专题08 勾股定理的压轴题汇编（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题08 勾股定理的压轴题汇编 题型1 以弦图为背景的计算 题型4 最短路径问题 题型2 勾股定理的实际应用 题型5 全等三角形与勾股定理综合 题型3 垂美四边形 题型一 以弦图为背景的计算（共5小题） 1．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 3．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 5．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 题型二 勾股定理的应用（共8小题） 1．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ． 3．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、3、5，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 ． 4．如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 ． 5．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 6．你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， (1)求绳索的长度． (2)如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度． 7．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 题型三 垂美四边形（共2小题） 1．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 题型四 最短路径问题（共5小题） 1．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 2．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 4．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 题型五 全等三角形与勾股定理综合（共6小题） 1．如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以为直角边向下作等腰直角，其中，，连接． (1)和相等吗？请说明理由； (2)当时，求线段的长度； (3)、和具有什么数量关系？并说明理由． 2．探究与发现： 【问题提出】 如图1，在中，，，点为的中点，、分别为、上的点，且，探究、、三条线段之间的数量关系． 【初步思考】 小明同学的方法是：将绕点逆时针旋转得到，并连接．通过证明，从而得出结论． 【问题解决】 (1)请根据小明的思路，写出完整的证明过程； (2)直接写出、、三条线段之间的数量关系； (3)如图2，若点、分别在、的延长线上，其他条件不变，那么（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 3．如图，在中，，点在上，且． (1)画出将绕点逆时针旋转后的三角形； (2)若，求的长． 4．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：； (2)若，，．求的度数． 5．如图，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．          (1)如图1，试说明； (2)如图2，若，，，求的面积． 6．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 1．新情境  又到了一年一度的中秋节，公园的园艺师按如下方法新建造了一处如图所示的花坛，他们先以直角三角形的三边为直径分别向外作半圆，又将金色的菊花摆放至半圆内，若斜边，则摆放菊花的三个半圆的面积为 ． 2．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 3．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 4．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 5．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 6．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 7．如图，在四边形中，于．若________，________，则________．    (1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理的压轴题汇编 题型1 以弦图为背景的计算 题型4 最短路径问题 题型2 勾股定理的实际应用 题型5 全等三角形与勾股定理综合 题型3 垂美四边形 题型一 以弦图为背景的计算（共5小题） 1．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 2．如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：A． 3．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为大正方形的面积为49， 所以大正方形的边长为7， 则由勾股定理得，． 故①正确． 因为小正方形的面积为4， 所以小正方形的边长为2， 则． 故③正确． 大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴每个直角三角形面积为， ， ∴， 所以（舍负）． 故②错误． 故选：C． 4．（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可； （4）延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形，设，根据勾股定理得到，求得，，根据矩形的面积公式列方程得到，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是， 故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点， 则四边形是正方形， 设， ，， ， ， ，， 矩形的面积为 ， 解得：或， 或， 当时，， 当时，， ． 故答案为：． 5．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1)见解析 (2) (3)①② 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 题型二 勾股定理的应用（共8小题） 1．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： 3．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、3、5，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识．根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 4．如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为 ，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键. 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 观察，发现规律：，， ∴ ． 当 时，． 故答案为：． 5．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的知识是解答本题的关键； 本题需要先分别求得，，，然后找到规律，即可求解； 【详解】解：由勾股定理可得：，，，， ∴， 故答案为：； 6．你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， (1)求绳索的长度． (2)如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设绳索的长度为，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质得到，则由勾股定理可得，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设绳索的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：绳索的长度为； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴， 答：秋千荡到时踏板离地面的高度为． 7．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 题型三 垂美四边形（共2小题） 1．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，进而根据，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ； 故答案为： 题型四 最短路径问题（共5小题） 1．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 2．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 4．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理． 根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意有以下路线 路线一，如图1， 路线二，如图2， 路线三，如图3， ∵， ∴最短距离为． 故答案为：． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 题型五 全等三角形与勾股定理综合（共6小题） 1．如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以为直角边向下作等腰直角，其中，，连接． (1)和相等吗？请说明理由； (2)当时，求线段的长度； (3)、和具有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)和相等，理由见解析 (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得出相等边和角，利用证明，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出，然后根据等面积法进行求解即可； （3）根据勾股定理求出，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：和相等，理由如下： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理得，， ∵， ∴根据等面积法得，； （3）解：由（1）得， ，， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． 2．探究与发现： 【问题提出】 如图1，在中，，，点为的中点，、分别为、上的点，且，探究、、三条线段之间的数量关系． 【初步思考】 小明同学的方法是：将绕点逆时针旋转得到，并连接．通过证明，从而得出结论． 【问题解决】 (1)请根据小明的思路，写出完整的证明过程； (2)直接写出、、三条线段之间的数量关系； (3)如图2，若点、分别在、的延长线上，其他条件不变，那么（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出全等三角形，再根据等边及等角证得，，即可得出结论； （2）由（1）的证明过程可直接得出结论； （3）根据旋转的性质得出全等三角形，再根据等边及等角证得，由等角证得平行线，进而求得，得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，将逆时针旋转得到，并连接， ， ，，， ，， ， ， 故， ， 由于逆时针旋转得到， 故、在一条直线上， 又， ， 在和中， ， ， ． （2）由（1）知，． （3）当点、分别在、的延长线上时，如图所示， 将逆时针旋转得到，并连接， ， ，，， ， 故， ， 由于逆时针旋转得到， 故、在一条直线上， 又， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行线的性质与判定，解题的关键在于理解旋转和全等三角形的性质，牢记“旋转必出全等”． 3．如图，在中，，点在上，且． (1)画出将绕点逆时针旋转后的三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形，用勾股定理解决问题是解本题的关键． （1）根据题意画出，使，连接，则即为所作； （2）由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解: 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如上图所示： ∵，， ∴， ∴， 又 ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：； (2)若，，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由旋转可知，，结合等边三角形的性质，证明，可得结论； （2）连接，作垂直于，交的延长线于，由旋转可知，是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形，则， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴． 5．如图，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．          (1)如图1，试说明； (2)如图2，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键． （1）延长至点，使得，连接，，易证和，可得，，即可求得，根据勾股定理即可解题； （2）连接，易证，即可证明，可得，，，再根据的面积，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接，， ，， 垂直平分， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， ； （2）解：如图，连接， ，是中点， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 的面积． 6．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）通过旋转易得等腰直角和直角，继而得解； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，求出，即的长，再求出是等边三角形，根据等边三角形性质可得，求出，然后求出点C、O、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到． 【详解】（1）解：由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴； （3）解：如下图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针方向旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点C、O、、四点共线， 在中，， ∴． 1．新情境  又到了一年一度的中秋节，公园的园艺师按如下方法新建造了一处如图所示的花坛，他们先以直角三角形的三边为直径分别向外作半圆，又将金色的菊花摆放至半圆内，若斜边，则摆放菊花的三个半圆的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记定理与圆的面积的求法是解题的关键．根据勾股定理可得，然后根据阴影部分的面积为三个半圆的面积之和即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为， 故答案为： 2．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 3．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 【答案】39 【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【详解】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 4．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 5．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 在中，（米． 最短路径为17米． 故答案为：17． 6．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）24 【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）根据题意得到，整理即可得结论； （3）由（2）得到，由旋转得到，求出，由得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）， ， ； （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在四边形中，于．若________，________，则________．    (1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，，，求的面积． 【答案】(1)①②③或①③②或③②①，理由见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解． （1）延长，过点C作于F，根据，情况一：，得出，推出，得出，即可得出平分；情况二：根据角平分线的性质得出，推出，则，即可推出；情况三：根据角平分线的性质得出，根据，，推出，进而求证，即可推出． （2）根据，得出，易得，通过证明，得出，则，最后三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：延长，过点C作于F，    情况一：已知：在四边形中，于，若①，②，求证：③平分． 理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； 情况二：已知：在四边形中，于，若①，③平分，求证：②． 理由如下： ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 情况三：已知：在四边形中，于，若③平分，②，求证：①． 理由如下： ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①②③或①③②或③②①． （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $