专题06 等腰三角形六大压轴题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题06 等腰三角形六大压轴题型 题型1 等腰三角形的个数存在性问题（选择填空） 题型4 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题 题型2 等腰三角形图形的规律（选择填空） 题型5 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题 题型3 等腰三角形与全等三角形综合（选择填空） 题型6 全等三角形与截长补短综合 题型一 等腰三角形的个数存在性问题（共3小题） 1．如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，平面直角坐标系中，x轴上有一点A，y轴上有一点B，，若要在坐标轴上确定点P，使得是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 题型二 等腰三角形图形的规律（共2小题） 1．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 题型三 等腰三角形与全等三角形综合（共6小题） 1．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，为中点，分别是两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④分别表示和的面积，则，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②④ C．①④ D．①③④ 3．如图,中,于平分，且于点E，与相交于点于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是(    ) A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4．已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与相交于两点，则以下结论：①；②与的长度和为定值；③四边形的面积保持不变；④的长度保持不变；⑤的周长保持不变．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①③④ D．①②⑤ 题型四 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（共3小题） 1．在等边三角形中，是边的延长线上一点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 2．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 3．小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． (1)问题思考在图①中，求证：； (2)问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） (3)问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 题型五 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（共3小题） 1．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由． 3．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 题型六 全等三角形与截长补短综合（共4小题） 1．利用轴对称的性质可以方便地解决一些数学问题，如图，在中，，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则 由此，我们可以得到，在一个三角形中，大边所对的角较大．类似的，应用这种方法，解决下面的问题： 在四边形中，点是边的中点． (1)如图，若平分，则线段，，的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． (2)如图，平分，平分，若，则线段，，，的长度满足怎样的数量关系？（直接写出答案） 2．（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．问题提出：已知，在四边形中，对角线平分， ，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 4．综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 1．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)过P点作，求证：是等边三角形； (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； (3)当时，直接写出的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形六大压轴题型 题型1 等腰三角形的个数存在性问题（选择填空） 题型4 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题 题型2 等腰三角形图形的规律（选择填空） 题型5 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题 题型3 等腰三角形与全等三角形综合（选择填空） 题型6 全等三角形与截长补短综合 题型一 等腰三角形的个数存在性问题（共3小题） 1．如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 故选：C． 2．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 3．如图，平面直角坐标系中，x轴上有一点A，y轴上有一点B，，若要在坐标轴上确定点P，使得是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，分类讨论：时，时，时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】解：如图， ①当时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P． ②当时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与时的x轴正半轴的点P重合． ③当时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB=BP时的y轴负半轴的点P重合． 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故选：C． 题型二 等腰三角形图形的规律（共2小题） 1．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，根据性质得到边长与的关系是解题的关键．由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的性质可知，进一步可证，同理可证，，，归纳可得，最后代入即可得解． 【详解】解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， 的边长为． 故选：C． 2．如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型和等边三角形的性质，通过等边三角形的性质以及所给的线段关系，找出等边三角形边长的规律，进而求出指定等边三角形的边长。涉及到等边三角形三边相等、三个角为以及等腰三角形的性质等知识点． 【详解】解：∵等边的周长为3， 设等边的边长为，则， 所以，； ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴，即； 同理可得：，，，⋯⋯， 所以，的边长， 故答案为：． 题型三 等腰三角形与全等三角形综合（共6小题） 1．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． ①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：C． 2．如图，在中，，为中点，分别是两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④分别表示和的面积，则，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】证明，即可判断①； 因为的周长，而，但长度不固定，所以的周长不确定，可判断②； 由，，可得，由三角形内角和可得，，则，又，可判断③； 当时，，此时最小，当或与重合时，此时最大，即可判断④． 【详解】解：∵，为中点， ． ，， ． ∴． ， 又， ，故①正确； ，故， 又，分别是两边上的动点， 长度不固定， 故值不确定， 即的周长无法确定，故②错误； ， ∴， 由三角形内角和可得，， ∴， 又， ∴，故③正确； 当时，又， ∴， ∴，此时最小， ∴， 故， 当或与重合时，此时最大， ∴， 故，故④正确． ∴①③④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形面积的求法，掌握以上知识是解题关键． 3．如图,中,于平分，且于点E，与相交于点于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是(    ) A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键. 根据，可得,从而得到,故①符合题意；再由,可得，从而得到,故②符合题意；然后根据,可得,从而证得,可得到,故③符合题意；再由平分,可得,可得到,故④符合题意. 【详解】解：∵, ∴， ∵， ∴， ∴,故①正确； ∵, ∴， ∴， ∴,故②正确； ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴,故③正确； ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∵， ∴, ∴,故④正确； 故选：D. 4．已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边应角、对应边相等的性质是解题的关键． 先证明，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选D． 5．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①先由得到，接着就可以证明，最后由全等三角形的性质“对应边相等”，可知①是符合题意的； ②先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知②是符合题意的； ③过点作，证明，然后分别找出 与的关系，就可以求出的比，可知③是符合题意的； ④设，由，得到，所以．又由三角形全等和中线的性质，可以得到，从而得到，可知④是符合题意的． 【详解】解：①， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①符合题意； ②， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． ， 且， ， 故②符合题意； ③如图，过点作， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 又由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ， 故③符合题意； ④设， ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ， ， ，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中线的性质以及三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 6．如图，为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与相交于两点，则以下结论：①；②与的长度和为定值；③四边形的面积保持不变；④的长度保持不变；⑤的周长保持不变．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①③④ D．①②⑤ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，等边三角形的判定及性质等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图作于E，于F，只要证明，，即可一一判断． 【详解】如图作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∴， 是等边三角形， ∴为定值， ， 故③正确， 为定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等边三角形，顶角是定值， 因为腰PM的长度是变化的， 所以底边MN的长度是变化的，的周长也是变化的，故④⑤错误， 故选：A． 题型四 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（共3小题） 1．在等边三角形中，是边的延长线上一点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明： 如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 2．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 3．小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． (1)问题思考在图①中，求证：； (2)问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） (3)问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】(1) 先证明，再利用全等三角形的性质即可解决问题； (2) 在线段上取点F，使得，再证明，推出，，可得结论； (3) 在线段上取点H，使得，先求出，再证明可得，再求出可得答案． 【详解】（1）解：，证明如下： ，, ， 在与中， ， ， ，, ，， ， ，， ； （2）如图所示，在线段上取点F，使得， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ； （3）如图所示：在线段上取点H，使得，即， ，且平分， ，， 又，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ，即：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型五 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（共3小题） 1．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）设，则，结合等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，从而得到关于x的方程，即可求解； （2）过P点作，交于F，可得是等边三角形，可证明，即可解答； （3）过P点作，交于F，由（2）得：，，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即． （2）证明：如图，过P点作，交于F， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即D为中点； （3）解：运动过程中线段的长度不发生变化，是定值为3，理由： 过P点作，交于F， 由（2）得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：3 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质求解即可； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证出，即可求解． 【详解】解：（1）解：∵为等边三角形， ∴ ∵为的中点， ∴平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）． 理由：过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴． 3．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 题型六 全等三角形与截长补短综合（共4小题） 1．利用轴对称的性质可以方便地解决一些数学问题，如图，在中，，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则 由此，我们可以得到，在一个三角形中，大边所对的角较大．类似的，应用这种方法，解决下面的问题： 在四边形中，点是边的中点． (1)如图，若平分，则线段，，的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． (2)如图，平分，平分，若，则线段，，，的长度满足怎样的数量关系？（直接写出答案） 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，证明三角形全等是关键． （1）在上取一点，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点，使，连接，在上取点，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论． 【详解】（1）． 证明：在上取一点，使． 平分， ． 在和中，， ， ，． 是边的中点． ， ． ， ，． ． 在和中， ， ()， ． ， ． （2） 证明：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接． 是边的中点， ． 平分， ． 在和中， ， ()， ， ． 同理可证：， ． ， ， ， ． ． ． 是等边三角形． ． ． ． 2．（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 3．问题提出：已知，在四边形中，对角线平分， ，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 4．综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）在线段上截取，使得，连接，同理可证明，则，证明，得到，则，即可证明； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1），理由如下： ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）如图，在线段上截取，使得，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    （3）如图，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 1．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论A、B、C分别为顶点时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，以A为顶点时，符合条件的C点有、、、、，以B为顶点时，符合条件的C点有、，当C点为顶点时，没有符合条件的C点，故符合条件的点C共有7个． 故选：D． 2．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 本题由，于点D，于点M，得，则，所以，推导出，进而证明，得，可判断①正确；由，得，推导出，进而证明，得，可判断②正确；作于点F，则，所以，再证明，得，，则，所以，则，可判断③正确，然后即可求解． 【详解】解：∵，于点D，于点M， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 作于点F，如图： ， 则，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选：A； 3．已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）①由判断形状，由，即可得出；②由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明：①是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ， ． ②和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 4．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)过P点作，求证：是等边三角形； (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； (3)当时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)嘉琪的说法正确，见解析 (3)1 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题． （1）根据得到，则，即可证明； （2）过P点作，交于F，证明即可； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：嘉琪的说法正确，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $