精品解析：广东深圳市南二外等校2025-2026 学年第二学期九年级测试 数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级测试数学试卷 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟． 第一部分 选择题 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 2. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的主视图是： ． 3. 如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在左右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出白色区域的频率，再运用频率即可求解． 【详解】解：∵指针指向灰色区域的频率稳定在左右， ∴指针指向白色区域的频率稳定在左右， ∴指针指向白色区域的概率在左右， ∴估算白色扇形区域的圆心角度数是：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A．，A错误． 选项B．与不是同类二次根式，不能合并，B错误． 选项C．，C错误． 选项D．，D正确． 5. 下列命题，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角定义，平行公理，平行线的判定与性质，逐个判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故A是假命题，不符合要求； B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶角，故B是假命题，不符合要求； C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是，根据同位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故C是真命题，符合要求； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论，故D是假命题，不符合要求． 6. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 7. 如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接AP，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：图①，作的直线是线段的垂直平分线，不能保证是等腰三角形； 图②，以点B为圆心，为半径画圆，交于点P，有，所以是等腰三角形； 图③，作线段的垂直平分线，交于点，有，所以是等腰三角形； 图④，作的直线是角平分线，不能保证是等腰三角形； 综上所述，图②与图③，作图是等腰三角形，答案选B． 8. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 第二部分 非选择题 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 代数式中的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得：， 解得． 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，一元二次方程的解法，掌握其概念是解决此题关键．根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得或， 当时，无意义， 故． 故答案为：6 11. 小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出四边形是平行四边形，所以，求出的面积，可求出与的面积，利用反比例函数的几何意义得出和的面积相等，从而得到，利用同底三角形的面积之比等于高之比结合等量代换求出答案． 【详解】解：连接，交轴于点，延长交的延长线于点， ∵过原点，设， ∵点与点关于原点对称，点与点纵坐标互为相反数， ∴， ∵轴， ∴点，点， ∴点与点关于原点对称， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，， ， 又∵， ∴， ∵， ∴，设两个三角形边上的高分别为， 即，则， ， 与及上两垂足间的线段组成平行四边形， ∴，， ∴， ∵轴，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 13. 如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作，交的延长线于点W，根据轴对称的性质得出，，，，进而证得，可证得，得到，进而得出，可证明，从而得出，然后设，则，再证得，从而，进而得出，，从而得出，再根据勾股定理得出，作，交于V，可推出，从而，可证得，从而得出，从而得出，进而得出结果． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点W， ∴， ∵沿着翻折后得， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，交于V， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】化简二次根式，零次幂，特殊角三角函数，负指数幂，再合并即可. 【详解】 ． 15. 先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可，要注意取2，3时分式无意义，故只能取1． 【详解】解： ； 取2，3时分式无意义， ∴当时，原式 16. 东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 17. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】（1）A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 （2）共有三种购买方案，具体方案见解析 【解析】 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 18. 如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G． （1）求证：是的切线： （2）若点D为的中点，求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）32 【解析】 【分析】（1）连接，先证，可得，则，即可证明； （2）连接，先证，再证，则，证出，即可得到结论； （3）延长交于点，得出，根据解，易求，再运用勾股定理求出，然后证明，可得，易求，的长，再解即可求的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， 是的直径，， ， ， ， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的有关知识、切线的判定、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运算相关性质和定理是解题的关键． 19. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 20. 综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： （1）如图，当点在边上时，求证：； （2）如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； （3）当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）①设交于点O，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则； ②先证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点G在对角线上时，过点作于，先证出点A，G，C，F在同一条直线上，再求出，，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点G在对角线上时，过点F作于M，过点E作于N，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质可得，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：绕点旋转得到， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：如图，设交于点， 四边形是矩形，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ； ②解： ， 在和中， ， ， ，即， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 四边形的面积为： ； 【小问3详解】 解：的长为或．理由如下： 点在矩形的对角线上时，分两种情况讨论： 如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， 点到的距离等于的长度， 由旋转的性质得：，，， ， ， ， 点，，，在同一条直线上， 在和中， ， ， ， ， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得：， ， 由勾股定理得：； 如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 由（1）②得：， 等腰三角形的三线合一， 在中，， 在中，， ，，， 由旋转的性质得：，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级测试数学试卷 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟． 第一部分 选择题 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在左右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 6. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接AP，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 第二部分 非选择题 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 代数式中的取值范围是_____． 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 11. 小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 12. 如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为______． 13. 如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 16. 东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 17. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 18. 如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G． （1）求证：是的切线： （2）若点D为的中点，求证：； （3）若，，求的长． 19. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 20. 综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： （1）如图，当点在边上时，求证：； （2）如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； （3）当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $