专题 4.4 平面直角坐标系与几何综合专题探究 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 4.4 平面直角坐标系与几何综合专题 目录 【题型1】平面直角坐标系与全等三角形综合 1 【题型2】平面直角坐标系与等腰三角形综合 2 【题型3】平面直角坐标系与角平分线综合 3 【题型4】平面直角坐标系与直角三角形综合 4 【题型5】平面直角坐标系与折叠综合 4 【题型6】平面直角坐标系与最值综合 5 【题型7】平面直角坐标系与面积问题综合 6 【题型8】平面直角坐标系几何存在性问题综合 7 【题型9】平面直角坐标系动点问题综合 8 【题型1】平面直角坐标系与全等三角形综合 【例题1】（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，． （1）点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． （2）点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． （1）如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． （2）如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 【题型2】平面直角坐标系与等腰三角形综合 【例题2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等腰三角形中，，． （1）请根据此图建立平面直角坐标系并写出三个顶点的坐标； （2）求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点B、C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且，若是以为底的等腰三角形，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．   【题型3】平面直角坐标系与角平分线综合 【例题3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，平分交于点，则的坐标是 ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在一、三象限角平分线上． 【题型4】平面直角坐标系与直角三角形综合 【例题4】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴的对称图形； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【变式2】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）学校在小明家南偏东方向上，距小明家，以小明家所在位置为坐标原点建立直角坐标系，为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（  ） A． B． C． D． 【题型5】平面直角坐标系与折叠综合 【例题5】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，直角坐标系中，长方形纸片的边在y轴上，边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形的一边，使点D落在边的F处，折痕为，若A点坐标为，C点坐标为．求：E点坐标． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴，y轴分别交于点， 点．点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）求线段的长度； （2）求点D 和点C的坐标． 【变式2】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【题型6】平面直角坐标系与最值综合 【例题6】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级下·河北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【题型7】平面直角坐标系与面积问题综合 【例题7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，，，， （1）求的面积； （2）设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【题型8】平面直角坐标系几何存在性问题综合 【例题8】（24-25八年级上·甘肃·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． （1）求A，C两点的坐标； （2）连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； （3）当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在平面直角坐标系中，连接组成，若在轴上存在一动点，当时，点的坐标为 ． 【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． （1）求两点的坐标； （2）是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）当时，请直接写出点坐标与； （2）连接，当时，求点坐标； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 【题型9】平面直角坐标系动点问题综合 【例题9】（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． （1）如图①，三角形的面积为_____． （2）如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 平面直角坐标系与几何综合专题 目录 【题型1】平面直角坐标系与全等三角形综合 1 【题型2】平面直角坐标系与等腰三角形综合 6 【题型3】平面直角坐标系与角平分线综合 10 【题型4】平面直角坐标系与直角三角形综合 13 【题型5】平面直角坐标系与折叠综合 17 【题型6】平面直角坐标系与最值综合 19 【题型7】平面直角坐标系与面积问题综合 24 【题型8】平面直角坐标系几何存在性问题综合 27 【题型9】平面直角坐标系动点问题综合 33 【题型1】平面直角坐标系与全等三角形综合 【例题1】（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，． （1）点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． （2）点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【答案】（1）①见分析；②10；（2）10 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）①过点作轴于，作轴于，根据点的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出，然后列出方程整理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再表示出，然后列出方程整理即可得解； 解：（1）①证明：如图，过点作轴于，作轴于， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ． ②解：∵， ， ， ． （2）解：如图，过点作轴于，作轴于， 同理得， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，由点的坐标为，点的坐标为，则，，，再通过同角的余角相等得，证明，最后通过性质即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． （1）如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． （2）如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 【答案】（1），证明见分析；（2）①；②不变，长度为． 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，掌握一线三直角模型是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，再根据证明全等即可； （2）①过点作轴于点，证明，得到，，即可得出点坐标； ②过点作轴于点，同①理可证，得到，，再证明，得到，即可得解． 解：（1）解：，证明如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图2，过点作轴于点， 点坐标为，点的坐标为， ，， 直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为； ②如图3，过点作轴于点， 同①可得， ，， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点运动时，的长度不发生变化，长度为． 【题型2】平面直角坐标系与等腰三角形综合 【例题2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等腰三角形中，，． （1）请根据此图建立平面直角坐标系并写出三个顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）图见分析，，，；（答案不唯一）；（2）12 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，等腰三角形的性质，三角形的面积，把握平面建立直角坐标系时，尽量使较多的点在坐标轴上的原则是解题的关键． （1）以底边所在直线为轴，上的高所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，即可求解； （2）由即可求解． 解：（1）解：如图，以底边所在直线为轴，上的高所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系： ，底边， ， ， ，，； （2）解：由题意得 ； 故三角形的面积为12． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点B、C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且，若是以为底的等腰三角形，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，根据坐标求线段长． 作轴交轴于E，作轴交轴于D，则，根据得到，根据等腰三角形的定义得到，进而证明，得到，即可求出的长． 解：如图，作轴交轴于E，作轴交轴于D，则， ∵， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．   【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，即可求出点C的坐标；证明，由全等三角形的性质得出，求出，则可得出点B的坐标． 解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【题型3】平面直角坐标系与角平分线综合 【例题3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，平分交于点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】令直线与轴的交点为，由角平分线定义得，平行线性质可得，则，所以，根据点，则，，设，则，然后由勾股定理可得，即，解得，从而求出的坐标是． 解：令直线与轴的交点为， ∵平分， ∴， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴，， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴的坐标是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，点P在的平分线上，且，点P横坐标为5，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线性质，矩形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D，根据矩形的性质得出和，根据角平分线的性质，进一步得到，再证，得到，即可求得答案． 解：连接，过点P作轴交于点C，轴交于点D， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点P横坐标为5，点A坐标为， ∴，， ∵点P是的平分线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ∴， ∴． ， ∵点B在y轴的正半轴上， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·全国·期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在一、三象限角平分线上． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及一、三象限角平分线上的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据x轴上的点的坐标特点为纵坐标都为0，求出a的值，再代入计算即可； （2）根据一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等，进行列式计算即可． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得． ∴． ∴点M的坐标为； （2）解：∵点M在一、三象限角平分线上时， ∴． 解得． ∴， ∴点M的坐标为． 【题型4】平面直角坐标系与直角三角形综合 【例题4】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴的对称图形； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是直角三角形，理由见分析 【分析】本题考查了画轴对称图形，勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据轴对称的性质画出关于轴的对称点，顺次连接，即可求解． （2）根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）是直角三角形，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴是直角三角形 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【答案】 或 或 【分析】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 【变式2】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）学校在小明家南偏东方向上，距小明家，以小明家所在位置为坐标原点建立直角坐标系，为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，垂足为，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，即可解答． 解：如图：过点作轴，垂足为，    在中，，， ，， 点的坐标为， 学校所在位置的坐标为， 故选：D． 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键． 【题型5】平面直角坐标系与折叠综合 【例题5】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，直角坐标系中，长方形纸片的边在y轴上，边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形的一边，使点D落在边的F处，折痕为，若A点坐标为，C点坐标为．求：E点坐标． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理，折叠等知识，先根据A、C的坐标和长方形的特征求出，，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理求出和，则，设，则，在中，根据勾股定理构建关于x的方程，解方程即可求解． 解：∵A点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴点E的坐标为． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴，y轴分别交于点， 点．点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）求线段的长度； （2）求点D 和点C的坐标． 【答案】（1）5；（2）， 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，列方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）由折叠的性质可求，假设，则，利用勾股定理和折叠的性质列出方程，求解方程即可． 解：（1）解：∵，， ∴， 由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，即， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ∴，． 【变式2】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查坐标与图形，折叠的性质及勾股定理，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键．由折叠可知，设，则，求出，在中，利用勾股定理求解即可． 解：由折叠可知， ， ，， 设，则， 是的中点， ， 在中，， ， 解得． 答：的长为． 【题型6】平面直角坐标系与最值综合 【例题6】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，证明，可得，在直线上运动，作关于直线的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，如图，过作轴于，再进一步求解即可． 解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴在直线上运动， 作关于直线的对称点，连接， ∴，， ∴当三点共线时，取最小值， 如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·河北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于D，先根据，，分别求得，，，再求得，从而可用勾股定理求得，要使的周长最小，一定，则最小，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，点即为使最小的点，利用勾股定理求得即可求得周长的最小值． 解：作于D，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 要使的周长最小，一定， 则最小，    作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 点即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得：， 则， ∵点A关于y轴的对称点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，两点之间线段最短，勾股定理，轴对称确定最短路线问题，解题关键是掌握正确作出图形． 【题型7】平面直角坐标系与面积问题综合 【例题7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，，，， （1）求的面积； （2）设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【题型8】平面直角坐标系几何存在性问题综合 【例题8】（24-25八年级上·甘肃·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． （1）求A，C两点的坐标； （2）连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； （3）当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 解：（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点在平面直角坐标系中，连接组成，若在轴上存在一动点，当时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与点的特征是解题的关键，根据，计算出的长，从而得到答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴上， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． （1）求两点的坐标； （2）是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，点的坐标为 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 解：（1）解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 7．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）当时，请直接写出点坐标与； （2）连接，当时，求点坐标； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或；；（3），或, 或, ． 【分析】此题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，分类讨论，解题的关键是根据点P的不同位置进行分类讨论． （1）根据点P运动的时间和速度相乘得到，求出，由此得到点P的坐标及的面积； （2）分两种情况讨论|：当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据面积分别求出点P的坐标； （3）分三种情况，分别求出的长以及的长，即可得出所有点P的坐标和t的值． 解：（1）解：∵， ∴， ∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动5秒， ∴， ∴，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 当点P在点C左侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 当点P在点C右侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图， 当时，     ∵，   ∴，， ∴，；   当时，   ∵ ,,，   ∴，   ∴，， ∴,；   当时，设，则，   ∴，解得，   ∴，   ∴ , ． 综上，，或, 或, ． 【题型9】平面直角坐标系动点问题综合 【例题9】（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，关键是根据全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等解答． 作轴于N，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 解：作轴于N，如图所示： 由等腰三角形的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，为原点，点． （1）如图①，三角形的面积为_____． （2）如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____； ②点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点坐标． 【答案】（1）3；（2）①；②点坐标或 【分析】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，属于中考常考题型． （1）利用三角形面积公式求解即可； （2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可； ②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可． 解：（1）解： ，，， ，，， ， 的面积， 故答案为：3； （2）解：①∵将点向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ∴点D的坐标为，即点， 同理：，， ∴点E的坐标为，点F的坐标为 故答案为：； ；． ②，，， ∴ ∴ 解得：或， ∴点坐标或． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以为一边在的上方作等边，连接，依题意得，，则，，由旋转的性质得是等边三角形，则，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，再根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最大值． 解：以为一边在的上方作等边，连接，如图所示： 点，点， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，共线时，为最大，最大值是． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $