各自修建公路，甲队比乙队少用5天． （1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ （2）我市计划修建长度为的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至多安排甲队施工多少天？ 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． （1）求B队单独完成这项工程需要多少天？ （2）已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． （1）若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ （2）学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【题型7】用一元一次不等式解决比赛积分问题 基本思路： （1）设未知数； （2）等量关系：胜一场得分×胜场数+平一场得分×平场数+负一场得分×负场数 = 总积分 （3）通过题目中关键词：“至少得分、不超过得分、得分不少于 得分多于”等列一元一次不等式． 【例题7】（24-25七年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． （1）用含x的式子表示小红的得分y； （2）若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； （3）小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【变式1】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）为提升学生身体素质，某校开展了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球，所得总分不少于56分，问该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按，的比例计入学期总成绩．小明实践能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是多少分？ 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题 基本思路： （1）设未知数； （2）等量关系：以周长、面积、图形性质（如三角形三边关系、三角形内角和）等作为等量关系列代数式， （3）设未知数通过关键词或几何性质列一元一次不等式，并解一元一次不等式，舍去不符合实际情况的解即可. 【例题8】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． （1）若，则的取值范围是______； （2）求为何值时，平分的面积； （3）求为何值时，． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，求车速满足的条件．若设车速为，根据题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是 ． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）在流感高发季节，体温超过就需要到发热门诊就诊，则关于T的不等式为 ． 三、解答题 9．（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元， （1）求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？ （2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？ 10．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． （1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，预算资金不超过1750000元，则最多购买A型芯片多少颗？ 12．（23-24七年级下·辽宁营口·期末）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元 （1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是多少元； （2）若快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且他平均每天的提成不低于340元，求他平均每天最多可送多少件． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）1000只动物围成一圈，有鸡、牛、羊三种，其中鸡有600只，而且每一只鸡都要么挨着牛，要么夹在两只羊中间，那么至少有多少头牛？（    ） A．200 B．202 C．201 D．210 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2024·河北·模拟预测）甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水（杯子足够大）．其中甲杯中含有糖a克（克），乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）（提示：浓度） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·广东·模拟预测）某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 6．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）某化工厂现有甲种原料296千克，计划利用这种原料与另一种原料（足够多）配合生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料15千克，生产一件B产品需要甲种原料千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，则至少需生产B产品 件． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）某音乐厅决定在春节期间举办学生专场音乐会，入场券分零售票和团体票，其中团体票占总票数的．若在12月份购票，团体票每张票价40元，零售票每张票价50元，结果12月份共售出团体票总票数的，并售出零售票的．1月份团体票按每张50元销售．据推测，团体票和零售票均能按时全部售出，若要使1月的票款收入超过12月的票款收入的1.5倍，则1月份的零售票的票价不能低于每张 元（票价必须为整数）． 三、解答题 9．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某城市平均每天产生垃圾700吨，需要甲乙两厂进行处理．如果两厂同时处理城市垃圾，每天需要7小时；如果两厂同时处理2.5小时后，由乙厂继续处理，还需10小时． （1）甲、乙两厂每小时各处理垃圾多少吨？ （2）已知甲厂每小时需要费用550元，乙厂每小时需要费用495元．如果此城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，那么甲厂每天至少处理垃圾多少小时？ 10．（18-19七年级下·全国·期末）首届数字中国建设峰会于月日至日在福州海峡国际会展中心如期举行，某校组织位师生去会展中心参观，决定租用，两种型号的旅游车．已知一辆型车可坐人，一辆型车可坐人． （1）若学校需要租用这两种型号的旅游车共辆．学校至少要租用型车多少辆？ （2）由于学校经费紧张，若租用型车一辆需要元，型车一辆需要元，请设计一个租车方案，满足要求且租金最少． 11．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个； （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，若所获利润不低于2171元，则该商店第二次至少批发了多少个种头盔？ 12．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． （1）请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ （2）若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 一元一次不等式的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 （一）新知识引入： 1 （二）用一元一次方程解决问题的一般过程： 2 【题型1】用一元一次不等式解决营销问题 2 【题型2】用一元一次不等式解决方案设计问题 5 【题型3】用一元一次不等式解决最值问题 8 【题型4】用一元一次不等式解决分配问题 12 【题型5】用一元一次不等式解决行程问题 14 【题型6】用一元一次不等式解决工程问题 18 【题型7】用一元一次不等式解决比赛积分问题 21 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题 23 二. 同步练习​ 27 【基础巩固（12题）】 27 【能力提升（12题）】 33 一．知识梳理与题型分类精析 （一）新知识引入： 【情景问题】一部电梯的额定限载量为1000千克。两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，货物每箱的质量为50千克。问：若两人一起乘梯，则每次最多搬运货物多少箱? 建议讨论下列问题： （1）选择哪一种数学模型?是列方程，还是列不等式? （2）问题中有哪些相等的数量关系和不等的数量关系? 【分析】 （1）题目要求“最多搬运多少箱”，即需要求最大整数，属于限制条件下的最大制问题，因此选择列不等式的数学模型。 （2）问题中相等的数量关系：每箱货物质量固定为50kg，两人体重分别为60kg和80kg，总和固定为140kg。问题中的不等数量关系：总重量（货物+体重）1000kg. 通过以上的分析：我们得到了应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的问题。 （二）用一元一次方程解决问题的一般过程： 1. 审题 分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系； 相等关系：每箱货物质量固定为50kg，两人体重分别为60kg和80kg，总和固定为140kg； 不等关系：总重量（货物+体重）1000kg. 2. 设元 选择一个适当的未知数用字母表示； 设每次最多能搬运货物箱 3. 列不等式 根据不等关系列出不等式； 4. 解不等式 求出未知数的取值范围； 5. 检查 检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案。 由于是整数，所以最大值为 【题型1】用一元一次不等式解决营销问题 基本思路： （1） 设未知数； （2） 利用等量关系“利润 = 销售额 - 成本”列代数式； （3）通过关键词“利润至少 、 不低于、销售额超过、 不超过、销量不少于”列一元一次不等式. 【例题1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨）某饭店老板到红葡萄酒直销店选购A、B两种品牌的红葡萄酒，若购进A品牌的红葡萄酒5瓶，B品牌的红葡萄酒6瓶，需要950元；若购进A品牌的红葡萄酒3瓶，B品牌的红葡萄酒2瓶，需要450元． （1）求A、B两种品牌的红葡萄酒每瓶进价分别为多少元？ （2）饭店进行销售时，1瓶A品牌的红葡萄酒售价130元，1瓶B品牌的红葡萄酒售价100元，饭店将购进的A、B两种品牌红葡萄酒共50瓶全部售出后，若所获利润要求不少于1400元，则A品牌的红葡萄酒至少购进多少瓶？ 【答案】（1）A品牌的红葡萄酒每瓶进价为100元，B品牌的红葡萄酒每瓶进价为75元；（2）30瓶 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A品牌的红葡萄酒每瓶进价为x元，B品牌的红葡萄酒每瓶进价为y元，再结合购进A品牌的红葡萄酒5瓶，B品牌的红葡萄酒6瓶，需要950元；若购进A品牌的红葡萄酒3瓶，B品牌的红葡萄酒2瓶，需要450元，进行列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设A品牌的红葡萄酒购进m瓶，则B品牌的红葡萄酒购进瓶，再结合所获利润要求不少于1400元，进行解不等式，即可作答． 解：（1）解：设A品牌的红葡萄酒每瓶进价为x元，B品牌的红葡萄酒每瓶进价为y元， 依题意，得：， 解得： 答：A品牌的红葡萄酒每瓶进价为100元，B品牌的红葡萄酒每瓶进价为75元． （2）解：设A品牌的红葡萄酒购进m瓶，则B品牌的红葡萄酒购进瓶， 依题意，得：， 解得： 答：A品牌的红葡萄酒至少购进30瓶． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）某商场计划购进甲，乙两种商品，已知购进甲种商品2个和乙种商品3个共需270元；购进甲种商品3个和乙种商品2个共需230元． （1）甲，乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲种商品以40元/个的价格出售，乙种商品以90元/个的价格出售，为满足市场需求，需购进甲，乙两种商品共100个，当购进的甲，乙两种商品全部售出后，该商场要想获得利润不低于1200元，则最多购进甲种商品多少个？ 【答案】（1）每个甲种商品的进价是30元，每个乙种商品的进价是70元；（2）80个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的实际应用； （1）设每个甲种商品的进价是x元，每个乙种商品的进价是y元，根据“购进甲商品2个和乙商品3个共需270元；购进甲商品3个和乙商品2个共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价； （2）设购进m个甲种商品，则购进个乙种商品，根据“商场要想获得利润不低于1200元”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围． 解：（1）解：设每个甲种商品的进价是x元，每个乙种商品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个甲种商品的进价是30元，每个乙种商品的进价是70元； （2）解：设购进m个甲种商品，则购进个乙种商品， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为80． 答：最多购进甲种商品80个． 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元． （1）求两种型号报警器的单价； （2）若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？ 【答案】（1）A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元；（2）至少需购买A型报警器125个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键． （1）设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设需要购买A型报警器a个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 解：（1）解：设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元， 由题意可得：， 解得． 答：A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元； （2）解：设需要购买A型报警器a个， 由题意可得：． 解得． 答：至少需购买A型报警器125个． 【题型2】用一元一次不等式解决方案设计问题 基本思路： （1） 设甲量为未知数； （2） 利用等量关系“甲量+乙量=总量”列乙量代数式； （3）通过关键词“最省费用、不超过预算、至少完成任务、满足需求”列一元一次不等式. 【例题2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完，要使总利润不少于6190元，有多少种进货方案？ 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元；（2）共有3种进货方案，方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔；方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔；方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔，根据“购进200个这两种型号的头盔的总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6190元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案． 解：（1）解：设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元， 根据题意得：， 解得：． 即购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元． （2）解：设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为80，81，82， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔； 方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔； 方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔． 【变式1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． （1）1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ （2）若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ （3）若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【答案】（1）1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花；（2）至少要租用型车2辆；（3）共有3种租车方案：①租用A型车1辆，B型车3辆；②租用A型车3辆，B型车2辆；③租用A型车5辆，B型车1辆．方案①最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题，根据数量关系列出方程或不等式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据“用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花”即可列出方程组，求解即可； （2）设租用A型车a辆，根据“总费用不超过2800元”列出不等式，求解即可； （3）设租用A型车m辆，B型车n辆．根据“恰好将新收割的14吨棉花运完”列出二元一次方程，求出整数解即可得到租车方案，再求出各种方案的费用，比较即可解答． 解：（1）解：设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花． （2）解：设租用A型车a辆，根据题意，得 ， 解得， 答：至少要租用型车2辆． （3）解：设租用A型车m辆，B型车n辆．根据题意，得 ， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： ①租用A型车1辆，B型车3辆， ②租用A型车3辆，B型车2辆， ③租用A型车5辆，B型车1辆． 它们的费用分别为： ①（元）， ②（元）， ③（元）． ∵， ∴方案①租用A型车1辆，B型车3辆最省钱． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某商场购进甲、乙两种空调共40台．已知每台甲种空调的进价比每台乙种空调的进价多0.2万元，用36万元购进乙种空调的数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍． 请解答下列问题： （1）每台甲种空调的进价为____________万元，每台乙种空调的进价为____________万元． （2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购进甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少16台，商场有哪几种购进方案？ 【答案】（1）0.4    0.2；（2）商场共有两种购进方案：①购进甲种空调16台，乙种空调24台； ②购进甲种空调17台，乙种空调23台． 【分析】（1）设每台甲种空调的进价为万元，则每台乙种空调的进价为万元．利用“用36万元购进乙种空调的数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍”建立分式方程即可． （2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40-m）台，由“投入资金不多于11.5万元列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围，继 而得到整数m的可能取值，从而可得所有方案 解：（1）解：设每台甲种空调的进价为万元，每台乙种空调的进价为万元，根据题意得： 解这个方程得： 经检验：是原方程的根， 故原方程的解为： 答：每台甲种空调的进价为万元，每台乙种空调的进价为0.2万元． 故（1）0.4    0.2 （2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调台．根据题意，得 ， 解得． ， 则整数m的值可以是16或17， ∴商场共有两种购进方案： ①购进甲种空调16台，乙种空调24台； ②购进甲种空调17台，乙种空调23台． 【点拨】此题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 【题型3】用一元一次不等式解决最值问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系列代数式； （3）通过关键词“最多、至少、不超过、不少于”列一元一次不等式. 【例题3】（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． （1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ （2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【答案】（1）购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元；（2）至少买乙种快餐20份 【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 解：（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元； （2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份， 依题意得：， 解得：． 答：至少买乙种快餐20份． 【变式1】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元；（2）800件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 解：（1）解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． （2）解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品800件． 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元 单价：元 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的单价是5000元，双枪新能源充电桩的单价是7500元；（2）政府最少需要购买4个单枪新能源充电桩 【分析】（1）利用数量=总价单价，结合本次购买单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多4个，列出关于x的分式方程，解方程即可； （2）设政府需要购买y个单枪新能源充电桩，则需要购买个双枪新能源充电桩，利用总价=单价数量，结合总价不超过35500元，列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． 解：（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：单枪新能源充电桩的单价是5000元，双枪新能源充电桩的单价是7500元； （2）设政府需要购买y个单枪新能源充电桩，则需要购买个双枪新能源充电桩， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：政府最少需要购买4个单枪新能源充电桩． 【题型4】用一元一次不等式解决分配问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用分配问题中“物资总数、人数总和、任务总量”不变列代数式； （3）通过关键词“至少、最多、不少于、不超过、多于、少于”列一元一次不等式. 【例题4】（24-25七年级下·福建漳州·期中）在书架上按图示方式摆放数学书和语文书，书架宽，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共60本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本； （2）如果书架上已摆放9本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】（1）书架上数学书有30本，语文书有30本；（2）数学书最多还可以摆58本 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、找出题目中的数量关系、设出未知数、列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设书架上数学书有本，语文书有本，根据题意列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 解：（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本， 根据题意得：，解得：． 答：书架上数学书有30本，语文书有30本． （2）解：设数学书还可以摆本， 由题意得：，解得：， 的最大值为58． 答：数学书最多还可以摆58本． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，每套设备由2个部件和1个部件组成，需成套装运．已知1个部件和3个部件总质量为，2个部件的质量和1个部件的质量相等． （1）求1个部件和1个部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解） （2）为防止、部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为的垫板和隔板，求该微型货车一次最多可装运多少套设备？ 【答案】（1）1个A部件30千克，1个B部件60千克；（2）一次最多可装运12套设备 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据“1个A部件和3个B部件总质量为，2个A部件的质量和1个B部件的质量相等”建立二元一次方程组求解； （2）该微型货车一次最多可装运m套设备，计算出一套设备的重量，则由题意建立一元一次不等式求解． 解：（1）解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克．根据题意得： ， 解得：， 答：1个A部件30千克，1个B部件60千克； （2）解：该微型货车一次最多可装运m套设备，根据题意得： ， ∴， ∴m的最大值为12， 答：一次最多可装运12套设备． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）某校在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米；若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米． （1）求编织个大号中国结和个小号中国结各需用绳多少米？ （2）该校决定编织大、小两种中国结共个，所用绳长总共不超过米，那么最多可以编织多少个大号中国结？ 【答案】（1）编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米；（2）最多可以编织大号中国结. 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米，根据编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米，可列方程；根据编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米，可列方程，解方程组即可求出编织个大号中国结和个小号中国结各需用绳多少米； 设编织个大中国结，则需要编织个小中国结，根据所用绳长总共不超过米，可列不等式：，解不等式可得：，因为必须为整数，所以的最大值是. 解：（1）解：设编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米， 根据题意可得：， 解方程组得：， 答：编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米； （2）解：设编织个大中国结，则需要编织个小中国结， 根据题意得：， 解不等式得：， 为整数， 的最大整数为， 最多可以编织大号中国结. 【题型5】用一元一次不等式解决行程问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系“路程=速度 ×时间 ”不变列代数式； （3）通过关键词“早于、晚于、超过、至少、最多”列一元一次不等式. 【例题5】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，一条公路上有A，B，C三座城市，A，B两城间的路程是．一天早上，嘉淇乘坐客运班车从城出发，前往城参赛，同时，嘉淇的舅舅驾驶轿车从城前往A城送一个急件．已知客运班车每发一班车，并以的速度匀速行驶． （1）若轿车的速度为，求几点几分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇？ （2）嘉淇乘坐的客运班车从A城出发行驶后突发故障，嘉淇有下列两种方案前往城： 方案①：原地等候下一班客运班车，再乘坐客运班车前往城； 方案②：立即电话联系舅舅，并让舅舅把车速由原来的提至，接上自己后，先陪舅舅一块去A城送急件，之后立即返程，保持的车速前往城． 事后嘉淇发现，选择方案②比选择方案①到达城更早，则B，C两城之间的路程至少是多少km（结果取整数，换乘车、电话通话和交接急件过程所用的时间忽略不计）？ 【答案】（1）7点50分；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用行程问题．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设早上出发后，经x小时轿车和客运班车相遇，列出一元一次方程，求解即可； （2）设B，C两城之间的路程是，先确定客运班车突发故障时，嘉淇和舅舅尚未相遇；此时，轿车距离A城还有，再根据选择方案②比选择方案①到达城更早，列出一元一次不等式，求出最小整数值即可． 解：（1）解∶设早上出发后，经x小时轿车和客运班车相遇， 依据题意，得 解得　， 而， 答：7点50分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇． （2）因为，所以客运班车突发故障时，嘉淇和舅舅尚未相遇； 此时，轿车距离A城还有． 设B，C两城之间的路程是， 依据题意，得 整理，得． 所以，的最小整数值为44． 答：B，C两城之间的路程至少是． 【变式1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． （1）求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ （2）下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】（1）步行的速度为米/分；（2）该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 解：（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 【变式3】（24-25七年级下·河北承德·期末）小明一家假期开自家小客车外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小明家驾驶的速度为v（千米/小时） 最高限速： （千米/小时） 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速（千米/小时） 60 （1）用不等关系写出此段公路v应满足的条件； （2）小明家11:20距离此段公路上A地 70千米，要在12:00点前驶过A地，匀速行驶状态求小明家车速应满足什么条件? 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据小客车最高限速与最低限速即可得出答案； （2）根据小明家距离此段公路上地70千米，要在点前驶过地，列出一元一次不等式，结合（1）的结论，即可得出答案． 解：（1）解：此段公路应满足的条件为：． （2）解：到共用时小时， 由题意得：， 解得：， 由（1）得：60千米小时千米小时， 千米小时千米小时， 答：小明家车速应满足105千米小时千米小时． 【题型6】用一元一次不等式解决工程问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系“工作总量=工作效率×工作时间 ”列代数式； （3）通过关键词“至少完成、不超过时间、提前完工、工作量不少于”列一元一次不等式. 【例题6】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度比乙队多50m，如果两队各自修建公路，甲队比乙队少用5天． （1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ （2）我市计划修建长度为的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至多安排甲队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；（2）20天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路米，根据工作时间工作总量工作效率结合两队各自修建公路时甲队比乙队少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲工程队施工m天，则安排乙工程队施工天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 解：（1）解：设乙工程队每天修路米，则甲工程队每天修路米， 依题意，得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但负数不合题意应舍去， ， ， 甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米； （2）解：设安排甲工程队施工天，则安排乙工程队施工天， 依题意，得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为20． 答：至多安排甲工程队施工20天． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． （1）求B队单独完成这项工程需要多少天？ （2）已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【答案】（1）90天；（2）20天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量的三分之二，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工，根据总工程款甲队工作时间乙队工作时间，结合工程款不超过195万元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可． 解：（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作30天． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． （1）若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ （2）学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】（1）天；（2）天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 知识点（七）比赛积分问题 利用设未知数列不等式求出其解为，其最大值为；若为，其最小值为 【题型7】用一元一次不等式解决比赛积分问题 基本思路： （1）设未知数； （2）等量关系：胜一场得分×胜场数+平一场得分×平场数+负一场得分×负场数 = 总积分 （3）通过题目中关键词：“至少得分、不超过得分、得分不少于 得分多于”等列一元一次不等式． 【例题7】（24-25七年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． （1）用含x的式子表示小红的得分y； （2）若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； （3）小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）不能，见分析 【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式的方法是解题的关键． （1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式． （2）根据得分不低于70分列出不等式，求解并结合实际意义确定的取值范围． （3）假设得分能达到95分，列出方程求解，根据需为整数判断是否能达到． 解：（1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道． ， ， ； （2）解：由，即， ， ， ， 因为为整数且， 所以； （3）解：假设能达到，， ， ， ， 因为不是整数， 所以不能达到． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）为提升学生身体素质，某校开展了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球，所得总分不少于56分，问该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【答案】（1）该班级胜负场数分别是13场和2场；（2）该班级在这场比赛中至少投中了4个3分球 【分析】（1）设该班级胜了场，负了场，列方程组求解即可； （2）设该班级投中了个3分球，则投中了个分球，列不等式即可求解． 解：（1）解：设该班级胜了场，负了场，根据题意，得： 解这个方程组得： 答：该班级胜负场数分别是13场和2场． （2）解：设该班级投中了个3分球，则投中了个分球， 根据题意得：． 解这个不等式得：． 答：该班这场比赛中至少投中了个分球． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按，的比例计入学期总成绩．小明实践能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是多少分？ 【答案】纸笔测试的成绩至少是96分 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设纸笔测试的成绩为分，根据题意列不等式计算即可． 解：设纸笔测试的成绩为分， 则， 解得． 答：纸笔测试的成绩至少是96分． 知识点（八）几何问题 利用设未知数列不等式求出其解为，其最大值为；若为，其最小值为 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题 基本思路： （1）设未知数； （2）等量关系：以周长、面积、图形性质（如三角形三边关系、三角形内角和）等作为等量关系列代数式， （3）设未知数通过关键词或几何性质列一元一次不等式，并解一元一次不等式，舍去不符合实际情况的解即可. 【例题8】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以 的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，连接，，．设点运动时间为． （1）若，则的取值范围是______； （2）求为何值时，平分的面积； （3）求为何值时，． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据当时，点在点的右侧运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：点在点左侧和点在点的右侧时，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 解：（1）解：当时，， ， 解得， 故答案为：； （2）解：平分的面积， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 点在点左侧时，， 则， 解得； 当点在点的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或时，． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 二. 同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他一个月通话时间为，根据张老师选择方案一比方案二优惠，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论. 解：设他一个月通话时间为元，根据题意得： ， 解得：， 答：他一个月通话时间可能为． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，解决本题的关键是正确列出一元一次不等式． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，求车速满足的条件．若设车速为，根据题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，设车速为，得，即可作答． 解：∵一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，设车速为， ∴从到的时间为分钟，即小时， 故选：A 4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行了一次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，求出最大整数解即可解答． 解：根据题意，得， 解得， ∴最大整数解为， 即输入x的最大整数是． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，建立不等式，求解范围，并结合实际数据量的非负性确定最终结果，理解题意，正确得出一元一次不等式是解此题的关键． 解：由题意可得， 解得：， ∵数据量不能为负数， ∴， 故单帧视频数据量的允许范围是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设导火线应有x厘米长，根据题意可得跑开时间要小于等于爆炸的时间，由此可列出不等式，然后求解即可． 解：设导火线应有厘米长， 根据题意，     解得：． 故导火线至少应有24厘米． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）在流感高发季节，体温超过就需要到发热门诊就诊，则关于T的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据体温超过进行列出不等式，即可作答． 解：∵体温超过就需要到发热门诊就诊， ∴， 故答案为： 三、解答题 9．（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元， （1）求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？ （2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？ 【答案】（1）甲种型号的商品单价是98元，乙种型号的商品单价是78元；（2）最多可购买甲种型号的商品30个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是本题的关键． （1）根据题意，设乙种型号的商品单价是x元，则甲种型号的商品单价是元，根据“购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案； （2）根据题意，设购买甲种型号的商品a个，则购买乙种型号的商品个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案． 解：（1）解：设乙种型号的商品单价是x元，则甲种型号的商品单价是元． 根据题意得： 解得：， ∴， 答：甲种型号商品的单价是98元，乙种型号的商品单价是78元． （2）解：设购买甲种型号的商品a个，则购买乙种型号的商品个． 根据题意，得： 解得：， ∴a最大值是30． 答：最多可购买甲种型号的商品30个． 10．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 【答案】最多可购进B型耳机个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设购进x个B型耳机，则购进个A型耳机，利用，结合总价不超过元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 解：设购进B型耳机x个，则A型耳机个．依题意得 ， ， ， ． 答：最多可购进B型耳机个 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． （1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，预算资金不超过1750000元，则最多购买A型芯片多少颗？ 【答案】（1）购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元；（2）最多购买A型芯片1000颗 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买1颗A型芯片需要x元，购买1颗B型芯片需要y元，然后根据题意可得方程组，进而求解即可； （2）设购买A型芯片m颗，则购买B型芯片为颗，由题意可得不等式，然后进行求解即可． 解：（1）解：设购买1颗A型芯片需要x元，购买1颗B型芯片需要y元，由题意得： ， 解得：， 答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元． （2）解：设购买A型芯片m颗，由题意得： ， 解得：； 答：最多购买A型芯片1000颗． 12．（23-24七年级下·辽宁营口·期末）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元 （1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是多少元； （2）若快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且他平均每天的提成不低于340元，求他平均每天最多可送多少件． 【答案】（1）平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是1.5元和2元；（2）平均每天的送件数最多是120件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出相应的方程组或不等式组． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是x元，平均每揽一件的提成是y元，根据“若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元”列出方程组求解即可； （2）设他平均每天的送件数为a件，则他平均每天的揽件数为件，根据“快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，如果他平均每天的提成不低于340元”列出不等式求解即可． 解：（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是x元，平均每揽一件的提成是y元，根据题意得： ， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数为a件，则他平均每天的揽件数为件， 根据题意得： ， 解得，   答：他平均每天最多可送件． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）1000只动物围成一圈，有鸡、牛、羊三种，其中鸡有600只，而且每一只鸡都要么挨着牛，要么夹在两只羊中间，那么至少有多少头牛？（    ） A．200 B．202 C．201 D．210 【答案】C 【分析】本题考查了用一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到两种组合，并列出等量关系． 根据题意可知：要使牛最少，则尽量让鸡夹在两只羊中间，且羊不剩余，即有两种组合：①鸡、牛、鸡；②羊、鸡、羊；设有x只鸡夹在羊中间，则羊有只，牛有只，然后列出不等式求解即可． 解：设有x只鸡夹在羊中间，则羊有只，牛有只，由题意得， 解之得． 此时牛是201头． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设定变量，设第三次检测值为x，第二次检测值为y（已知），根据题意建立平均值不等式，三次平均值必需满足，将不等式进一步整理为，结合y的取值范围分别代入y的最小值和最大值，求出x的下限和上限． 解：设第三次检测值为x，三次检测的平均值为 （其中） 由题意得不等式： 对不等式组进行变形： 进一步整理得： 当y取最小值7.0时，，即； 当y取最大值7.6时，，即； 因为该游泳池检测合格， 所以，x的范围是． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的基本性质和实际运用，正确建立出不等式是解题的关键． 3．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 4．（2024·河北·模拟预测）甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水（杯子足够大）．其中甲杯中含有糖a克（克），乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）（提示：浓度） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，列不等式，理解题意找到数量关系是解决问题即可．甲杯的糖水变甜，即甲杯混合后的浓度需大于原浓度，分别表示出原浓度和混合后浓度据此解答即可． 解：原甲杯浓度：， 乙杯浓度：， 从乙杯取克糖水倒入甲杯的糖量：， 混合后甲杯总糖量：， 混合后甲杯总质量：克， 混合后浓度： ， 甲杯变甜的条件：混合后浓度>原浓度， 即． 故选：D． 二、填空题 5．（2024·广东·模拟预测）某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用． 根据题意列出不等式求解即可． 解：设要答对道，由题意可得， 解得， 根据必须为整数，故取最小整数15， 故答案为：15． 6．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 【答案】40 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件，利用获利不低于420元得出不等式，进而得出答案． 解：设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件， 根据题意可得：， 解得：， 故购进甲种“工艺品”至多40件． 故答案为：40． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）某化工厂现有甲种原料296千克，计划利用这种原料与另一种原料（足够多）配合生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料15千克，生产一件B产品需要甲种原料千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，则至少需生产B产品 件． 【答案】37 【分析】本题考查了一元一次不等式解实际问题的运用，根据提议列出方程组是关键．根据“生产A，B两种产品所需的甲种原料不超过296千克”列出不等式，解不等式，取其中的最小整数值即可． 解：设该化工厂生产B产品x件，则生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． 因为为整数，所以的最小整数值为37． 至少需生产B产品37件， 故答案为：37． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）某音乐厅决定在春节期间举办学生专场音乐会，入场券分零售票和团体票，其中团体票占总票数的．若在12月份购票，团体票每张票价40元，零售票每张票价50元，结果12月份共售出团体票总票数的，并售出零售票的．1月份团体票按每张50元销售．据推测，团体票和零售票均能按时全部售出，若要使1月的票款收入超过12月的票款收入的1.5倍，则1月份的零售票的票价不能低于每张 元（票价必须为整数）． 【答案】68 【分析】先设1月份零售票票价、总票数，再分别表示出12月和1月的票款收入，根据1月票款收入超过12月票款收入1.5倍列不等式求解．本题主要考查一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据数量关系列不等式并求解是解题的关键． 解：设1月份的零售票的票价不能低于每张元，总票数张，根据题意得： ， 解得：， 总票数， 解得：； 票价必须为整数， 月份的零售票的票价不能低于每张68元． 三、解答题 9．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某城市平均每天产生垃圾700吨，需要甲乙两厂进行处理．如果两厂同时处理城市垃圾，每天需要7小时；如果两厂同时处理2.5小时后，由乙厂继续处理，还需10小时． （1）甲、乙两厂每小时各处理垃圾多少吨？ （2）已知甲厂每小时需要费用550元，乙厂每小时需要费用495元．如果此城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，那么甲厂每天至少处理垃圾多少小时？ 【答案】（1）甲厂每小时处理垃圾55吨，乙厂每小时处理垃圾45吨；（2）甲厂每天至少处理垃圾6小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（垃圾处理量计算）和一元一次不等式的实际应用（费用限制），解题的关键是根据题干中的“垃圾总量”和“费用上限”两个核心条件，分别建立方程（组）与不等式，进而求解未知数． （1）设甲、乙两厂每小时处理垃圾的吨数为未知数；根据“两厂同时处理7小时共处理700吨”和“两厂同时处理小时后乙单独处理10小时共处理700吨”，列出二元一次方程组；解方程组得到两厂每小时处理量． （2）设甲厂每天处理垃圾的时间为未知数；用总垃圾量减去甲处理的垃圾量，求出乙需处理的垃圾量，进而表示出乙的处理时间；根据“甲费用 乙费用 ≤ 7370元”列出一元一次不等式；解不等式并结合实际情况，确定甲厂每天至少处理时间． 解：（1）解：设甲厂每小时处理垃圾吨，乙厂每小时处理垃圾吨． 根据题意列方程组：， 化简第一个方程：； 将①代入第二个方程：； 计算得； 移项得，解得； 将代入①，得． 答：甲厂每小时处理垃圾55吨，乙厂每小时处理垃圾45吨； （2）设甲厂每天处理垃圾小时，则甲处理垃圾吨，乙需处理垃圾吨，乙处理时间为小时． 根据费用限制列不等式：； 化简，不等式变为； 去括号得； 合并同类项得； 系数化为1（不等号方向改变）得 答：甲厂每天至少处理垃圾6小时． 10．（18-19七年级下·全国·期末）首届数字中国建设峰会于月日至日在福州海峡国际会展中心如期举行，某校组织位师生去会展中心参观，决定租用，两种型号的旅游车．已知一辆型车可坐人，一辆型车可坐人． （1）若学校需要租用这两种型号的旅游车共辆．学校至少要租用型车多少辆？ （2）由于学校经费紧张，若租用型车一辆需要元，型车一辆需要元，请设计一个租车方案，满足要求且租金最少． 【答案】（1）辆；（2）型车辆，型车辆． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、方案选择． （1）设租用型车辆，则租用型车辆，因为辆车需要乘坐人，可列不等式，解不等式可以求出学校至少租用了辆型车； （2）根据学校租用的车辆中的座位不得少于个，设需要租车辆，车辆，可列不等式，分类讨论找到最佳租车方案． 解：（1）解：设租用型车辆，则租用型车辆， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最小值是， 答：学校至少租用了辆型车； （2）解：设需要租车辆，车辆， 根据题意可得：， 方案一、全部租用车，则有， 解得：， 需要租用辆车，需要费用（元）； 方案二、租用车辆，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 需要费用（元）； 方案三、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 需要费用（元）； 方案四、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 共需租金 （元）； 方案五、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 共需租金 （元）； 方案六、租用辆车，则有， 解得：， 需要租用辆车，辆车， 共需租金（元）； 方案七、全部租用车，则有， 解得：， 需要租用辆车， 共需要租金（元）， 可知方案四中，租用辆车，辆车，所需要的费用最少， 应租用辆车，辆车． 11．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个； （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，若所获利润不低于2171元，则该商店第二次至少批发了多少个种头盔？ 【答案】（1）A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；（2）76个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“用去7200元钱，若所获利润不低于2171元”，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合、两种头盔的数量均为正整数，求出的最小值即可． 解：（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个， 依意得：， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得， 又∵m，均为正整数， ∴m最小为76， 答：该商店第二次至少批发了76个A种头盔 12．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． （1）请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ （2）若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 【答案】（1）商场本次购进了卫衣件，衬衫件；（2）每件卫衣降价元． 【分析】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，理清数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设商场本次购进了卫衣件， 衬衫件， 利用总价单价数量，结合商场用14500元共购进了某品牌卫衣和衬衫共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）每件卫衣降价元，根据预期利润卫衣利润卫衣损坏衬衫利润，即可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 解：（1）解：设商场本次购进了卫衣件，衬衫件， 依题意得：， 解得：． 答：商场本次购进了卫衣件，衬衫件； （2）解：以元的价格销售的卫衣：（件）， 降价销售的卫衣：（件）， 销售衬衫的利润：（元）， 设每件卫衣降价元，依题意得： 解得： 答：每件卫衣最多降价元，该商场销售完这批衬衫和卫衣后销售利润率不低于的预期目标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $