专题12 解二元一次方程（组）（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题12 解二元一次方程组 目录 2 类型一、根据二元一次方程（组）的定义求参数 2 类型二、解二元一次方程组 2 类型三、解三元一次方程组 2 类型四、二元一次方程组特殊解法 3 类型五、同解问题 3 类型六、错解问题 3 类型七、已知方程组解的关系求参数 3 类型八、二元一次方程组唯一解、无解与唯一解问题 4 类型九、与解二元一次方程（组）有关的新定义问题 4 4 类型一、根据二元一次方程（组）的定义求参数 1）已知二元一次方程求参：①未知数的个数有两个，且系数不为0；②未知数的系数必须等于1；③出现高次时，高次的系数必须为0. 2）已知二元一次方程组求参：①两个一次方程，且两个方程总共未知数的个数有两个；②未知数的系数必须等于1；③出现高次时，高次的系数必须为0. 1．（22-23七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，原方程为， 当时，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（24-25七年级上·广西来宾·期末）已知是关于的方程的解，若是方程组的解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解方程及方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是关于的方程的解，则，又因为是方程组的解，则有，然后利用加减消元即可求解． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以， 即， 所以， 因为是方程组的解， 所以， ，得， 整理得， 因为， 所以， 所以． 3．（23-24七年级上·广西百色·期末）已知是方程组的解，求k和m的值． 【答案】k和m的值分别为2和3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值． 【详解】解：根据题意，把代入方程组，得 ，解得． 即k和m的值分别为2和3． 4．（22-23七年级下·四川资阳·期中）方程组的解是 ，求 ． 【答案】 【分析】把方程组的解代入原方程组，然后用一个未知数表示出另外两个未知数的值，再代入所求代数式． 【详解】解：把代入方程组， 得， ②①得：， 将代入①得：， 解得．     所以． 【点睛】此题较复杂，解答此题的关键是把一个未知数当做已知，表示出另外两个未知数，便可求解． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 【答案】(1) (2) (3)，，方程组属于上述集合． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）由前面方程组的解发现未知数x的值为一列自然数，对应的未知数y的值为x的相反数与1的和，从而可总结出规律得答案； （3）将代入原方程组求解，的值，再观察方程组的结构从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 把两个方程相加可得：， 解得：， 把代入上面一个方程可得：， 方程组1的解为； （2）根据方程组的解的变化规律可得： 方程组n为，解为； （3）∵， 将代入①得：， 解得， 把，代入②，得，解得， ∴该方程组及方程组的解属于上述集合． 【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的含义，方程组的解的规律探究与运用，理解题意，正确的归纳与总结规律是解本题的关键． 类型二、解二元一次方程组 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 5）当二元一次方程组的结构比较复杂,但又有一定的规律时,可以考虑利用换元法. 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】方程①中的系数为，适合用代入消元法； 的系数既不相等也不互为相反数，适合用加减消元法． 【详解】解：（1）由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，所以原方程组的解为 故答案为： （2）①②，得，解得． 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 故答案为：. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组特点选择代入消元法或加减消元法，将二元方程转化为一元方程求解． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入①，即可求解； （2）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入③，即可求解． 【详解】（1）解：由②，得， 把代入①，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解是 （2）由②，得，③ 把②代入①，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 8．（25-26七年级上·全国·周测）用合适的方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求出方程组的解即可； （2）利用加减消元法求出方程组的解即可； 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 （2）解：整理原方程组，得 ③-④，得． 把代入④，得，解得， 所以原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由可得：， 解得， 将代入①可得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：， 由可得：， 解得， 将代入①可得， 解得， ∴原方程组的解为 ． 类型三、解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解三元一次方程组的关键． （1）利用加减消元法计算即可； （2）利用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：①+②，得．④ 把③代入④，得，解得． 把代入③，得． 把代入①，得，解得 所以原方程组的解为 （2）解：①+③，得，解得． ②+③，得．④ 把代入④，得，解得． 把代入②，得，解得 所以原方程组的解为 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过①+②得到与的关系式，再与③联立求解； （2）通过②-①，③-②，得到与二元一次方程组达到消元的目的即可求解． 【详解】（1）解：由①+②，得．④ 由④-③，得，解得． 把代入③，解得． 把代入①，解得． 故原方程组的解为 （2）解：由②-①，得．④ 由③-②，得．⑤ 由⑤-④，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 12．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解： 得，， 得，， 得， 解得， 故，， 故方程组的解为． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案； （2）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， 方程组的解为：； （2）解： 由，得：． 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是． 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用消元法解方程组即可； （1）加减消元法解方程组即可 （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； ，得：，解得：， 把代入⑤，得：，解得：， 把，代入③，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：， ∴方程组的解集为：． 类型四、二元一次方程组特殊解法 15．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可； （2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，解得． 故原方程组的解为 （2）（2） ②×2-①，得，即． 把代入①，得，解得． 把代入，得． 故原方程组的解为 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握“消常数项法”解二元一次方程组是解题的关键． 16．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：设，， 方程组变形得： 整理得： 得：， 即， 把代入①得：， ∴， ，得， 解得， 把代入，解得， 解得：． 19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，以及二元一次方程组的特殊解法，先整理原方程组为，结合关于x，y的方程组的解是，则，然后解出，即可作答． 【详解】解：∵， ， 关于x，y的方程组的解是， 由得， 把代入， 解得， ∴， 解得． 类型五、同解问题 若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值. 20．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 21．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）将代入得出，解方程组，再将的值代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得： ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：将代入 ∴ 得，， 解得： 将代入得 解得： ∴ 22．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出方程组的解，进而可得a、b的值，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 把代入方程组得：， 解得：， ∴． 类型六、错解问题 看错方程组中某个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数的方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，所以，将错解代入到未看错的方程中，通过解方程来求得参数的值，将参数代入方程组，进而求得方程组的解. 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解． 【详解】解：由题意可知是的解， 于是可得，解得， 同理可得， 故原方程组为， 由①，得③， 把③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解；根据题意把，代入①得出，③．把代入③得，把②得出，即可求解． 【详解】解：把代入①得，即③． 把代入，得． 把③代入，得， 解得，把代入③得． 把代入方程得， 解得． 故． 25．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． （1）把代入①，能求出，把代入②，能求出； （2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （3）加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：（1）把代入①，得， 解得：； 把代入②，得， 解得， 所以甲把看成了1，乙把看成了3； （2）解：把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； ∴，； （3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：． 26．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 27．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号  （2）   （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得．   把③代入②，得．   整理得．   解得，即．   把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 类型七、已知方程组解的关系求参数 正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值. 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 29．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 30．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次方程，先利用加减消元法解方程组得到，再根据解方程即可． 【详解】解：， 由得， 代入①中，得， ∴该方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 31．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）问题：已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于x，y的方程组，再求m的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求m的值． … 请用2种不同的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】解法1：利用加减法求出，再代入，即可得到m的值； 解法2：得，，则，由得到，即可得到m的值； 解法3：解方程组得到，把代入，即可得到m的值． 【详解】解法1： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 解法2： 得，， 则， ∵， ∴， 解得； 解法3： 得，， 把代入①得，， 解得， ∴， 把代入得， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键． 类型八、二元一次方程组唯一解、无解与唯一解问题 消元后，将方程化为ax=b的形式，1）有唯一解，则a≠0；2）有无数解，则；3）无解,则 32．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟知方程组无解的含义．由第二个方程可得，将此式代入第一个方程可以得到一个关于解的方程，当分母为零时原方程组无解，即可得的值． 【详解】解：原方程组， 由（2）式得，代入（1）式得： ， 解得，当时原方程组无解，． 故选：D 33．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 34．（2024八年级上·全国·竞赛）方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 35．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值． (2)为何整数时，原方程组的解为正整数？ (3)小聪发现，无论取何值，方程总有同一个解；小明发现，存在一个实数，使得原方程组无解，求的平方根． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，求一个数的算术平方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）联立，解方程组求出x、y的值，进而可求出m的值； （2）可求出，根据方程组的解为正整数，是正整数，即，再讨论y的值，确定x的值，进而计算出m的值，看m是否为整数即可； （3）根据题意可得，根据无论取何值，方程总有同一个解，可得当时，，解得，则；求出，根据题意可得方程无解，则，据此求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴， ∴； （2）解： 由①得：， ∵方程组的解为正整数， ∴是正整数，即， 当时，，则，解得，不符合题意； 当时，，则，解得，符合题意； 当时，，则，解得，符合题意； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， ∵无论取何值，方程总有同一个解， ∴当时，，解得， ∴； 得：， ∵存在一个实数，使得原方程组无解， ∴方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 36．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 【详解】解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】因为方程组有唯一解， 所以，得． 故选：D． 38．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 【答案】(1)有无数个解；有唯一解 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义； （1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可； （2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误． 【详解】（1）解：对于第一个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有无数个解； 对于第二个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有唯一解． （2）解：∵ ∴二元一次方程组无解，故小明出现错误． 类型九、与解二元一次方程（组）有关的新定义问题 39．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 40．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．根据“友好关系”的定义可得这个方程组的解满足，与方程组中的第一个方程联立可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程组求出的值，然后代入方程组中的第二个方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 41．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 42．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”或，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 或， ①当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ； ②当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 综上所述，该方程组的解为或． 43．（23-24八年级上·重庆荣昌·开学考试）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）． 例如：，已知，． (1)求，的值． (2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)． 【分析】（）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到，的值； （）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组组的解法即可求解； 本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （2）将代入原方程组得：， 得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴的值为． 44．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 45．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法解方程组：； (2)方程组的解是______； (3)猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2) (3)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤 （1）（2）小题均根据验证条件中的解题方法解方程组，求出方程组的解即可； （3）根据（1）（2）两个小题的方程，直接写出方程组的解，再代入每个方程进行验证即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解是； （2）解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：方程组的解是， 证明：把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， 把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴原方程组的解是． 46．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 47．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，解二元一次方程组； （1）根据，进行计算即可求解； （2）根据，得出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据，列出方程组，求出方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 解得： （3）解：根据题中的新定义得： ①+②得：， 解得， 将代入①得 ∴ 48．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解二元一次方程组 目录 1 类型一、根据二元一次方程（组）的定义求参数 1 类型二、解二元一次方程组 2 类型三、解三元一次方程组 3 类型四、二元一次方程组特殊解法 4 类型五、同解问题 5 类型六、错解问题 6 类型七、已知方程组解的关系求参数 7 类型八、二元一次方程组唯一解、无解与唯一解问题 8 类型九、与解二元一次方程（组）有关的新定义问题 9 10 类型一、根据二元一次方程（组）的定义求参数 1）已知二元一次方程求参：①未知数的个数有两个，且系数不为0；②未知数的系数必须等于1；③出现高次时，高次的系数必须为0. 2）已知二元一次方程组求参：①两个一次方程，且两个方程总共未知数的个数有两个；②未知数的系数必须等于1；③出现高次时，高次的系数必须为0. 1．（22-23七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值： (2)求时，y的值． 2．（24-25七年级上·广西来宾·期末）已知是关于的方程的解，若是方程组的解，求的值． 3．（23-24七年级上·广西百色·期末）已知是方程组的解，求k和m的值． 4．（22-23七年级下·四川资阳·期中）方程组的解是 ，求 ． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 类型二、解二元一次方程组 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 5）当二元一次方程组的结构比较复杂,但又有一定的规律时,可以考虑利用换元法. 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列二元一次方程组： (1) (2) 8．（25-26七年级上·全国·周测）用合适的方法解下列方程组： (1) (2) 9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）解方程组． (1) (2) 类型三、解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程组： (1) (2) 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 12．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组： (1) (2) 类型四、二元一次方程组特殊解法 15．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 16．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 类型五、同解问题 若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值. 20．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 21．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 22．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，求的值． 类型六、错解问题 看错方程组中某个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数的方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，所以，将错解代入到未看错的方程中，通过解方程来求得参数的值，将参数代入方程组，进而求得方程组的解. 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 24．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值． 25．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 26．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 27．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 类型七、已知方程组解的关系求参数 正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值. 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 29．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 30．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 31．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）问题：已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于x，y的方程组，再求m的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求m的值．… 请用2种不同的方法解决上面的问题． 类型八、二元一次方程组唯一解、无解与唯一解问题 消元后，将方程化为ax=b的形式，1）有唯一解，则a≠0；2）有无数解，则；3）无解,则 32．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 33．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 34．（2024八年级上·全国·竞赛）方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 35．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值． (2)为何整数时，原方程组的解为正整数？ (3)小聪发现，无论取何值，方程总有同一个解；小明发现，存在一个实数，使得原方程组无解，求的平方根． 36．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（    ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 37．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 类型九、与解二元一次方程（组）有关的新定义问题 39．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 40．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 41．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 42．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 43．（23-24八年级上·重庆荣昌·开学考试）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）． 例如：，已知，． (1)求，的值． (2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 44．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 45．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得．将代入，得．所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法解方程组：； (2)方程组的解是______； (3)猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 46．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 47．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 48．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $