专题07 等腰三角形求最值综合汇编（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题07 等腰三角形求最值综合汇编 一、单选题 1．等腰三角形中，，E是高上任意一点，，，，那么线段的最小值是（   ） A．5 B．3 C． D． 2．如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，已知，点P是内任意一点，周长的最小值是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则的长是 （    ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰三角形中，，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线，点 E 为直线上任意一点，点 D 为的中点，连接，．若的面积为12，，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 6．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 7．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 8．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 9．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B．1 C． D．2 11．如图，中，，，． D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E ，F，则线段长的最大值为（      ） A． B． C． D．4 二、填空题 12．如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 13．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 14．如图，已知的周长是24，且，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 15．如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 16．如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 17．如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 ． 18．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为，斜边的端点分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长度的最大值是 ． 20．如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 ． 21．如图，，平分，垂直平分，交于点，为上动点，当时，则的最小值是 ． 22．如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是 ． 23．如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ． 24．如图，在中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点．当取最小值时，的值为 ． 25．如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为 26．如图，中，，为底边的中点，，的垂直平分线交于点，交于点．为线段上一点，则的最小值为 ． 27．如图，在中，，，面积为24，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 28．如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为是射线上一动点，是线段上一动点．当的值最小时，，则此时的度数为 ，的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等腰三角形求最值综合汇编 一、单选题 1．等腰三角形中，，E是高上任意一点，，，，那么线段的最小值是（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，作于，由等腰三角形的性质可得，，，，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，再由三角形面积公式计算得出的长即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于， ， ∵等腰三角形中，，E是高上任意一点， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：C． 2．如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键，连接，证明，进而得到，得到点在以为顶点，一边为的30度角的另一边上运动，根据垂线段最短，得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，     ∴， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时，， ∴的最小值是2， 故选：C． 3．如图，已知，点P是内任意一点，周长的最小值是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点N、M，连接，此时周长的最小，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点N、M，连接，此时的周长最小， ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵周长的最小值是， ∴， ∴， 即的长是． 故选：A． 4．如图，在等腰三角形中，，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线，点 E 为直线上任意一点，点 D 为的中点，连接，．若的面积为12，，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，三角形三边关系，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，垂直平分，连接，先通过三角形的面积，求得，然后根据，那么当且仅当三点共线时，最小，且最小值为，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，连接，如图所示： ，是的中点， ， 的面积为12，， ， 垂直平分， ， ， 当且仅当三点共线时，最小，且最小值为， 则的最小值为8， 故选：C． 5．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 6．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形性质，角平分线等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短路径问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 7．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即 ，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 8．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，先根据线段的垂线段的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．掌握线段想垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：， 故选：D． 9．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 故选：D． 10．如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 由旋转性质得，， ， ∵三角形是等边三角形，是等边的高线， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时最短， ，， ∴在中，， ∴线段长度的最小值是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 11．如图，中，，，． D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E ，F，则线段长的最大值为（      ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及不等式的应用．利用特殊直角三角形的性质，确定的长度，再利用线段垂直平分线的性质，设，并根据直角三角形的性质求解的最大值． 【详解】解：过点F作于H，连接， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，， 当点、重合时，， ∴，解得， ∴的最小值为，的最大值为． 故选：C． 二、填空题 12．如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．过点B作于点E，交于点F，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 过点B作于点E，交于点F，连接， 根据垂线段最短可知此时取得最小值， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边的边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是等腰三角形三线合一的性质，轴对称−最短路线问题连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 14．如图，已知的周长是24，且，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 15．如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点，则，因为，所以，求得，连接交于点，交于点，连接、，则，所以，由，可知此时的周长最小，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ， 连接交于点，交于点，连接、，则， ， ， ， 此时的周长最小， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查轴对称最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 17．如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的性质，正确作出辅助线． 延长至使，证明，可得，根据垂线段最短，可知当时，最小，由含角的直角三角形的斜边与直角边的关系，可得线段的最小值． 【详解】延长至使， ∵，， ∴，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线绕点逆时针旋转的直线上，当时，最小； ∵， ∴， 当时，， 故答案为：． 18．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得 ，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值， ∵，，，点M、N分别是，的中点， ∴ ，， ∴的最小值为． 故答案为：. 19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为，斜边的端点分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理、含角的直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识．取的中点，连接、．根据含角的直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时． 故答案为：． 20．如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为直线上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 即线段的最小值为． 故答案为：． 21．如图，，平分，垂直平分，交于点，为上动点，当时，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，当时，最短，由垂直平分，则，，通过角平分线定义可得，证明，所以，从而有，然后由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，当时，最短， ∵垂直平分， ∴，， 又∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 22．如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，垂线段最短等知识点． 将绕点顺时针旋转得到，连接，得到为等边三角形，，则，那么当点落在上，最小，则当时，取得最小值，则周长取得最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转得到， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点落在上，最小， ∴当时，取得最小值，则周长取得最小值，如图： ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 23．如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取的中点O，连接，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值求得答案即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ， 解得：， 取的中点O，连接， 在中，， 在中，， 当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值， 此时，， 故答案为：． 24．如图，在中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点．当取最小值时，的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由三线合一性质得到，则，根据垂线段最短性质可知当时，取最小值，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵是的中点， ∴平分， ∴， ∴， 当时，取最小值，此时， ∴， ∴． 故答案为：3． 25．如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，延长、交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 故答案为： 26．如图，中，，为底边的中点，，的垂直平分线交于点，交于点．为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，由中垂线的性质，得到，进而得到，由三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 27．如图，在中，，，面积为24，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先连接，利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为6，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为6， ∴周长的最小值为． 故答案为：10． 28．如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为是射线上一动点，是线段上一动点．当的值最小时，，则此时的度数为 ，的长为 ． 【答案】 /90度 13 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解． 【详解】解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P， 则， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可知，的最小值为， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：：13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 8 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $