第二章 实数（复习课件）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了实数单元的平方根、立方根、实数分类及二次根式等核心知识，通过对比表格辨析平方根与算术平方根的异同，借助知识图谱串联概念、性质与运算的逻辑脉络，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如通过非负性求解例题培养抽象能力，结合“混天绫”实际问题提升运算能力，设计基础题与拓展题分层训练发展推理意识。这种设计既帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

单元复习课件 第二章 实数 北师大版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析 4 6 课堂总结 针对训练 1.了解实数与二次根式的相关概念,会应用概念和性质进行有关的运算. 2.通过平方根、立方根、算数平方根的表示，发展符号意识，通过二次根式的运算提高运算能力. 二次根式性质的灵活应用. 平方根的概念、性质及求法,二次根式的性质及运算. 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 考点一 平方根、立方根   平方根 算术平方根   区别 定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根. 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 个数 正数的平方根有两个 正数的算术平方根只有一个 表示方法 正数a的平方根表示为± 正数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根为一正一负，且互为相反数 正数的算术平方根一定是正数  联系 具有包含关系 平方根包含了算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根. 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根. 特殊值0 0的平方根与算术平方根均是0. 考点串讲 考点一 平方根、立方根 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根 正数的立方根是一个正数， 0的立方根是0， 负数的立方根是一个负数 表示方法 （a为任意数） 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 考点串讲 题型一 平方根、立方根 类型一 求一个数的平方根/立方根 【常考/易错】有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 例1． 的算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 1．计算的算术平方根为（   ） A． B．2 C．4 D． 2． 的平方根是 ；的立方根是 ． 3．若，则a的值是 ． 4．如果，那么的值是 ． B 题型剖析 题型一 平方根、立方根 类型二 利用算术平方根/二次根式的非负性求解 【总结】常见的非负数有三种形式： ①绝对值的非负性：任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②平方的非负性：任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③算术平方根的非负性：任何非负数a的算术平方根是非负数，即≥0且a≥0. 例2．若与互为相反数，则 【详解】解：∵与互为相反数， 即，∴，，解得：，， 则，故答案为：． 题型剖析 题型一 平方根、立方根 类型二 利用算术平方根/二次根式的非负性求解 例3．若，都是实数，且，则的立方根是 ． 【详解】解：由题意得 ，解得，∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：． 题型剖析 1．若a、b、c为的三边长，且满足，则c的值为______________ 【详解】解：∵， ∴，∴， ∴，即，则c的值为3或4或5. 2．若实数，，满足关系式，求的平方根． 【详解】解：结合被开方数为非负数，得， ∴，即，∴， 依题意， ∵，∴，∴即， ∴的平方根为． 针对训练 3．已知a，b，c满足， (1)求a，b，c的值； (2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由． （1）解：∵二次根式有意义，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴，解得． ∴； 针对训练 3．已知a，b，c满足， (1)求a，b，c的值； (2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由． （2）解：∵，， ∴以a，b，c为边能构成三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形是直角三角形的周长为， 该三角形是直角三角形的面积为． 针对训练 题型一 平方根、立方根 类型三 利用平方根/立方根的性质解方程 例4．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）， ， 即， 解得． 题型剖析 易错点：未分类讨论而导致结果缺失 1．已知的立方根是，，且，求的平方根． 解：∵的立方根是4，，解得：，， ∵，且，∴，故， ， 则的平方根． 2．解方程： 【详解】解： ∴或． 针对训练 3．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． （1）解： “混天绫”围成一个 面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ，解得或， ，， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ，， 能够完成新阵法． 针对训练 4．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为，∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得：， 即，∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 针对训练 题型一 平方根、立方根 类型四 平方根与立方根综合 核心思路：利用定义建立等式，通过方程求解。 例5．已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 解：∵的算术平方根为， ∴，则， ∵，而的立方根为， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． 题型剖析 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴ ，解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 1．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 针对训练 2．已知的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． （1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，，∴，， ∵，∴，即， ∵的小数部分为，∴； （2）解：∵， ∴的平方根为． 针对训练 3．若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 针对训练 定义 分类 无理数 ____________小数 叫做无理数 所有开方_______的数 化简后含有_____的数 具有___________的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数） 0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 某些三角函数 sin60°、cos20° 考点二 实数 无限不循环 5π，3+π， 开不尽 π 特点结构 考点串讲 题型二 无理数 类型一 无理数的识别 要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题. 例1．在，，，…，这50个数中，有理数的个数为，无理数的个数为，则 ． 【详解】解：∵是有理数， ∴个数中有个有理数，即，∴， ∴，故答案为：． 1．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩ (1)整数集合：（                ） (2)分数集合：（                ） (3)无理数集合：（                ） ③④⑥ ①⑨⑩ ②⑤⑦⑧ 题型剖析 题型二 无理数 类型二 无理数的估值 例2．若（为正整数），则 ． 【详解】解：， ，．故答案为： 题型剖析 1．比较大小： ．（填“”或“”） 2. 写出一个比√3大且比√10小的整数是____________． 已知，且m，n是两个连续的整数，则 ． 已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 2或3 9 7 针对训练 题型二 无理数 类型三 求无理数整数部分和小数部分 例3．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的算术平方根． 解题方法：确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是0． 题型剖析 1．任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数， 例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： (1)______，_____________； (2)______； (3)若，，则所有可能的值为______． 3 -3 （3） ，， ，， ， 或， 故答案为：或． 针对训练 考点二 实数 实数的分类： 考点串讲 考点二 实数 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行________和_________运算，再算________，最后算_________，如果遇到括号，则先进行________里的运算. 乘方 开方 乘除 加减 括号 考点串讲 题型三 实数的混合运算 类型一 实数与数轴 例1．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ． ∵正方形的面积为7，正方形的面积为9 ∴，即，∴故答案为： 1．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简： ． 解：由数轴可得：， 原式． 题型剖析 2．一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． （1）解：的长度为． 理由：根据题意，得，． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 针对训练 题型三 实数的混合运算 类型二 实数的混合运算 实数运算的“两个关键”： 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 例2．计算： (1)； (2)． 解：1）原式 ． （2）原式． 题型剖析 1．计算： 解：原式． 2．在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． （1）∵，， ∴ ∴的立方根是5； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴或． 针对训练 2．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 13 3．规定，若，那么 ． 16.4 4．有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 针对训练 5．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 【详解】解：原式 针对训练 二次根式的定义：一般地，我们把形如_________________的式子叫做二次根式，“”称为_____________，a叫做______________． 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是_______________； 2）二次根式相加，如有意义的条件是_______________ ； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是_______________ ； 4）二次根式与分式相加，如有意义的条件是_______________. 二次根式的性质： 考点三 二次根式 （𝑎≥0） 𝑎≥0 𝑎≥0且b≥0 𝑎>0 𝑎≥0且b＞0 考点串讲 题型三 二次根式 类型一 二次根式的识别 例1．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． C 1．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 题型剖析 题型三 二次根式 类型二 二次根式有意义的条件 例2．使代数式有意义的取值范围（        ） A． B． C． D． 1．在函数中，自变量的取值范围是 ． 2．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 3．已知满足，则的值为 ． 解决二次根式有无意义的关键： 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 且 D A 题型剖析 题型三 二次根式 类型三 利用二次根式的性质化简 例3．化简：（1） ， ；（2） ， ； （3） ， ；（4） ， ； （5） ， ；6） ， ． 【答案】（1）12，；（2），18；（3），； （4），；（5），；（6），． 题型剖析 二次根式乘法法则：两个二次根式相乘，把__________相乘，___________不变. 即： 二次根式除法法则：两个二次根式相除，把__________相除， __________不变. 即： 二次根式加减法法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为________________，再将被开方数___________的二次根式合并，即： 积的算术平方根： 商的算术平方根： 考点三 二次根式 被开方数 根指数 被开方数 根指数 最简二次根式 相同 考点串讲 题型四 二次根式的运算 类型一 最简二次根式/同类二次根式的识别 例1．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【判断二次根式是否为最简二次根式】 解题方法：判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式. 解题方法：判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. A D 题型剖析 1．在代数式，，，中（本题中所有字母均表示不含平方因数的正整数），最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 3．若最简二次根式与能进行合并，则 ． 4．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． D A 针对训练 题型四 二次根式的运算 类型二 二次根式的混合运算 例3．计算： (1)； (2)． 【学会总结】二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算__________，再算__________，最后算加减，有括号先算__________的； 2）灵活运用__________. 3）正确使用__________. 4）有些运算中__________可使运算简便. 乘方 乘除 括号内 运算律 乘法公式 约分 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型剖析 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． （1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 针对训练 2．计算： (1) (2) (3) (4) （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 针对训练 题型四 二次根式的运算 类型三 分母有理化 例4．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 分母有理化的思路：分母含根号乘上互为有理化的因式，得到分母不含根号.（易错点：分子漏乘该有理化因式）. 【详解】解： 题型剖析 1．比较大小：与． 【详解】解：， 同理，， ∵， ∴， ∴． 针对训练 2．化简下列各式： (1)______；______； (2)______；______；______； (3)（写出解答过程） 解： ． 针对训练 题型四 二次根式的运算 类型四 二次根式的化简求解 例5．先化简，再求值：，其中，． 求有关二次根式的代数式的值的“三步骤” 1）化简:化简代数式，字母表示的二次根式不是最简形式时，要将其化简； 2）代入:将字母表示的二次根式的值代入化简后的代数式； 3）计算:将结果计算并化简为最简形式. 解题方法：对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值. 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 题型剖析 1．已知实数x，y满足，求的值． 【详解】解：由非负数性质，，且， 故，即，， 代入表达式得：． 针对训练 2．化简，求值：已知，求． 解： 当时，原式． 针对训练 题型四 二次根式的运算 类型五 复合二次根式的化简 例6．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【详解】解：； 故答案为：． 题型剖析 1. 计算：． 解： ∵，，， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵，∴， ∴最后一项化简为： ． 针对训练 一、易错点分析 1）平方根与算术平方根混淆：易忽略算术平方根的非负性，比如误将写成±2，实则算术平方根只有2；同时要注意，负数没有平方根，若出现求(a>0)的情况，结果无意义。 2）立方根符号判断错误：虽然立方根的符号与被开方数一致，但在计算如时，易错误得出2，正确结果应为-2。 3）实数分类不清：常把无限循环小数归为无理数，或误将带根号的数都看作无理数，比如是有理数，因为它等于2。 4）非负性应用失误：在多个非负数相加和为0的问题中，容易漏掉某个非负数，比如对于，只考虑x-1=0，而忽略y+2=0。 课堂总结 一、易错点分析 5）二次根式有意义的条件忽略：在求解含二次根式的式子中字母取值范围时，忘记被开方数非负，比如求中x的范围，易漏掉x≥3。 6）最简二次根式判断错误：误将被开方数含分母或含能开得尽方的因数的式子当作最简二次根式，例如和都不是最简二次根式。 7）二次根式运算错误： 乘法运算中，忽略a≥0，b ≥0的条件，如计算 ，其实该式无意义。 加减法中，将非同类二次根式进行合并，比如误将+ 合并为。 8）化简错误：不考虑a的正负，直接写成a，而正确结果应为|a| ，需根据a的取值分情况讨论。 课堂总结 二、学习方法建议 1）夯实基础，吃透概念：对于平方根、立方根、二次根式等核心概念，要结合定义中的关键词深入理解，比如平方根的 “互为相反数”、二次根式的 “被开方数非负” 等，可通过对比表格等方式区分易混淆概念。 2）强化符号意识，注重细节：在进行开方运算和二次根式化简时，时刻关注符号的变化，尤其是负数参与运算的情况，多做针对性练习，形成条件反射。 3）多做错题，总结规律：建立错题本，将易错点分类整理，分析错误原因，定期回顾。比如将非负性应用错误的题目集中在一起，总结解题思路：先判断式子是否为非负数，再利用 “和为 0 则各部分为 0” 求解。 4）重视运算规范，步骤清晰：进行二次根式运算时，严格按照法则和步骤进行，先将二次根式化为最简形式，再进行加减乘除运算，避免因步骤跳跃导致错误。 5）结合数轴，直观理解：利用实数与数轴上点的一一对应关系，帮助理解实数的大小比较、绝对值等知识，通过画图加深对抽象概念的认识。 6）拓展练习，灵活应用：除了基础题，适当做一些综合题，如将二次根式与方程、几何知识结合的题目，提高知识的综合运用能力，同时培养解题的灵活性。 课堂总结 感谢聆听! 解题方法：利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根.求立方根的运算，一般先把式子化为的形式，当有的形式时，先把看成一个整体再进行开立方，从而求出未知数的值. 解题策略： 1）若，则； 2) 若，则. 解题方法：根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算的大小例如:因为25＜a＜36，则. 解题方法：判断一个式子是否是二次根式的方法： 同时满足： 注意：当被开方数是字母时，要根据字母的取值进行讨论. 复合二次根式的化简：对于复合二次根式，设法找到两个正数x，y（x＞y＞0），使，则 $