专题 4.5 图形与坐标与几何综合（七大考点十三类题型 ）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过考点分类框架系统梳理了图形与坐标的知识体系，涵盖坐标与线段长度关联、几何图形顶点表示、对称与平移变换等七大考点，按“基础篇（★题型）-培优篇（★★题型）”递进组织，用目录结构呈现从基础计算到综合应用的知识脉络，突出坐标与几何性质的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与数学思想渗透，如基础篇“坐标与线段长度”题型强化数感，培优篇“三角形面积求坐标（割补法）”培养几何直观，“将军饮马问题”发展推理意识。例题配变式训练，基础生掌握计算基础，优秀生突破动点轨迹等综合题，为教师分层教学提供精准素材。

专题 4.5 图形与坐标与几何综合（七大考点十三类题型 ） 目录 一.基础篇 1 考点一：坐标与线段长度的几何关联 1 【★题型 1】由点的坐标求水平或垂直线段长度 1 【★题型 2】利用线段长度确定点的坐标 2 考点二：坐标与简单几何图形的顶点表示 2 【★题型 3】直角三角形顶点的坐标表示（构造平行于坐标轴） 2 【★题型 4】利用三角形性质求点的坐标（分类讨论思想） 3 考点三：坐标与图形对称的几何意义 3 【★题型 5】对称点坐标与几何图形的轴对称变换 3 【★题型 6】图形平移与几何图形变换 4 【★题型7】平面直角坐标系与将军饮马问题 5 二培优篇 6 考点四：坐标与三角形的几何综合 6 【★★题型8】利用三角形面积求坐标（割补法） 6 【★★题型9】利用坐标判定三角形的形状 7 考点五：坐标与几何变换综合应用 8 【★★题型10】平移后图形顶点坐标与几何性质的变化 8 【★★题型11】折叠（轴对称）后点的坐标与图形边长的关联 9 考点六：动点坐标与几何综合 10 【★★题型12】动点坐标的几何轨迹分析 10 考点七：坐标规律与几何综合探索 12 【★★题型13】坐标规律与几何图形的周期性变化 12 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 考点一：坐标与线段长度的几何关联 【★题型 1】由点的坐标求水平或垂直线段长度 【例题 1】（24-25七年级下·重庆合川·期末）已知点和点，若直线轴，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·天津蓟州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上任意一点，则线段的最小值为（    ） A．1 B．4 C．5 D．9 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，，．若，则线段的长度是 ． 【★题型 2】利用线段长度确定点的坐标 【例题 2】（25-26八年级上·全国·期中）已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．已知线段，轴，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 考点二：坐标与简单几何图形的顶点表示 【★题型 3】直角三角形顶点的坐标表示（构造平行于坐标轴） 【例题 3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是 ． 【变式2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知等腰直角，点在轴的正半轴上，过原点．若，，则的值为 ． 【★题型 4】利用三角形性质求点的坐标（分类讨论思想） 【例题 4】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标是，若点P在x轴正半轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标是 ． 考点三：坐标与图形对称的几何意义 【★题型 5】对称点坐标与几何图形的轴对称变换 【例题 4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，若，且点D在第四象限，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【★题型 6】图形平移与几何图形变换 【例题 6】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知线段两端点的坐标分别为，点M的坐标为，将线段沿方向平移，平移的距离为的长度． （1）画出平移后的线段，直接写出点B的对应点N的坐标； （2）连接已知平分，求证：； （3）若点P为线段上一动点（不含端点），连接，试猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． （1）点D的坐标是______； （2）若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 【★题型7】平面直角坐标系与将军饮马问题 【例题 7】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）点的坐标为___________； （3）若点在轴上，则的最小值为___________． 二培优篇 考点四：坐标与三角形的几何综合 【★★题型8】利用三角形面积求坐标（割补法） 【例题 8】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）求的面积； （2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 【★★题型9】利用坐标判定三角形的形状 【例题 9】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形． （1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为 （2）判断的形状，并说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·云南玉溪·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． （1）已知、，则两点间的距离为___________； （2）已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 考点五：坐标与几何变换综合应用 【★★题型10】平移后图形顶点坐标与几何性质的变化 【例题 10】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【变式1】（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为 ． 【★★题型11】折叠（轴对称）后点的坐标与图形边长的关联 【例题 11】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， （1）点C的坐标是___________； （2）求长度； （3）若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 考点六：动点坐标与几何综合 【★★题型12】动点坐标的几何轨迹分析 【例题 12】（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为 ． 【变式1】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．的长随B点的运动而变化 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点七：坐标规律与几何综合探索 【★★题型13】坐标规律与几何图形的周期性变化 【例题 13】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如，，，，，，根据这个规律探索可得：第21个点的坐标为 ，第2025个点的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图①，等腰中，，点A、B分别在坐标轴上． （1）若点，点的坐标a，b满足，求点与点的坐标； （2）在（1）的条件下，求点的坐标； （3）如图②，若点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.5 图形与坐标与几何综合（七大考点十三类题型 ） 目录 一.基础篇 1 考点一：坐标与线段长度的几何关联 1 【★题型 1】由点的坐标求水平或垂直线段长度 1 【★题型 2】利用线段长度确定点的坐标 3 考点二：坐标与简单几何图形的顶点表示 4 【★题型 3】直角三角形顶点的坐标表示（构造平行于坐标轴） 4 【★题型 4】利用三角形性质求点的坐标（分类讨论思想） 7 考点三：坐标与图形对称的几何意义 10 【★题型 5】对称点坐标与几何图形的轴对称变换 10 【★题型 6】图形平移与几何图形变换 13 【★题型7】平面直角坐标系与将军饮马问题 16 二培优篇 19 考点四：坐标与三角形的几何综合 19 【★★题型8】利用三角形面积求坐标（割补法） 19 【★★题型9】利用坐标判定三角形的形状 23 考点五：坐标与几何变换综合应用 26 【★★题型10】平移后图形顶点坐标与几何性质的变化 26 【★★题型11】折叠（轴对称）后点的坐标与图形边长的关联 29 考点六：动点坐标与几何综合 34 【★★题型12】动点坐标的几何轨迹分析 34 考点七：坐标规律与几何综合探索 38 【★★题型13】坐标规律与几何图形的周期性变化 38 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 考点一：坐标与线段长度的几何关联 【★题型 1】由点的坐标求水平或垂直线段长度 【例题 1】（24-25七年级下·重庆合川·期末）已知点和点，若直线轴，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据两点的坐标相同，的长度为两点坐标之差的绝对值：，即可求解． 解：因为直线平行于轴，所以点和点的横坐标必须相等，即 此时点的坐标为，点的坐标为． ∴， 因此，线段的长为， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·天津蓟州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上任意一点，则线段的最小值为（    ） A．1 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离、垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂线段最短的性质可得，当轴，线段有最小值，再根据点的坐标即可解答． 解：∵点的坐标为，点是轴上任意一点， ∴当轴，线段有最小值，最小值为． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，，．若，则线段的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意重新确定点A的坐标是解题关键． 根据题意得出，确定轴，然后求出线段的长度即可． 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴， 故答案为：4． 【★题型 2】利用线段长度确定点的坐标 【例题 2】（25-26八年级上·全国·期中）已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：解题的关键是熟知与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同．把点向上或向下平移个单位得到点． 解：轴， 点的横坐标与点的横坐标相同， ， 把点向上或向下平移个单位得到点， 而点的坐标为， 点坐标为或． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点，学会分类讨论是解决本题的关键． 由平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标即可． 解：∵轴， ∴A、B两点纵坐标相等，即B点纵坐标为4． 又∵A点坐标为， ∴B点横坐标可能为或． ∴B点坐标为或． 故选D． 【变式2】．已知线段，轴，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了平行于y轴的直线上的点的坐标的特点，关键是熟练掌握平行于y轴的直线上的点的坐标的知识点，由于轴，点P和点Q的横坐标相同；再根据，利用两点间距离公式求解点Q的纵坐标． 解：∵轴， ∴ 点P和点Q的横坐标相同，即为7． 设点Q的坐标为． 又∵， ∴，即， ∴或， 解得或， 因此点Q的坐标为或． 故答案为：或． 考点二：坐标与简单几何图形的顶点表示 【★题型 3】直角三角形顶点的坐标表示（构造平行于坐标轴） 【例题 3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于，由“”可证△，可得，，即可求解． 解：如图，过点作轴于， 点，点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即顶点到轴的距离为． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形，先求解，，，，再结合全等三角形的性质可得答案. 解：∵点A，D的坐标分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知等腰直角，点在轴的正半轴上，过原点．若，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先结合题意，过点C作直线轴，再分别过作，再根据，证明，故，因为，，得，即可作答． 解：过点C作直线轴，再分别过作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 即， 则， 再把与相加，得， 即． 故答案为：8 【★题型 4】利用三角形性质求点的坐标（分类讨论思想） 【例题 4】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 解：∵， ∴，， ①如图，此时， ∴， ∴； ②如图，此时， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 解：如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标是，若点P在x轴正半轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据等腰三角形的性质分三种情况：若；若；若，即可求解． 解：∵点A的坐标是， ∴， 如图，若，    此时点P的坐标为； 如图，若，过点A作轴于点B，    ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若，过点A作轴于点B，则，    设，则， 在中， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或 考点三：坐标与图形对称的几何意义 【★题型 5】对称点坐标与几何图形的轴对称变换 【例题 4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于直线对称的点的坐标特征来求解点的坐标即可． 解：关于直线对称，且直线上各点的横坐标都为1， 关于直线对称． 点的坐标为，设点坐标为， ， 解得，故点坐标为． 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，若，且点D在第四象限，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查全等三角形的性质，坐标与图形，根据题意得出点C和点D关于直线对称，即可求解． 解：∵，，点D在第四象限， ∴点C和点D关于直线对称， ∴点D的坐标是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 【★题型 6】图形平移与几何图形变换 【例题 6】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知线段两端点的坐标分别为，点M的坐标为，将线段沿方向平移，平移的距离为的长度． （1）画出平移后的线段，直接写出点B的对应点N的坐标； （2）连接已知平分，求证：； （3）若点P为线段上一动点（不含端点），连接，试猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）图见分析，；（2）见分析；（3），理由见分析 【分析】本题主要考查了线段的平移，平移的性质，平行线的性质，角平分线定义. （1）将线段沿着的方向移动的长度得到，再确定点的坐标； （2）根据平移的性质可得，再结合角平分线定义可得答案； （3）作，再根据“两直线平行内错角相等”得出答案. 解：（1）解：所作线段如图所示； 点N的坐标为； （2）解：根据平移的性质可知：， ∴. ∵平分, ∴, ∴； （3）解：猜想：. 理由：过点P作交于点H， ∵, ∴, ∴， ∴. 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． （1）点D的坐标是______； （2）若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移： （1）根据点A与点C是对应点，可得线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得到关于m的方程，即可求解． 解：（1）解：∵点， ，点A与点C是对应点． ∴线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∵， ∴点D的坐标是，即； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 即， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【★题型7】平面直角坐标系与将军饮马问题 【例题 7】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，连接，得到的最小值为，进行求解即可． 解：作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于D，先根据，，分别求得，，，再求得，从而可用勾股定理求得，要使的周长最小，一定，则最小，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，点即为使最小的点，利用勾股定理求得即可求得周长的最小值． 解：作于D，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 要使的周长最小，一定， 则最小，    作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 点即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得：， 则， ∵点A关于y轴的对称点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，两点之间线段最短，勾股定理，轴对称确定最短路线问题，解题关键是掌握正确作出图形． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）点的坐标为___________； （3）若点在轴上，则的最小值为___________． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的性质找出、、对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据（1）的图形写出点的坐标即可； （2）连接交轴于点，则点即为所求作，再利用勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图，即为所求作； ； （2）解：点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图，点即为所求作； 的最小值为， 故答案为：． 二培优篇 考点四：坐标与三角形的几何综合 【★★题型8】利用三角形面积求坐标（割补法） 【例题 8】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）求的面积； （2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】（1）10；（2）或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 解：（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中求点的坐标等知识． 设点M坐标为，根据得到，求出，问题得解． 解：设点M坐标为， ∵，，，， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标为或． 【★★题型9】利用坐标判定三角形的形状 【例题 9】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，两点之间的距离公式的运用，先分别计算，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， 故选C 【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形． （1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为 （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析，；（2）直角三角形，见分析 【分析】本题主要考查坐标与图形： （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标即可； （2）求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 解：（1）解：建立平面直角坐标系如图， 点C的坐标为：， 故答案为：； （2）解：由勾股定理得，， ∴ ∴是直角三角形，且． 【变式2】（23-24八年级下·云南玉溪·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． （1）已知、，则两点间的距离为___________； （2）已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）是直角三角形，理由见分析 【分析】（1）由两点坐标特征得到轴，再由材料中当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或列式求解即可得到答案； （2）由两点间的距离公式，结合求出三角形三边长度，再由勾股定理的逆定理得到，即可得到答案． 解：（1）解：、的纵坐标相等，则轴， 当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或可知A、B两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 两点间的距离公式，， ；；； ， 是直角三角形，且． 【点拨】本题考查阅读理解，涉及两点距离公式、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、二次根式性质等知识，读懂题意，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 考点五：坐标与几何变换综合应用 【★★题型10】平移后图形顶点坐标与几何性质的变化 【例题 10】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 【变式1】（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，设，利用三角形面积公式求出n的值，再求出，可得结论． 解：设， ∵， ∴， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，即得，由平移的性质得，，进而由勾股定理得，再求出点的横纵坐标即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿到的方向平移个单位至的位置， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【★★题型11】折叠（轴对称）后点的坐标与图形边长的关联 【例题 11】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， （1）点C的坐标是___________； （2）求长度； （3）若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键； （1）过点D作于点H，由折叠的性质可知：，然后可得，，则根据等积法可得，最后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）由（1）可知：，，设点，则有，由题意易得，进而求解即可． 解：（1）解：过点D作于点H，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴； 故答案为； （2）解：由（1）可得：； （3）解：由（1）可知：，， ∴， 设点，则有， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时， ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，证明，可得，在直线上运动，作关于直线的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，如图，过作轴于，再进一步求解即可． 解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴在直线上运动， 作关于直线的对称点，连接， ∴，， ∴当三点共线时，取最小值， 如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点六：动点坐标与几何综合 【★★题型12】动点坐标的几何轨迹分析 【例题 12】（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．连接，证明，可得，从而得到当最大时，线段的长取得最大值，在中，根据三角形的三边关系，可得当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为，即可求解． 解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴当最大时，线段的长取得最大值， 在中，， ∴当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为， ∵，点， ∴， ∵， ∴线段的长的最大值为． 故答案为： 【变式1】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．的长随B点的运动而变化 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形判定与性质、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 解：作轴于，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 又点的坐标为， ， ． 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出点位置是解题关键． 根据轴对称作最短路线得出，进而得出，即可得出的周长最小时点坐标． 解：作点关于轴对称点点，连接，交轴于点， 此时的周长最小， 点、的坐标分别为和， 点坐标为：，， 则，即， ， ， 点的坐标是，此时的周长最小． 故选：A． 考点七：坐标规律与几何综合探索 【★★题型13】坐标规律与几何图形的周期性变化 【例题 13】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如，，，，，，根据这个规律探索可得：第21个点的坐标为 ，第2025个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了平面直角坐标系中的点的坐标规律，观察发现点的分布规律，即每一列点的变化规律以及运动方向或顺序以及数形结合思想的运用成为解答本题的关键． 通过观察可以发现每列的点的个数是有规律的，分别有1，2，3，4…，n个，而且奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，按这个规律即可求出第21个和第2025个点的坐标． 解：：将点作为第1列， 将横坐标为2的点即点和点作为第2列， 将横坐标为3的点作为第3列，依次类推……； 则第n列的点的横坐标为n，则前n列一共有的点的个数为， 当时，， 则第21个点的坐标在第6列自下向上第6个数，则该点坐标为． 当时，， 则第2025个点在64列自下向上第9个数，则该点坐标为． 故答案为：，． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，找出规律是解题的关键． 根据点的周期性规律分别进行计算横坐标和纵坐标，即可得出点的坐标． 解：根据点运动的规律可知，每运动两次点的纵坐标增加一个单位长度，的纵坐标为； 根据点运动的规律可知，每运动4次点的横坐标向左平移一个单位长度，的横坐标运动周期为， ∴的横坐标为， 则的横坐标为； ∴点的坐标为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图①，等腰中，，点A、B分别在坐标轴上． （1）若点，点的坐标a，b满足，求点与点的坐标； （2）在（1）的条件下，求点的坐标； （3）如图②，若点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）的长度不变，的值为2 【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得，，即可得点与点的坐标； （2）作轴于，则，证明得，，进而得，即可得点的坐标； （3）证明，得到，，证明，得到，得到答案． 解：（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：如图，作轴于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰，等腰， ∴，，，， 如图，过点E作轴于G， ∵点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 即的长度不变，的值为2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $