微专题03 二次函数与实际问题10题型（专项训练）数学苏科版九年级下册

微专题03 二次函数与实际问题 题型一 销售问题 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 1．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 (1)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）请根据以下实际生活素材，完成项目式学习任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某教具厂安排名工人加工一批教具，有“”“”两种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“”教具件，或“”教具件， 要求全厂每天加工“”教具至少件 背景 每天加工的教具都能销售出去，扣除各种成本，教具厂的获利情况为：“”教具：元/件；“”教具：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，列表如下： 教具种类 加工人数 (人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利 (元) 探究任务 任务 探寻变量关系 求之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 3．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）某种商品的销售单价（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）每件的成本（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低． (1)求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率； (2)求该商品销售单价关于销售月份的函数解析式； (3)在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润售价成本） 题型二 拱桥问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/喷水/投球类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． (1)求缆索所在抛物线的表达式； (2)同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 7．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 8．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 题型三 隧道问题 9．（2024·广东肇庆·一模）在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 10．（2024·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 11．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 题型四 喷水问题 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，一台移动喷灌设备喷出的水流可以近似的看作是形状不变的抛物线，喷水头的高度（即的长）是．当喷出的水流与的水平距离为时，达到最大高度． (1)求水流喷出的最远水平距离． (2)斜坡如图所示，斜坡的水平距离（即）为，竖直高度（即）为，一株高的大树在斜坡前方，大树顶端与所在直线的距离为．若要使该移动喷灌设备喷出的水流刚好经过大树的顶端，求该设备与坡底的距离． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）设计喷水方案 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米 素材 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置（），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面.经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线.其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为（如图4） 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围 15．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 16．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 题型五 投球问题 17．（2025·河南南阳·一模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 19．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 20．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题． 在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标； (3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值． 题型六 几何图形问题 求几何图形的最大面积，应在分析图形的基上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值. 一般方法解题步骤：1）设未知数(一般面积为S，边长为x，题目已设出未知数则省掉)； 2）根据题目条件列出面积S和边长x之间的关系式； 3）利用配方法求二次函数的最值. 【注意】在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 21．（2025·江苏·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 22．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 23．（2025·江苏无锡·模拟预测）为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为． (1)若矩形地的面积为，求的长： (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？ 24．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件， (1)若，求的长． (2)此矩形的面积是否存在最大值，若存在，求出此最大值，若不存在，试说明理由； 题型七 动点问题 首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 25．（2023·江苏苏州·一模）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 26．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，正方形的中心都在直线上，．正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止运动．设移动时间为，这两个正方形重叠部分的面积为，与的函数图象如图2．根据图象解决下列问题： (1) cm； (2)分别求 的值； (3)正方形出发几秒时，重叠部分的面积为 ？ 27．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1) ______； ______（用含t的代数式表示） (2) D是的中点，连接，t为何值时，有最值？的面积最值为多少？ 28．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 题型八 实物模型问题 将实物模型转化为函数图像，并利用函数的性质求解. 29．（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 30．（2025·青海·模拟预测）如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 31．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 32．（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 33．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 题型九 新考法问题 34．（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】 如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】 ①视差：物体目标点在左、右相机的视差． ②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区． ③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】 如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】 (1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm． ①当刚进入感光区，目标物到基线的距离 m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为． ③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 35．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）大自然中存在着许多数学的奥秘．比如，图1是一片美丽的心形叶片，它可以近似的看作是将一条抛物线的一部分沿着一条直线折叠而形成的． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，心形叶片的对称轴以下的轮廓线可以看作是二次函数的图象的一部分，已知该函数图象过点，，请求出该抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的长度 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴直线与叶片的交点分别为点A，点B，请求出叶片的长度； 【探究三】探究心形叶片的宽度 （3）如图4，在（1），（2）的条件下，点P为心形叶片对称轴上方的抛物线上的一点，过点P作对称轴的垂线，垂足为D，且与x轴交于点C，若，求叶片在此处的宽度． 36．（2025·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面． （1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）； （3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））． 37．（2025·湖北襄阳·模拟预测）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出a，b的值； ②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在到之间． 38．（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题    (1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 题型十 新情境问题 39．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：)与刹车后行驶的时间t(单位：)之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)若汽车刹车后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 40．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 41．（2025·四川南充·二模）2025年大年初一上映的电影《哪吒之魔童闹海》是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片，它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．在该电影中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面26，与点G的水平距离是2．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离5，城墙宽，城墙高． (1)求y与x之间的函数关系式（结果写成顶点式）； (2)通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ (3)为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），若士兵要想射中空中飞行的海妖，求k的取值范围． 42．（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离． 材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据． 【问题情景】(1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟． ①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物． ②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米． (2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m． ①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？ ②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线 中，的最大值是多少． 43．（2025·湖北襄阳·二模）利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．    素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 44．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）请根据所提供的信息，完成探究任务． 制定建设方案 信息 设计部：如图，一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成，对每个小正方形进行统一的建设， 在小正方形中，点、、分别在、、上，且，在、两个区域上种植不同的花卉，五边形内铺设地砖，并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑． 信息 工程部：在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元，铺设地砖的成本每平方米是元，每个雕塑费用为元． 信息 市场部：（1）投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案，中标价的利润率为；（2）甲、乙、丙三家公司参与投标，他们的投标价分别为元、元、元． 任务 建立数学模型 设长为，用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为______，铺设地砖的总成本为______，大正方形花坛建设的总成本为______；直接写出的取值范围为______． 任务 确定实施方案 你认为哪一家公司可以中标，并说明这家公司的实施方案即求的长． 45．（2025·山西·模拟预测）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 二次函数与实际问题 题型一 销售问题 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 1．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 (1)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)32000 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可； （2）根据某周该产品的销售量不少于800件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可； （3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系， ∴设， ∵由表格得：当时，；当时，， ∴代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵某周该产品的销售量不少于800件，由（1）得， ∴， 解得：， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元； （3）解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元， ∴， 设该商场每周销售这种产品的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∵该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）请根据以下实际生活素材，完成项目式学习任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某教具厂安排名工人加工一批教具，有“”“”两种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“”教具件，或“”教具件， 要求全厂每天加工“”教具至少件 背景 每天加工的教具都能销售出去，扣除各种成本，教具厂的获利情况为：“”教具：元/件；“”教具：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，列表如下： 教具种类 加工人数 (人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利 (元) 探究任务 任务 探寻变量关系 求之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务：；任务：；任务：安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具或者安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，能使每天总利润最大 【分析】任务：根据题意列出函数关系式即可； 任务：由题意可得“”教具平均每件获利为元，进而列出关于的函数表达式即可； 任务：根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意得，， ∴； 任务：由题意得，“”教具平均每件获利为元， ∴ ， 即； 任务：由（）得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵且为整数， ∴当或时，的值最大，此时或， ∴安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具或者安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，能使每天总利润最大． 3．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)300，5400 (2)每顶头盔应降价20元 (3)或4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据“每降价2元，平均每周可多售出40顶”列式求解即可； （2）设每顶头盔应降价元，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元，根据题意可得，知该函数图像的对称轴为，开口向下，根据当时，利润仍随售价的增大而增大，可知，进而解得，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出顶， 共获利元． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价元， 根据题意，可得， 整理可得，， 解得，， 当时时，售价为元； 当时时，售价为元； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元， 根据题意，得 ， 则该函数图像的对称轴为，开口向下， 当时，利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得， ∵，且为整数， 或4． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）某种商品的销售单价（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）每件的成本（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低． (1)求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率； (2)求该商品销售单价关于销售月份的函数解析式； (3)在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润售价成本） 【答案】(1)5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为； (2)； (3)5月销售这种商品，每件获得的利润最大． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为x，根据题意得：，然后进行计算即可； （2）利用待定系数法求一次函数解析式，即可得出答案； （3）利用待定系数法求二次函数解析式，然后设销售这种商品每件获得的利润是w元．再根据利润=售价-成本进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为； （2）解：设关于的函数解析式为． 把点与点代入中，得， 解得 ∴关于的函数解析式为； （3）∵抛物线的顶点坐标是， ∴设关于的函数解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴． 设销售这种商品每件获得的利润是元． 则． ∵该抛物线开口向下，对称轴是， ∴在对称轴的右侧，随的增大而减小． ∵， ∴当时，取最大值， ∴当时，取最大值， ∴5月销售这种商品，每件获得的利润最大． 题型二 拱桥问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/喷水/投球类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． (1)求缆索所在抛物线的表达式； (2)同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；难点是得到用n表示的两根吊杆的长度之和的函数解析式． （1）易得缆索所在抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）①把点A、D的坐标代入所给的抛物线解析式即可求得b和c的值； ②两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，用n表示出w，进而根据二次函数的性质可得n为何值时w最小． 【详解】（1）解：根据题意可知，缆索所在抛物线的顶点坐标为， 设缆索所在抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得：， 缆索所在抛物线的表达式为； （2）解：①缆索所在抛物线经过点和， ∴， 解得：； ②设两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，则在索塔右侧需安装的吊杆与之间的距离为， ， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，w最小． 答：索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】(1) (2)5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设顶点式，利用待定系数法求解； （2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 7．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 8．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 【答案】(1) (2)能成功，见解析 (3)方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将A、B、C坐标代入即可得出解析式； （2）根据题意，得出危险高度，安全最低高度，计算出安全的宽度，与方案牌匾长比较，计算判断即可． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，，设出圆的半径，本别表示出、、利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，； 水面宽，拱顶离水面， 顶点的坐标为，且抛物线经过点， 设该抛物线的函数解析式为d代入得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，得 危险高度，安全最低高度为， ∵， 当时，， 解得，； ∴匾额的最大长度为， ， 牌匾悬挂能成功挂上； （3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N， ， ∵，设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，， ∴， ∴， 方案的设计宽度为长度缩短为，宽仍然为， 故牌匾悬挂能成功． 题型三 隧道问题 9．（2024·广东肇庆·一模）在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【答案】(1) (2)通过隧道的车辆应限制高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 10．（2024·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键． （1）先根据坐标系确定点的坐标，然后用待定系数法即可解答； （2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 11．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 题型四 喷水问题 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，一台移动喷灌设备喷出的水流可以近似的看作是形状不变的抛物线，喷水头的高度（即的长）是．当喷出的水流与的水平距离为时，达到最大高度． (1)求水流喷出的最远水平距离． (2)斜坡如图所示，斜坡的水平距离（即）为，竖直高度（即）为，一株高的大树在斜坡前方，大树顶端与所在直线的距离为．若要使该移动喷灌设备喷出的水流刚好经过大树的顶端，求该设备与坡底的距离． 【答案】(1)水流喷出的最远水平距离为米； (2)该设备与坡底的距离为 ． 【分析】（1）如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由喷出的水流与的水平距离为时，达到最大高度，得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，解方程得到抛物线的解析式为，当时，即，解方程即可得到结论； （2）如图，过作于，过作于，于，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，证明，得，进而得，解一元二次方程求得，，，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵喷出的水流与的水平距离为时，达到最大高度， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∴ ∴抛物线的解析式为，当时， 即， 解得或 不合题意，舍去 ∴水流喷出的最远水平距离为米； （2）解：如图，过作于，过作于，于，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，或舍去， ∴，， ∴， ∴ ， 答∶该设备与坡底的距离为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）设计喷水方案 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米 素材 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置（），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面.经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线.其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为（如图4） 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围 【答案】任务.  任务2. 的最高高度为米  任务3. 【分析】本题考查二次函数的应用.用到的知识点为：二次函数的形状相同，且开口方向相同，则二次函数的二次项的系数相同. 任务.易得左侧抛物线的顶点坐标为以及点的坐标.用顶点式表示出所求的抛物线解析式，把点的坐标代入即可求得二次函数的二次项系数，即可求得抛物线的解析式； 任务.设长米，则点的坐标为.可设甲喷水头形成的抛物线解析式为：，根据任务中的抛物线解析式可得点的坐标，进而可得的长度，根据，可得的长度，即可求得点的坐标，代入所设的抛物线解析式，即可求得的值，也就求出了的最高高度； 任务.乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为： .用顶点式表示出乙喷水头喷出的抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而根据喷出的水柱高度不低于，取顶点的纵坐标不低于5可得的一个范围，进而根据水柱不能碰到图中的水柱，也不能落在蓄水池外面.取点的坐标代入所求的抛物线解析式可得的值，即可求得的取值范围，也就求得了喷水装置高度的变化范围. 【详解】解：任务.如图以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系. ∵、之间的距离为米， ∴点的坐标为 ∵水柱距水池中心处达到最高，高度为， ∴左侧抛物线的顶点坐标为 ∴设左侧抛物线的解析式为： ， 解得： ∴左边抛物线的函数表达式为： 任务.设长米， 则点的坐标为. ∵甲喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同. ∴甲喷水头形成的抛物线解析式为： 由任务得：左边抛物线的函数表达式为： 当时， 解得：(不合题意，舍去)，， ∴点M的横坐标为： ∵为， ， ， ， ， ∴点的横坐标是， ∴点G的坐标是( ， 解得：， ∴的最高高度为米； 任务.如图，建立平面直角坐标系，以轴左侧的抛物线为例， 设长米， 则点的坐标为. ∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点的高度差为， ∴乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：， ∵乙喷水头喷射与图中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同. ∴乙喷水头形成的抛物线解析式为： 把点的坐标代入得： 解得： 或 (不合题意，舍去)。 ∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：， ∵喷出的水柱高度不低于， ∴最高点的纵坐标不低于， ， 解得：， ∵水柱不能碰到图中的水柱，也不能落在蓄水池外面. ∴取点的坐标代入， 则 ， 解得： ， ， ∴喷水装置高度的变化范围为：． 15．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 16．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题； （2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度； （ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； （2）（ⅰ）对称轴为直线， ∴点对称点为， ∵平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点C是由点B向左平移得到的， ∴点C的坐标为，即， ； （ⅱ）， ∴点F的纵坐标为1， ， 解得或（舍去） ， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为 ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， 的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 题型五 投球问题 17．（2025·河南南阳·一模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞跃防御墙，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键； （1）①由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； ②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； （2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围； 【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且， ∴函数的最大值为10，即； ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴； ②石块能飞跃防御墙； 理由如下：由题意知，点B的坐标为； 由于防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，则； 对于，当时，， ∴石块能飞跃防御墙； （2）解：由于抛物线过原点，则， 即； ∴， 当抛物线过点时，，解得， 当抛物线过点时，，解得， ∴， 故要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），a的取值范围为． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能，的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点的坐标代入可得的值，取，看对应的的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的的值，进而根据的取值范围得到的值，取，得到的值，即可判断的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玫初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解：由题意得：小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______． 【答案】(1) (2)①8；②不经过点，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可； （2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标； ②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断； （3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线L的解析式为； （2）解：①令，由得，， ∴点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点，理由为： ∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是， ∴反弹后的抛物线的解析式为， 由①得，代入解析式中，得， 解得或（舍去）， ∴设反弹后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点； （3）解：联立方程组，解得    （舍去），， ∴点D坐标为， 由题意，设反弹后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴反弹后的抛物线解析式为， 联立方程组，解得（舍去），， ∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10， ∴挡板端点横坐标的取值范围为， 故答案为：． 20．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题． 在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标； (3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值． 【答案】(1) (2)坐标为 (3)符合条件的的整数值为7，8 【分析】（1）利用待定系数法确定函数即可得到答案； （2）根据题意，可得直线与轴的交点就是所求的点，如图所示，求出直线的解析式，得到直线与轴的交点即可得到答案； （3）根据题意，设接球点为点，点坐标为，如图所示，得到，将和代入，得到即可确定答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示： 的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 当时，解得，即直线与轴的交点为， 点坐标为； （3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球， 设接球点为点，点坐标为，如图所示： 则， 把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ， 符合条件的的整数值为7，8． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数图象与性质、直线的图象与性质、解不等式等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． 题型六 几何图形问题 求几何图形的最大面积，应在分析图形的基上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值. 一般方法解题步骤：1）设未知数(一般面积为S，边长为x，题目已设出未知数则省掉)； 2）根据题目条件列出面积S和边长x之间的关系式； 3）利用配方法求二次函数的最值. 【注意】在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 21．（2025·江苏·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 22．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 23．（2025·江苏无锡·模拟预测）为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为． (1)若矩形地的面积为，求的长： (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)的长为 (2)当时，S有最大值，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值等知识，解题关键是列出函数关系式． （１）设的长为，先用表示出的长，再列出关于为的一元二次方程求解，然后通过验根后作答； （２）设矩形的面积为，列出二次函数关系式，配方后结合自变量的范围求出最值． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， ， 答：的长为； （2）设矩形的面积为， 则， ， ， ， 当时，y随x的增大而减小 ∴当时，S有最大值，最大值为． 24．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件， (1)若，求的长． (2)此矩形的面积是否存在最大值，若存在，求出此最大值，若不存在，试说明理由； 【答案】(1) (2)存在，24 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x的取值和面积的最大值是解题关键． （1）设与交于点，由矩形的性质得出，先证明四边形是矩形，再证明，再根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列出比例式，求解即可； （2）设，矩形的面积为，根据矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质求出矩形面积的最大值． 【详解】（1）解：设与交于点， 四边形是矩形， ， 是高， 四边形是矩形， ， ， ，， 边，高，， ， ， ； （2）解：设，由（1）可知 ， ， ， ， 设矩形的面积为， 得， ， 时有最大值24， 即当时，矩形面积有最大值24． 题型七 动点问题 首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 25．（2023·江苏苏州·一模）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或时，的面积为； (2)四边形面积的最小值为． 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论； （2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； 由题意得：， 解得或， ∴或时，的面积为； （2）解：∵且， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是． 此时，四边形面积取得最小值，最小值为． 【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键． 26．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图1，正方形的中心都在直线上，．正方形以的速度沿直线向正方形移动，当点与的中点重合时停止运动．设移动时间为，这两个正方形重叠部分的面积为，与的函数图象如图2．根据图象解决下列问题： (1) cm； (2)分别求 的值； (3)正方形出发几秒时，重叠部分的面积为 ？ 【答案】(1)4 (2)， (3)3秒或5秒 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是通过图形获取信息，要理清图象的含义即会识图． （1）由这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，求出边长即可得出的长； （2）依题意，求出每段的函数解析式，运用函数解析式求出，的值； （3）把代入函数关系式为，求出时间即要可． 【详解】（1）解：当这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，得出小正方形的边长为， 所以． 故答案为：4． （2）依题意，可知 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是； 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是； 当时，与的函数关系式为，此时函数的取值范围是． 当时，得或，解得（负号舍去）或（正号舍去）， 即，． （3）当时，得，解得或． 所以正方形出发3秒或5秒时，重叠部分面积为． 27．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1) ______； ______（用含t的代数式表示） (2) D是的中点，连接，t为何值时，有最值？的面积最值为多少？ 【答案】(1)； (2)t为3时，的面积有最小值，最小值为9 【分析】（1）根据速度乘时间等于路程，列出代数式即可； （2）过点D分别作，分别交于点E，F，可得，四边形是矩形，从而得到，再由的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵D是的中点， ∴， 如图，过点D分别作，分别交于点E，F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最值为9 答：t为3时，的面积有最小值，最小值为9． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 28．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 题型八 实物模型问题 将实物模型转化为函数图像，并利用函数的性质求解. 29．（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1) (2)此时面碗中水面的宽度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可知点、点，设抛物线的表达式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知当与桌面的距离为时，则，然后代入二次函数解析式可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知点、点． 设抛物线的表达式为， ，解得； 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当与桌面的距离为时，则． 当时，，解得． ． 答：此时面碗中水面的宽度为． 30．（2025·青海·模拟预测）如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 31．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 32．（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【答案】(1) (2)运动员甲不能成功完成此动作 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）待定系数法求出解析式，即可； （2）先求出，再求出时的h值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ∴， ∴设函数表达式为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：3.5，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， 即运动员甲在水面上无法完成此动作， ∴运动员甲不能成功完成此动作． 33．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 题型九 新考法问题 34．（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法． 【结构认识】 如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 【概念学习】 ①视差：物体目标点在左、右相机的视差． ②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区． ③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）． 【原理感知】 如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略） 【灵活运用】 (1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母） ②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm． ①当刚进入感光区，目标物到基线的距离 m． ②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为． ③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)①B；②见解析； (2)；；； (3)①25；②；③． 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）①根据“盲区”的定义作答即可； ②利用感应区的定义作图即可； （2）根据题意用表示即可；根据【原理感知】找出相关量即可； （3）①先求出再根据计算即可； ②先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ③由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）①画出投影面边界如图所示： 由图可知除点外，盲区内还有点B， 故答案为：B ②如图所示∶ （2）如图3可知，同理可得用表示为，则与的关系为； 由图可知， ∴， ∵ ∴ 即 即； 故答案为：；；； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 则，必有一个为0 ∵ ∴ 此时 此时， 故答案为：25； ②， ， 可得，所在直线解析式为： ， 令， 得， 即 ． 当经过点的正上方时， 视差，此时， ， ∴抛物线与轴交点的坐标为， 即抛物线对称轴为直线， 当d出现最小值mm时， ∴抛物线顶点坐标为 设该抛物线的表达式为， 则 解得： 所以，抛物线解析式为； ③由， ，可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 35．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）大自然中存在着许多数学的奥秘．比如，图1是一片美丽的心形叶片，它可以近似的看作是将一条抛物线的一部分沿着一条直线折叠而形成的． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，心形叶片的对称轴以下的轮廓线可以看作是二次函数的图象的一部分，已知该函数图象过点，，请求出该抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的长度 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴直线与叶片的交点分别为点A，点B，请求出叶片的长度； 【探究三】探究心形叶片的宽度 （3）如图4，在（1），（2）的条件下，点P为心形叶片对称轴上方的抛物线上的一点，过点P作对称轴的垂线，垂足为D，且与x轴交于点C，若，求叶片在此处的宽度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）联立方程组求得点A、B坐标，再利用两点坐标距离公式即可求解； （3）延长交对称轴下方抛物线线与Q，过D作轴于E，过Q作轴于H，设对称轴交x轴于F，交y轴于T，由对称性质得，先推导出 ，证明，利用相似三角形的性质得到，将代入中求得t值，进而利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象过点，， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）联立方程组，解得，， ∴,, ∴， 即叶片的长度为； （3）延长交对称轴下方抛物线线与Q，过D作轴于E，过Q作轴于H，设对称轴交x轴于F，交y轴于T， 由对称性质得，，即， 当时，，当时，， ∴，，则， ∴， ∴，则， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 将代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键． 36．（2025·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面． （1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）； （3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））． 【答案】（1）（2）吊顶所需材料的面积约为（3）小红需要购买彩灯的总长度约为 【分析】本题考查二次函数的应用∶用到的知识点为∶待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系．理解题意选择恰当的方法是正确解答此题的关键． （1）根据题意画出平面直角坐标系，找到点的坐标为，点的坐标为．设抛物线的函数表达式为．代入坐标即可求解； （2）根据题意求得点的坐标为，点的坐标为．进而可求．即可求出吊顶所需材料的面积； （3）过点作，交的延长线于点．由题意，得，．证明∽．得，求得．进而可求答案． 【详解】解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系． ∵窑洞顶部最高点离地面，点离地面， ∴． ∴点，的纵坐标为． ∵， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点为抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为． ∵在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）∵离地面， ∴． ∴点，的纵坐标为． ∵点，在抛物线上， ∴将代入，得． 解得，． ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴． ∴吊顶所需材料的面积为． 答：吊顶所需材料的面积约为． （3）如图2，过点作，交的延长线于点． 由题意，得，． ∵，， ∴． ∴∽． ∴，则． ∴． ∴ 答：小红需要购买彩灯的总长度约为． 37．（2025·湖北襄阳·模拟预测）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出a，b的值； ②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在到之间． 【答案】(1)①，；②这两个位置之间的距离； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为在到之间，分别将，代入，求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得（舍去）， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当火箭落地点与发射点的水平距离在到之间时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得，； 将，代入，得 ， 解得，； ∴． 38．（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题    (1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 【答案】(1)； (2)①米；；②落点D在安全范围内． 理由见解析 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出x可得的长，从而求出即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为 又， 抛物线为； （2）①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ； 抛物线的解析式 ②由①得， 令， 或舍去 米． 又米， 落点D在安全范围内． 题型十 新情境问题 39．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：)与刹车后行驶的时间t(单位：)之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)若汽车刹车后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1)； (2)汽车刹车4后，行驶了72； (3)该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，见解析． 【分析】根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； 求当时的函数值即可求解； 先求解函数的最大值，即求得刹车后行驶的最远距离，进而比较大小可得答案． 【详解】（1）设． 将，，代入， ． ． ． （2）当时， ． 答：汽车刹车后，行驶了． （3）， 当时，，即汽车停下时，行驶了． ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的性质，正确求得函数表达式是解答的关键． 40．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 41．（2025·四川南充·二模）2025年大年初一上映的电影《哪吒之魔童闹海》是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片，它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．在该电影中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面26，与点G的水平距离是2．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离5，城墙宽，城墙高． (1)求y与x之间的函数关系式（结果写成顶点式）； (2)通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ (3)为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），若士兵要想射中空中飞行的海妖，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)海妖能成功跳到城墙上 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解决此题的关键． （1）由题意找到顶点坐标，然后找到与轴的交点坐标，利用待定系数即可求解； （2）先求出的坐标，然后求出时，抛物线上点的坐标，与进行比较即可得解； （3）求出直线与抛物线的边界值，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高， ∴，， 令得，，解得，（舍）或， ∵， ∴海妖能成功跳到城墙上； （3）解：∵，，E为的中点， ∴， ∴， ∴直线表达式为：， 当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得， ∴， ∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或， 又∵抛物线与的交点在点E的左侧， ∴． 42．（2025·江苏镇江·二模）【阅读材料】 材料1：驾驶员从发现前方危险到做出刹车或者变道反应需要一定的时间，称为反应时间，这个时间会因为多种因素而有所不同，一般在秒到秒之间．在这段时间内，车辆仍然会以原有速度行驶一段距离． 材料2：自动驾驶的汽车，在遇到前方有突发情况时，会紧急避障，紧急避障路径可以用一个函数来描述，但这个函数的具体形式会取决于所使用的避障算法和传感器数据． 【问题情景】 (1)情景1：一辆行驶的汽车，若发现正前方有障碍物，司机采取紧急刹车反应时间为1秒钟． ①若正前方障碍物在处，则该车采取积极刹车后______避免（填“能”或“不能”）撞上障碍物． ②若该汽车从开始刹车到完全停止的滑行距离为30米，在不考虑其他因素的情况下，该汽车与同车道行驶的前车至少要保持的安全车距为______米． (2)情景2：若一辆具有AI辅助驾驶功能的（具有紧急主动避障功能）小汽车在总宽为12m的单向车道上以向东行驶，已知汽车距离左侧路沿2m． ①如图1，汽车在点处雷达感应到在左侧路边前方20m处突然有一不明物体以一定的速度向正南方向移动，智能驾驶系统立即计算并改变了行驶轨迹，其行驶轨迹的函数（即汽车距离右侧道路的距离（米）与汽车向东水平前进的距离（米））的表达式为，当汽车向东水平前进的距离为时，不明物体向正南方向移动了，这辆小汽车此次避障算法是否安全可靠？ ②如图2，若该汽车继续行驶至某个时刻，汽车在距离左侧车道2米处的处感应到前方因为施工而设置的路障（点在左侧路边），此时汽车智能驾驶系统迅速根据收集的数据计算并设定了一条抛物线（顶点为点）的行驳路径（直至行驶到安全区域再向前直线行驶），并建立了如图所示的平面直角坐标系，通过汽车AI系统计算得到直线的表达式为．若汽车与路障最小安全距离为，为保证行驶安全，求汽车智能驾驶系统设定的抛物线 中，的最大值是多少． 【答案】(1)①不能；②50 (2)①可靠；②a的最大值为 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，解三角形，一次函数的平移等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①利用速度乘以时间得出反应距离，然后比较即可；②根据题意，反应距离加刹车距离即可求解； （2）①直接代入函数解析式确定，结合题意得出不明物体B在汽车正北方向2米，即可求解；②根据题意先确定，设直线与x轴交于点F，得出，由正切函数得出，设平行于直线的直线的函数表达式为，且与x轴交于点E，过点E作于点G，确定 ，得出，由待定系数法确定，根据题意当抛物线与直线相切时，a的值最大，联立两个函数求解即可． 【详解】（1）解：（1）①根据题意得：， ∴该车采取积极刹车后不能避免撞上障碍物， 故答案为：不能； ②根据题意得：米， 故答案为：50； （2）①当汽车向东水平前进的距离为时， ， ∵不明物体向正南方向移动了， ∴米， ∴此时不明物体B在汽车正北方向2米， ∴此次避障算法安全可靠； ②∵直线的表达式为， ∴当时，，解得：， ∴， 设直线与x轴交于点F， ∴当，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设平行于直线的直线的函数表达式为，且与x轴交于点E，过点E作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵汽车与路障最小安全距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得， ∴， 根据题意当抛物线与直线相切时，a的值最大， 设抛物线的解析式为， 令， 整理得：， ， 解得：， ∴a的最大值为． 43．（2025·湖北襄阳·二模）利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．    素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份． 任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价元份，则平均每天的销售量为_______份（用含的代数式表示）． 任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？ 任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】[任务]，；[任务]该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；[任务]售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务]根据题意列出代数式即可； [任务]由题意得，设涨价元份，，然后解方程即可； [任务]根据题意采取降价销售，每天的利润为，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份）， 若设降价元份，则平均每天的销售量为（份）， 故答案为：，； [任务]由题意得，设涨价元份， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元； [任务]∵尽快减少库存， ∴采取降价销售， ∴每天的利润为， ∵， ∴当时，每天的利润有最大值为元， 答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元． 44．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）请根据所提供的信息，完成探究任务． 制定建设方案 信息 设计部：如图，一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成，对每个小正方形进行统一的建设， 在小正方形中，点、、分别在、、上，且，在、两个区域上种植不同的花卉，五边形内铺设地砖，并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑． 信息 工程部：在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元，铺设地砖的成本每平方米是元，每个雕塑费用为元． 信息 市场部：（1）投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案，中标价的利润率为；（2）甲、乙、丙三家公司参与投标，他们的投标价分别为元、元、元． 任务 建立数学模型 设长为，用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为______，铺设地砖的总成本为______，大正方形花坛建设的总成本为______；直接写出的取值范围为______． 任务 确定实施方案 你认为哪一家公司可以中标，并说明这家公司的实施方案即求的长． 【答案】任务1：元，元，元， ；任务2：甲公司更容易中标． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： 任务：计算种花卉的总成本，需分别计算两个三角形和的面积，再结合各自的种植单价，将两者成本相加得到总成本．核心是利用三角形面积公式底高，把面积转化为含变量的表达式，再乘以单价计算成本．计算铺设地砖的总成本，地砖铺设区域为五边形，其面积需用小正方形的总面积，减去花卉种植的两个三角形面积和圆形区域面积．得到地砖面积后，乘以地砖单价即为总成本．核心是通过“总面积减非地砖区域面积”确定地砖面积．计算大正方形花坛建设的总成本，总成本为花卉种植成本、地砖铺设成本与固定成本元的总和．将前两问得到的成本表达式代入求和，化简后得到含的总成本公式．确定的取值范围，表示的长度，而点在上，长为，因此需满足大于且小于，即； 任务：根据利润率公式成本投标价利润率，先算出各公司对应的总成本，再代入总成本表达式解方程．结合的取值范围，判断哪个公司的方程有符合条件的解，进而确定中标公司及对应的长度即值． 【详解】解：任务：在中，， ∴的面积为，其种植成本为元． 在中，因为大正方形边长为，小正方形边长为，， ∴，， ∴，其种植成本为（元）． ∴种花卉的总成本（元）． ∵小正方形的面积为，的面积为，的面积为，以为圆心、半径为的圆的面积为， ∴五边形的面积 ∴铺设地砖的成本为元． ∵大正方形花坛建设的总成本 元． ∵在上，， ∴ ． 任务：甲公司更容易中标，理由如下： 甲公司：投标价元，元． 乙公司：投标价元，元． 丙公司：投标价元，元． ∵总成本 ，是二次函数，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，元，当时，元， ∴当时，总成本在元到元之间． ∵甲公司元、乙公司元、丙公司元，均大于实际最大总成本约元 又∵甲公司成本最低，与实际成本的差距最小，更可能满足条件． ∴甲公司更容易中标．为了节约成本，提高利润，故总成本越低越好，故． 45．（2025·山西·模拟预测）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 【答案】（1）；（2）不能覆盖着火点，理由见解析；（3）点D的横坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）由题意得，，，求得点，点，设此时抛物线的解析式为，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，据此求解即可； （3）设点，则点，设此时抛物线的解析式为，将代入即可求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴所在抛物线的解析式为，即； （2）不能覆盖着火点，理由如下， 由题意得，，， 对于， 令，则， 解得（舍去）或， ∴点， ∴点， 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为， 将代入得， 整理得， ∵， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $