重难点专题02 二次函数与几何图形综合 （专项训练）数学苏科版九年级下册

重难点专题02 二次函数与几何图形综合 题型一 角度存在性问题 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 重难点一 已知特殊角求解 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标； (3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式； (3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 4．（22-23九年级上·广西南宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2022·广东深圳·一模）如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)连接OP，BP，若，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 重难点二 已知角度关系求解 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接、、、，与相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)抛物线上存在点P，满足，则点P的坐标为__________． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知二次函数(a是常数，且)的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，并将图像中位于y轴左侧的部分作关于y轴的对称图像，该对称图像记为图像． (1)则点A坐标为 ，点B坐标为 ； (2)若直线是常数交图像于点D，E(点D在点E的左侧)，并与图像 交于点F，若 ，求a与m的数量关系； (3)当时，连接，图像上是否存在一点P，过点P作⊥直线，垂足为点Q，连接，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，二次函数的图象经过和，交y轴于点，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F． (1)求此二次函数的解析式； (2)求面积的最大值及此时点D的坐标： (3)当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 11．（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 题型二 三角形存在性问题 【等腰三角形存在性问题】 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 【直角三角形存在性问题】 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：① ，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 【等腰直角三角形存在性问题】确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 重难点一 等腰三角形-两定一动 13．（2023九年级·全国·专题练习）抛物线 经过点，现将一块等腰直角三角板按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点、坐标分别为、．点在抛物线图象上． (1)求点的坐标： (2)求抛物的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点点除外，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 14．（22-23九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·海南·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 重难点二 等腰三角形-一定两动 16．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 17．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 18．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、．设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接、，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为轴上方抛物线上的一个的动点，点为轴上的动点，是否存在这样的点和点，使得以为腰的等腰直角？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 重难点三 直角三角形 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 20．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．    (1)求拋物线及直线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)若点是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 重难点四 等腰直角三角形 22．（20-21九年级·江苏·自主招生）如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么我们称抛物线与关联． （1）已知抛物线①，判断下列抛物线②；③与已知抛物线①是否关联，并说明理由． （2）抛物线，动点P的坐标为，将抛物线绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式． （3）点A为抛物线的顶点，点B为与抛物线关联的抛物线顶点，是否存在以为斜边的等腰直角，使其直角顶点C在y轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 25．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 重难点五 全等/相似三角形 26．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 28．（21-22九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是对称轴上的一个动点，是否存在点到点的距离与到点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是对称轴左侧的抛物线上的一个动点，点在射线上．是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 30．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，顶点为，直线经过点，且与抛物线交于点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)若为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，是否存在以为顶点的，使得和全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 特殊四边形存在性问题 类型一三定一动 类型二：两定一动 【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想. 重难点一 平行四边形 31．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标（不写求解过程）． 32．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 重难点二 矩形 35．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 36．（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 37．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 重难点三 菱形 38．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点． ①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值； ②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 40．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 重难点四 正方形 41．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 42．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数 的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在该二次函数的图象上，试比较 和的大小，并说明理由； (3)点 P，Q在直线上，点 M在该二次函数图象上．问：在 y轴上存在点 N，使得以 P，Q， M，N为顶点的四边形是正方形．请直接写出 N 的坐标_________． 43．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 其它存在性问题 44．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为、4，直线与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若函数的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有________个． 45．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)填空： ，点M的坐标 ； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求直线的函数解析式及的度数； (3)点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 47．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ． (1)求点 A 的坐标． (2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数． (3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 48．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为_____，_______； (2)在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 49．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C．点为二次函数在第四象限图像上一点，线段与交于Q，且．    (1)若，在点P运动过程中是否存在的情形？若存在请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (2)请继续探究，k的最大值是多少？并求出k取最大值时m和a之间的数量关系． 50．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 二次函数与几何图形综合 题型一 角度存在性问题 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 重难点一 已知特殊角求解 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标； (3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，，； (3)存在，，． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为．把，代入，待定系数法求二次函数解析式，进而求得，待定系数法求得直线的解析式； （2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，进而分情况讨论，结合图形，即可求解； （3）取点，则，为等腰直角三角形，由可知，继而根据，设，勾股定理即可求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为． 把，代入得： 解得： 所以抛物线解析式为． 令，则， 所以． 设直线的解析式为，把，代入得： 解得： 所以直线的解析式为． （2）设， 则， ， ∴当时，有最大值为2 此时， ∵， ∴轴， 又∵ ∴ 如图所示，当时， ∴ ∴，则在轴上， ∴ ； 当时，，则轴或轴， ∵点． ∴ 或； 综上所述， ，，； （3）在轴上存在点，使 如图， ∵ ∴ 取点，则， ∴为等腰直角三角形， 以为圆心为半径作圆，则 设， ∵， ∴， 解得：或 ∴符合题意的点的坐标：，． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式； (3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）由可证是等腰直角三角形，分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，得到，利用，即可解答；同理，当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，得到，利用，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得， 解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示：   ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示：   ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； 此时， 此时，， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 此时，直线的解析式为：； （3）解： ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 分两种情况：点在上方；点在下方； 当点在上方时，如图所示，    ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得： ， ，即， ， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上，． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与角度问题、解直角三角形，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 4．（22-23九年级上·广西南宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在，Q点坐标为或 【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式； （2）连接，设，分别求出， 所以， 当时，的最大值为； （3）设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，在中，，所以，求出，所以，连接，在中，，在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，，设，为圆A的半径，，求出或，即可求Q． 【详解】（1）抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， 将代入可得， ∴； （2）连接， 由题意，， 设， ∴， ， ， ， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）存在，设D点的坐标为， 过D作对称轴的垂线，垂足为G， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍） ∴， ∴， 连接，在中， ∴， ∴， ∴在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点， 此时，， 设为圆A的半径， ， ∴， ∴， ∴或， 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键． 5．（2022·广东深圳·一模）如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)连接OP，BP，若，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（﹣5，﹣6）或（6，﹣6） (3)存在，Q的坐标为（，）或(，） 【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入，即可求解； （2）由题意可得×4×｜｜＝12，再由P点在x轴下方，则＝﹣6，即可求P点坐标； （3）将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D，连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ，再证明点Q满足要求，并利用轴对称找到另外一个满足要求的点即可． 【详解】（1）解：将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）解：对于， 当x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOP＝4×|yP|， ∵S△BOP＝2S△AOC， ∴×4×｜｜＝12，， ∴|yP|＝6， ∵＝﹣（x﹣）2+， ∴P点在x轴下方， ∴＝﹣6， ∴＝﹣6， 解得x＝﹣5或x＝6， ∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）,； 如图1所示， （3）解：存在，Q的坐标为（，）或(，）． 理由如下： ∵＝﹣（x﹣）2+， ∴ 抛物线的对称轴为直线， 设直线与轴交点为点E（，0）， 将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D， 连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ， 则点Q满足要求，即∠QBA＝75°，如图2所示， ∵抛物线交x轴于，两点 ∴直线垂直平分AB，AB＝7 即直线DE垂直平分AB ∴ AD＝BD ∴△ABD是等腰三角形 ∵∠ABD＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴BE＝AE＝AB＝，∠ADB＝60°，BD＝AB＝7 ∴DQ＝BD＝7 ∴∠DBQ＝∠BQD ∵DE⊥AB ∴∠BDE＝∠ADB＝30°，∠BED＝90° ∵∠BDE是△BDQ的外角 ∴∠BDE＝∠DBQ+∠BQD＝2∠DBQ＝2∠BQD ∴∠DBQ＝∠BQD＝∠BDE＝15° ∴ ∠QBA＝∠ABD+∠DBQ＝75° 在Rt△BED中， ∴ ∴EQ＝ED+DQ＝+7＝ ∴点Q的坐标是（，）， 如图2，以点E为圆心，EQ为半径画弧交直线EQ于点，则点Q与点关于x轴对称，由轴对称性质知，∠BA＝∠QBA＝75°， ∴ 点也满足题意，点 的坐标为(，）， 故点Q的坐标为（，）或(，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数表达式，勾股定理等知识，构造合适的辅助线是解题的关键． 重难点二 已知角度关系求解 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接、、、，与相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)抛物线上存在点P，满足，则点P的坐标为__________． 【答案】(1) (2)点P的坐标是或 (3) 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可； （3）过点作轴于点，根据得到，可推出，由相似的性质进行即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴． 令， 则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：存在，点的坐标是． 理由：过点作轴于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知二次函数(a是常数，且)的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，并将图像中位于y轴左侧的部分作关于y轴的对称图像，该对称图像记为图像． (1)则点A坐标为 ，点B坐标为 ； (2)若直线是常数交图像于点D，E(点D在点E的左侧)，并与图像 交于点F，若 ，求a与m的数量关系； (3)当时，连接，图像上是否存在一点P，过点P作⊥直线，垂足为点Q，连接，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出x值即可解题； （2）由二次函数知，其对称轴为直线故设点则点则点的横坐标为： 则求出值解题即可； （3）证明得到求出点 ，即可求解． 【详解】（1）解：令 解得或 即点、的坐标分别为： 故答案为： ； （2）由题意得： ， 由二次函数)得，其对称轴为直线， 设点，则点则点的横坐标为 则 解得 ∴； （3）存在， 理由： 取则， 当时，时，， ∴点的坐标为， 由点、的坐标得， 设边上的高为， 则，即 解得 ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的表达式为： 设点， 点 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ，， ， ， 即 解得： 即点 将点的坐标代入得 解得：(舍去)或 ， 则 即点． 【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使的坐标为)或 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设，求出，直线函数表达式为，知，分为当点Q在直线下方时和点Q在直线上方时，分别求解即可． （3）过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，分两种情况：当在上方时，求出顶点，可得 ，故，有，而，即可得，从而证明，得，得，故，即可得 是等腰直角三角形，证明，有，设，则，解得，得直线函数表达式为，联法，可得；当在下方时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，过点Q作轴，交于点， 在中，令得， 解得：或， ， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：， ∴直线的函数表达式为， ， ， 当点Q在直线下方时：， 即，无解； 当点Q在直线上方时： ， 即，解得：或； 综上，此时，点Q的坐标为或； （3）解：存在点，使， 理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于， 当在上方时，如图： ， ∴顶点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ∵ 设直线函数表达式为，则， 解得， 故直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在下方时，同理可得， 可得函数表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，待定系数法等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，二次函数的图象经过和，交y轴于点，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F． (1)求此二次函数的解析式； (2)求面积的最大值及此时点D的坐标： (3)当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当点D的坐标为时，的面积最大，最大值为4； (3)M的坐标为或． 【分析】（1）将点A，B的坐标代入解析式，组成二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意作出图形，先证明，得到，可表达的面 积，设点D的横坐标为t，根据二次函数的性质可得出结论； （3）由（2）的结论可知，是等腰三角形，过点C作于点G，证明，根据全等的性质可得，求出直线的解析式，联立即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过和， ，解得：， 此二次函数的解析式为：； （2）解：如图： 轴， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ，即， 直线的解析式为， 设点D的横坐标为t， ，， ， 当时，最大，最大值为2， ， 当点D的坐标为时，的面积最大，最大值为4； （3）解：由（2）可知， ， ，即， 如图，过点C作于点G， 平分，，， ， 设N为x轴上一点，且， ，， ， ， 或， 当点时，直线的解析式为， 令， 解得：（舍去）或， ， 当点时，点M与点A重合，综上所述符合题意的点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等，解题关键是运用数形结合思想，分类讨论思想，熟练运用二次函数的性质求最值，通过设点的坐标，建立图形和数据的联系． 10．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【分析】（1）先求出二次函数的图象对称轴为直线，可得，根据，即可得，，再用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，画出图形可知，此时满足条件的有，两个；求出直线解析式为，求得直线解析式为；移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，故有两个相等的实数解，有，解得；当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，同理可得有两个相等的实数解，． 【详解】（1）解：点和点的纵坐标相同， 和关于抛物线的对称轴直线对称， 又二次函数的图象对称轴为直线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，， ，， 把，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 又， ， 过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，如图： 由平行线性质知， 由对称性知， ， 此时满足条件的有，两个； 由，可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得： ， ， 直线解析式为， 直线与直线关于轴对称， 直线解析式为， 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 此时有两个相等的实数解，即有两个相等的实数解， △， 即， 解得； 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 同理可得有两个相等的实数解， ， 解得； 综上所述，满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象与系数的关系，直线与抛物线的位置关系等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 11．（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点 ， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为 ，即 ， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，相似三角形、勾股定理解三角形，综合性较强，熟练掌握相关知识是解决这道题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②；③存在，． 【分析】（1）分别把与代入，再解方程可得答案； （2）①当与轴平行时， 则，再利用相似三角形的性质可得答案；②如图，过点作的平行线，交于点，可得，再利用相似三角形的性质可得答案；③假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，求解，设的解析式为，将代入解析式可得解析式为，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，可得方程， 解得或， ． （2）①当与轴平行时， ∴， ∴， ∵当， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点，   ， ，， ， ， 设， 设的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 的解析式为， ∴时，， ∴， ， 当时，取最大值为． （3）假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，   ， ，， ， ，， ， ， ， ， 设的解析式为，将代入解析式得：， 解得：， 解析式为， 令，解得或（舍）， 存在点满足题意，此时． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型二 三角形存在性问题 【等腰三角形存在性问题】 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 【直角三角形存在性问题】 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：① ，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 【等腰直角三角形存在性问题】确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 重难点一 等腰三角形-两定一动 13．（2023九年级·全国·专题练习）抛物线 经过点，现将一块等腰直角三角板按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点、坐标分别为、．点在抛物线图象上． (1)求点的坐标： (2)求抛物的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点点除外，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)抛物线的解析式为 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）根据题意，过点作轴，垂足为；根据角的互余的关系，易得到、轴的距离，即的坐标； （2）根据抛物线过点的坐标，可得的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分、是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 【详解】（1）解：(1)过点作轴，垂足为． ，， ， 又，， ， ，， 点的坐标为； （2）抛物线经过点，点， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为； （3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形： ①若以点为直角顶点； 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴， ， ， ， ， ， ； ②若以点为直角顶点； 则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 过点作轴，同理可证， ， 点， ③以为直角顶点的等腰的顶点有两种情况．即过点作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况②的点； 点也可能在轴左侧，即还有第③种情况的点．因此，然后过作轴于，同理：， ， 为； 经检验，点与在抛物线上，点，点都不在抛物线上． 综上，存在，点的坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，能力要求极高．解题的关键是利用分类讨论，数形结合的数学思想方法． 14．（22-23九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入解析式，待定系数法求解析式，进而令，得出点的坐标； （2）若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上，如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接，勾股定理得出，即可得出点的坐标，进而根据中点坐标公式得出点的坐标，待定系数法求解析式求得直线的解析式，联立组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵已知抛物线（）与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴； （2）存在， ∵， ∴， 若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上， 如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接， 则，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴， 设直线得到的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴点的坐标为：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 15．（24-25九年级上·海南·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识． （1）将点，代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可； （3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴①或②， 解方程①得，方程②无解 ∴； （3）解：∵点是轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或（舍去）； 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使为等腰三角形，或或或． 重难点二 等腰三角形-一定两动 16．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（）待定系数法即可求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的表达式； （2）过点作轴于点，交于点，由（1）知直线的解析式为，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点 (3)点的坐标为，或或，见解析 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，则，可得，设点，则点，由即可求解； （3）求出平移后的抛物线的表达式为：，则点，，设点，然后分、两种情况，列出等式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）令，则或3，则点， 由点、知，直线的表达式为：， 过点作轴的平行线交于点，则， 则，则， 则， 设点，则点， 则， 即的最大值为：，此时点； （3）平移后的抛物线的表达式为：， 则点，，设点， 则，，， 当时，则， 解得：， 则点的坐标为； 当时，则， 解得：或， 则点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 18．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、．设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接、，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为轴上方抛物线上的一个的动点，点为轴上的动点，是否存在这样的点和点，使得以为腰的等腰直角？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①，②存在，最大值为 ； (3)存在，或或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设点（），则点，则①；②，再运用二次函数性质即可求得答案；（3）设（），分两种情况：①当，时；②当，时，分别讨论计算即可． 【详解】（1）解：（1）把，代入得， ， 解得：     ， ； （2）当时，， 点 ， 设直线的表达式为：， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为：，       设点，则点， ① ， ②， ，故有最大值， ，有最大值是， 的面积的最大值是． （3）存在． 设（），分两种情况：①当，时，    过点作轴，过点、作，，垂足为、， 则， 是等腰直角三角形，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：，， 点坐标为或； ②当，，点在轴右侧时，    过点作轴，过点作，垂足为、， 则， 同理， ， ， 解得：（舍去），， 点坐标为； 当，，点在轴左侧时，    过点作轴，过点作，垂足为、， 则， 同理， ， ， 解得：，（舍去）， 点坐标为； 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，等腰直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形及运用分类讨论思想是解题关键． 重难点三 直角三角形 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 20．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．    (1)求拋物线及直线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)若点是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，进而求解； （3）设，可得，，，再由勾股定理得，列出方程求解即可． 【详解】（1）由点的坐标知，， ，故点的坐标为， 将点、、的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， 故抛物线的表达式为； 将点、的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得， 故直线的表达式为； （2）点、关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，    理由：由函数的对称性知，， 则为最小， 当时，，故点， 由点、的坐标知，， 则， 即点的坐标为、的最小值为； （3）存在 设， ∵，， ∴，，， ∵以点为直角顶点的， ∴， ， ，， ∴或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 21．（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)点横坐标为或 (3)存在， (4)存在，到轴的距离为 【分析】（1），，把，两点坐标代入即可求解； （2）过点作的平行线交抛物线左侧于点，可求直线的解析式为， ，即可求解；作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，同理可求； （3）设，由，即可求解； （4）过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于，可求， ，可证，可求，从而可求，过作轴，交轴于，可求，直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：； ，， 把，两点坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，过点作的平行线交抛物线左侧于点，此时   是的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， 作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，此时 同理可求直线的解析式：， 令， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴点横坐标为或． （3）解：存在，理由如下： 设， 又∵，， ∴， ， ， ， ， 即： 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． （4）解：存在， 如图，过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于．   ，， ，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ∴， ， ， 过作轴，交轴于， ， ， ， ， ，，   ， 设直线解析式为，则有 ， 解得： ， 直线解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴到轴的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握求法，判定方法及性质是解题的关键． 重难点四 等腰直角三角形 22．（20-21九年级·江苏·自主招生）如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么我们称抛物线与关联． （1）已知抛物线①，判断下列抛物线②；③与已知抛物线①是否关联，并说明理由． （2）抛物线，动点P的坐标为，将抛物线绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式． （3）点A为抛物线的顶点，点B为与抛物线关联的抛物线顶点，是否存在以为斜边的等腰直角，使其直角顶点C在y轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①、②关联，理由见解析；（2）或；（3）存在，（0，1）或（0，3+）或（0，3-） 【分析】（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案； （2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果； （3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解． 【详解】解：（1）∵①抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2的顶点坐标为M（-1，-2）， ∴②当x=-1时，y=-x2+2x+1=-1-2+1=-2， ∴点M在抛物线②上； ∵③当x=-1时，y=x2+2x+1=1-2+1=0， ∴点M不在抛物线③上； ∴抛物线①与抛物线②有关联； ∵抛物线②y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，其顶点坐标为（1，2）， 经验算：（1，2）在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的； （2）抛物线C1：的顶点M的坐标为（-1，-2）， ∵动点P的坐标为（t，2）， ∴点P在直线y=2上， 作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4， ∴点N的纵坐标为6， 当y=6时，， 解得：x1=7，x2=-9， ①设抛物C2的解析式为：y=a（x-7）2+6， ∵点M（-1，-2）在抛物线C2上， ∴-2=a（-1-7）2+6， ∴a=， ∴抛物线C2的解析式为：， ②设抛物C2的解析式为：y=a（x+9）2+6， ∵点M（-1，-2）在抛物线C2上， ∴-2=a（-1+9）2+6， ∴a=， ∴抛物线C2的解析式为：； （3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类： ①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F， 在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即∠ACH+∠BCH=90°， ∵∠ACH+∠CAH=90°， ∴∠CAH=∠BCH，又∠AHC=∠BFC=90°， 则△BCF≌△CAH（AAS）， ∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c-1）， 当点B在抛物线C1：y=上时，c-1=（c+2+1）2-2， 解得：c=1． ②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D， 同理可得：点B′的坐标为（-c-2，c+1）， 当点B′在抛物线C1：y=（x+1）2-2上时，c+1=（-c-2+1）2-2， 解得：c=3+或c=3-， 综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C1（0，1），C2（0，3+），C3（0，3-）． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，作出辅助线，证明，根据全等三角形的性质，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， 则 ， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P的运动可知： ， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， 又， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ，， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）解：存在．假设点M是线段上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，． ∵是等腰直角三角形，，， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴点M的坐标为， ∵点M在抛物线上， ∴， 解得：或（舍）， ∴M点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 24．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 25．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【分析】（1）由顶点公式求出即可； （2）先按照直线上下方分类，按照角度要求找出点P所在的直线，得到直线与抛物线交点为点P，利用特点求其正切值，可设点P的坐标，结合点C坐标，表示出值，再求出点P坐标； （3）先按照图中点Q的大致位置确定等腰直角三角形只有3种位置，再由等腰直角三角形构造三垂直全等，最后设长度表示出点Q、P坐标，代入函数求出点Q坐标． 【详解】（1），， 故； （2）， 点P存在如下图直线上下两种位置，，    ， 由点P在抛物线上，设点， 作于点， ， 解得或， 或； （3）当点Q在x轴上方左侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴上方右侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴下方时，存在以下三种情况： 当点Q在轴左侧时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    由等腰直角三角形得， ，， 设，， 则， 将点G代入得， 得，代入得：，得， ； 当点Q在轴右侧，点C下方时， 分别过点G、B作水平线交过Q的竖直线于N、M， 同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：， ； 当点Q在轴右侧，点C上方时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：，得 ； 综上所述点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数于几何结合的综合问题，包含特殊角和特殊三角形．通常求解抛物线上的点使角为特殊角，先找到满足角度关系的射线，目标点为抛物线与射线交点采用联立方程求出，当角度具有特殊情况时可结合相似、三角函数、全等构造出适合求出射线的方式，有时也可利用动点所在函数直接设动点坐标，表述出长度，来计算几何特性．构造等腰直角三角形时通常采用三垂直得到点的边长关系，再通过设元表示坐标代入函数求出点坐标． 重难点五 全等/相似三角形 26．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． （2）解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 27．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线上“不动点”的坐标为或 (2)； (3) (4)存在，点坐标为或． 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，令，求出不动点即可； （2）联立得，令，求出的值即可； （3）当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点，则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点，即可求解； （4）分点在抛物线内部和点在抛物线外部两种进行讨论，利用相似三角形的判定与性质求出点M的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得：或， ∴抛物线上“不动点”的坐标为：，； （2）解：联立得，即， 则， 解得； （3）解：由题意，设“不动点”所在的直线表达式为：，如图直线， 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点， 则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点， 联立和原抛物线得：， 则，则， ∴直线，当时，， ∴， ∵是的中点， ∴， 把代入，得：； （4）解：存在，理由： ∵，，， ∴，，， 则，即为直角三角形，且， ， ∴，， ∴， 设点， ①当点在抛物线内部时，过点作轴，交轴于点，作交的延长线于点， 则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点； ②当点在抛物线外部时，过点作轴，交轴于点，作于点， 同法可得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：点坐标为或． 28．（21-22九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是对称轴上的一个动点，是否存在点到点的距离与到点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是对称轴左侧的抛物线上的一个动点，点在射线上．是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接并延长与对称轴相较于点，即此时点使得与的差最大．求出C的坐标，求出直线的解析式，再求出F坐标即可； （3）先判断是等腰直角三角形．分两种情况讨论即可：①；②； 本题考查二次函数的解析式的求解，两线段距离之差的最大值，二次函数与相似三角形，熟练掌握二次函数图象性质和三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： 如图所示连接并延长与对称轴较于点，即此时点使得与的差最大． 对于二次函数，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵点在的图象上， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为； （3）存在，理由如下： 由（2），抛物线对称轴为直线：，设交x轴于N， ∴，即是等腰直角三角形， ∵轴， ∴易知也是等腰直角三角形， ∴． ①若，如图所示，过点作垂足为， 则，， 设横坐标为x，则， 则，即， ∴， ∴代入得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴此时点坐标为， ②若，如图所示， 设， 代入关系式得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 29．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 30．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，顶点为，直线经过点，且与抛物线交于点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)若为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，是否存在以为顶点的，使得和全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)不存在 【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，由抛物线过原点得到，从而求出的值即可得到答案； （2）假设存在，先求出两点的坐标，从而即可得到的长度，通过勾股定理的逆定理可得到，设，则，则可得到，分当时，当时，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为，即； （2）解：联立抛物线和直线解析式可得：， 解得：或， ， ，，， ， ， 假设存在满足条件的点，设，则， ， 轴， ， 和全等， 当时， ， ， 此时无解， 当时， ， ， 此时无解， 假设不成立， 不存在以为顶点的，使得和全等． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，三角形全等的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，三角形全等的性质，是解题的关键． 题型三 特殊四边形存在性问题 类型一三定一动 类型二：两定一动 【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想. 重难点一 平行四边形 31．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标（不写求解过程）． 【答案】(1)； (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （2）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ； （2）解：在二次函数图象上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： ， ， 由得，抛物线的对称轴为直线， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， 轴， ， 解得或， 点在抛物线上， 点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， 点的坐标为； 综上，在二次函数图象上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或． 32．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 33．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 34．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2)4， (3)存在，点Q的坐标为或或或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将、代入可得： ，解得：， 所以抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴ 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为． （3）解：∵，， ∴设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M， ∴M的横坐标为，则纵坐标为，即， 设， 如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 综上，点Q的坐标为或或或． 重难点二 矩形 35．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 36．（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 37．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 重难点三 菱形 38．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点． ①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值； ②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）二次函数的图象经过，对称轴经过点，运用待定系数法求解即可； （2）①根据二次函数与坐标轴的关系得到，，，直线的解析式为，设，则，则，根据二次函数最最值的方法得到当时，的面积最大，最大值为，如图所示，可得是定值，四边形是平行四边形，，此时，根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，可证，得到，设，则，在中，，即，则，由此即可求解； ②如图所示，点在点上方，四边形是菱形，得，即；如图所示，点在点下方，四边形是菱形，，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，对称轴经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：①二次函数中，令时，，则， 令时，， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，如图所示， ∴，，，且， ∵点为线段上一动点，轴， ∴，， ∴是定值， 如图所示，将连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，此时， 根据点到直线垂线段最短得到，当且三点共线时，的值最小， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②存在，理由如下， 如图所示，点在点上方，四边形是菱形， ∴，且，则，， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即，则， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴； 如图所示，点在点下方，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴； 综上所述，在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与线段，特殊四边形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数求图形面积，线段最小值的计算，相似三角形的判定和性质，二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理等知识的综合运用，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 39．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)为直角三角形． (2)，当时，四边形的面积为最大， ． (3)或或或或． 【分析】（1）先求解抛物线为：，可得，，结合，证明，即可得到结论． （2）由题意可得：，如图，连接，结合，再进一步求解即可． （3）设，分情况讨论：当时，如图， 当时，如图，当时，再结合菱形性质建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点， ∴， 如图，连接， ∴ ， 其中：， ∴当时，四边形的面积为最大，最大面积为， 此时． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∵以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当时，如图， ∴， 解得：， ∴， 当时，如图， ∴， 解得：， ∴或， 如图，当时， ∴， 解得：， ∴或， 综上：或或或或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，列函数关系式，菱形的性质的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 40．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在，， 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质： （1）令，时，分别代入，求得点，，的坐标，设抛物线的表达式为，将代入，即可求得答案； （2）作于点，交于，可得，可得，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案； （3）设，可得，，根据，可求得，结合， 即可就得答案． 【详解】（1）解：令时，代入， ∴ ． ∴． 令时，代入， ∴ ． ∴ ． ∵对称轴为直线， ∴． 设抛物线的表达式：，将代入，得 ． ∴． ∴抛物线的表达式为：． （2）如图所示， 作于点，交于． ∴，．     ∴． ∴． ∴当时， ． ∴． （3）存在，理由如下： 设． ∵，， ∴，． ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴，． ∴． 重难点四 正方形 41．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，的长为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，对称轴及对称点的特征，二次函数与几何图形的综合，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点式，得出对称轴，然后根据对称点的横坐标之差求解即可； （3）分类讨论，假设正方形的边长为，利用正方形的性质以及勾股定理，表示出相关线段的长度，然后联立解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由得，抛物线的对称轴为直线， 由点、得，两点是关于对称轴的对称点， 当时，， 此时； 当时，， 此时； ∴m的取值范围为； （3）解：是，的长为或，理由如下： 如图，此时四边形PQMN是正方形，点与点重合，直线在直线上方，直线平行于直线， 假设正方形的边长为， 由点和点可知，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 假设直线的解析式为， 将点和点代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， ， ∴， ∴根据勾股定理及等腰三角形的三边关系得， ， 解得或（舍去）， ∴； 当直线在直线下方时， 同理，得 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 42．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数 的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在该二次函数的图象上，试比较 和的大小，并说明理由； (3)点 P，Q在直线上，点 M在该二次函数图象上．问：在 y轴上存在点 N，使得以 P，Q， M，N为顶点的四边形是正方形．请直接写出 N 的坐标_________． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， ；理由见解析 (3)或或或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意求出和的大小，再作差，即可求解； （3）先求出直线的解析式，后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，；当时，；当时， ；理由如下： ∵点都在该二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴当，即时，，即； 当，即时，，即； 当，即时，，即； （3）解：设直线的解析式为， 把点和点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当为正方形的边时， ∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴点， ∴点N的纵坐标为， 即点， ∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）， ∴， ∴点N的坐标为； 如图，构造，其中， 同理， 设，则， ∴， 把点代入得： ， 解得：（舍去）， ∴， ∴点N的坐标为； 如图，构造，其中， 同理， 设，则， ∴， 把点代入得： ，解得：（舍去）， ∴点N的坐标为； 如图，构造， 同理，， 设，， ∴， 把点代入得： ，解得：（舍去）， ∴点N的坐标为； 当为正方形的对角线时， 如图，构造矩形，过点P作于点K，则轴， ∴， ∴， 设，则， 同理， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 把点代入得： ，解得：（舍去）， ∴点N的坐标为； 如图，构造，其中， 同理， 设，则， ∴， 把点代入得： ，解得：（舍去）， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或或 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 43．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)n的最大值为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据二次函数的对称性可得出，设，则，解方程组，求出，把代入，求出n关于t的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出直线表达式为，当在右上方时，如图，设直线与y轴交于点E，过B作于F，则，，根据正切的定义求出，则可求，进而求出直线表达式为，联立方程组，解方程组即可；当在左下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴， 设，则， 解方程组，得， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，n随t的增大而减小， 又， ∴当时，n有最大值为； （3）解：对于，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线表达式为， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， 当在右上方时，如图，设直线与y轴交于点E，过B作于F 则，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ∴直线表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，符合题意； 当在左下方时， 同理可求直线表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，不符合题意，舍去， 综上，当时，正方形的面积为2． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造等腰直角三角形解答． 题型四 其它存在性问题 44．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为、4，直线与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若函数的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有________个． 【答案】(1) (2)6 (3)4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）先求出A、B的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）根据平行面积转化，过的中点作的平行线，与抛物线的交点满足题意，再作该直线关于直线的对称直线，与抛物线的交点也满足题意，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入，得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，过的中点作的平行线，与抛物线的交点满足题意，再作该直线关于直线的对称直线，与抛物线的交点也满足题意； 即符合题意的点有4个； 故答案为：4． 45．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)填空： ，点M的坐标 ； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求直线的函数解析式及的度数； (3)点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3； (2)， (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，设平移后的直线的解析式为，把点M的坐标代入求出n，过点作于H，则直线的解析式为，构建方程组求出点H的坐标，证明，推出可得结论． （3）如图2中，过点G作于H，过点E作于K．证明，由题意，，推出，由，进而求解． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得， 解得或6， ∴， ∵直线经过点A， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3；； （2）解：如图1中，设平移后的直线的解析式． ∵平移后的直线经过， ∴， ∴， ∴平移后的直线的解析式为①， 过点作于H， 则直线的解析式为②， 联立①②并解得， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∴． （3）解：存在，理由： 如图2中，过点G作于H，过点E作于K． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 46．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 47．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ． (1)求点 A 的坐标． (2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数． (3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为，定值为4 【分析】（1）根据题意得到，，联立求出a、b的值即可求解析式； （2）先求出，再由抛物线与y轴的交点，可得，设，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M，可证明，则，即 ，解得，求出，再由，求出，所以轴，则； （3）平移后的新抛物线对应的函数解析式为，设直线对应的函数解析式为，则，设，，当 时，， ，得到，令，则，根据题意得到方程组，解方程组进而可得结论． 【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ 抛物线 与x轴只有一个公共点， 即 ， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线对应的函数解析式为 ， ∴点A 的坐标为； （2）解：∵点在抛物线上， ， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∵ 抛物线与 y 轴的交点C 的坐标为， ∴， ∴， ∴ 直线对应的函数解析式为，设点 ， 如图，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M， ∴，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， ∴，即 ， 解得 ， ， ， ， ∴， ∴轴， ∴； （3）解：存在，平移后的新抛物线对应的函数解析式为， 设直线对应的函数解析式为，则， 设，， 当 时，， ， ∴， ，， ， 令 ，则， ， ， ， 解得， ∴在y轴正半轴上存在一点Q，使得 为定值，定值为4，此时点Q的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，待定系数法求直线解析的方法是解题的关键． 48．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为_____，_______； (2)在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，圆的切线的性质，垂径定理以及勾股定理等知识，准确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点坐标确定抛物线的对称轴，设圆心，根据圆与轴相切得圆的半径为5，在中由勾股定理得，可得，得，把代入计算可得； （2）根据抛物线的对称性得，可得，由点在D点右边知，，过点作，交的延长线于点，则，，可求出，，得出，把代入得，故可得点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形； （3）连接，作点关于的对称点，作直线，则平分，可得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求解方程组，可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵圆与x轴交于、两点， ∴圆心在直线上， 设圆心，连接，设对称轴与x轴交于点，如图， ∵轴，与轴相切， ∴ 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴圆的半径为5，即， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为， 把代入得：． 故答案为：；； （2）解：根据抛物线的对称性得，得． ∵点在点的右侧，如图， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ∴点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形； （3）解：连接，作点关于的对称点，作直线交抛物线于点P，则平分， ∴， 设的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴的解析式为； 联立方程组， 解得或， ∴点的坐标为． 49．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C．点为二次函数在第四象限图像上一点，线段与交于Q，且．    (1)若，在点P运动过程中是否存在的情形？若存在请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (2)请继续探究，k的最大值是多少？并求出k取最大值时m和a之间的数量关系． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)k的最大值为， 【分析】（1）首先得到当时，，然后求出，，，然后求出所在直线的表达式，表示出所在直线的表达式为，然后联立得到，然后由时，，然后表示出，然后代入抛物线解析式利用根的判别式求解即可； （2）首先得到，，，然后证明出，过点P作交于点D，过点P作轴交于点E，证明出，得到，然后利用得到，然后表示出所在直线的表达式为，得到，，得到，进而得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由如下： 当时，二次函数 当时， 解得， ∴， 当时， ∴ ∴设所在直线的表达式为 ∴，解得 ∴所在直线的表达式 设所在直线的表达式为 ∴将代入得， ∴ ∴所在直线的表达式为 ∴联立得， 解得 ∴ 当时， ∴点Q是的中点 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴将代入 得， 整理得， 设 ∴ 整理得， ∴ ∴原方程无解， ∴不存在的情形； （2）解：∵二次函数 ∴当时， 解得， ∴， 当时， ∴ ∴，， ∴，， ∴ ∴ 如图所示，过点P作交于点D，过点P作轴交于点E    ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ 待定系数法得，所在直线的表达式为 ∵， ∴代入，得 ∴ ∴将代入得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，k有最大值． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图像与性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值的求法，关键是构造相似三角形，把线段的比值的最大值转化为二次函数的最大值进行解答，体现了转化思想． 50．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $