专题05 全等三角形解答题六大模型压轴题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题05 全等三角形解答题六大模型压轴题型 题型1 全等三角形中动点问题 题型4 半角模型 题型2 一线三等角模型 题型5 对角互补模型 题型3 手拉手模型 题型6 倍长中线法模型 题型一 全等三角形中动点问题（共4小题） 1．如图，已知中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)点Q的运动速度为，其它条件不变，当 时，与全等． 2．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 3．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动，设运动的时间为t秒． (1)的长为 厘米(用含t的代数式表示)； (2)若以 D、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值； (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动．则点P与点Q会不会相遇？若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在的何处相遇？ 4．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 题型二 一线三等角模型（共5小题） 1．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，请写出线段，，之间的数量关系________． 2．（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 3．如图1，．以点为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求C点的坐标； (2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； (3)如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持与轴负半轴交于点与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到和的等量关系并说明理由． 4．如图， 等腰中，，点A、B分别在坐标轴上． (1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标； (2)如图②，若交x轴于点M， 过C点作交y轴于D点．求证：； (3)如图③，若点A的坐标为，点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴正半轴上运动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围． 5．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型三 手拉手模型（共4小题） 1．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 2．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 3．如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 4．如图所示，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接、，求证： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 题型四 半角模型（共4小题） 1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 2．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 3．先阅读材料，再结合要求回答问题． 【问题情景】 如图，在四边形中，，．、分别是、上的点，且线段、、满足．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接．先证明，再证明，可得出与之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】 若将问题情景中条件“”改为“”（如图2），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)【实际应用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以 的速度前进，后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处且相距 ．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 4．（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 题型五 对角互补模型（共2小题） 1．（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 2．已知，平分． (1)在图1中，若，求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 题型六 倍长中线法模型（共6小题） 1．八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 2．【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． （1）直接写出可能的长=_____； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于，交于，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】：（3）如图3，在和中，，，且，连接为中点，连接并延长交于，，，求的面积． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定 ，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 4．综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】 (3)如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，试求的长度． 2．【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若3，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 1．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置？请通过计算说明； (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到？请直接写出结果． 2．如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由： ②判断线段和线段的关系，并证明你的结论． (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 3.是两条相互垂直的直线，四边形的顶点分别在上，且． (1)如图1，当时，点B到的距离分别为________； (2)如图2，当点C在射线上运动，点A在射线上运动，射线在内部时，作于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论． 4．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 5．如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点，交于，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 6．综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．      B．     C．      D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05全等三角形解答题六大模型压轴题型 题型1 全等三角形中动点问题 题型4 半角模型 题型2 一线三等角模型 题型5 对角互补模型 题型3 手拉手模型 题型6 倍长中线法模型 题型一 全等三角形中动点问题（共4小题） 1．如图，已知中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)点Q的运动速度为，其它条件不变，当 时，与全等． 【答案】(1)全等，证明过程见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及路程、速度、时间之间的关系，准确分析证明是解题的关键． （1）先根据路程速度时间分别计算出和的长度，再根据点是的中点，求出的长，利用线段的和差关系求出的长，最后，在和中，利用条件判断即可； （2）利用三角形全等可根据对应边相等分开讨论，分别讨论当和时，求的值即可； 【详解】（1），理由如下： 经过后，，，， 中，， ， 在和中， ， ． （2）设点Q的运动速度为，经过后，与全等，则可知，，， 当时，即且时，且， 解得：； 当时，即且时，且， 解得：； 故答案是：或． 2．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 3．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动，设运动的时间为t秒． (1)的长为 厘米(用含t的代数式表示)； (2)若以 D、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值； (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动．则点P与点Q会不会相遇？若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在的何处相遇？ 【答案】(1) (2)4或6 (3)经过24秒时间点P与点Q第一次在的边上离C点16厘米相遇 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用： （1）根据题意可得厘米，即可求解； （2）根据题意可得厘米，，点B，C为对应顶点，然后分两种情况：当时，当时，即可求解； （3）当时，两点的速度相同，此时两点不会相遇可得，再结合追击问题，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：厘米， ∵厘米， ∴厘米； 故答案为： （2）解：根据题意得：厘米， ∵点D为的中点，厘米， ∴厘米，， ∴点B，C为对应顶点， 当时，厘米，， ∴厘米， ∴秒， ∴； 当时，厘米，厘米， ∴秒， ∴； 综上所述，a的值为4或6； （3）解：当时，两点的速度相同，此时两点不会相遇； ∴， 根据题意得：， 解得：， 此时厘米， 即经过24秒时间点P与点Q第一次在的边上离C点16厘米相遇． 4．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 题型二 一线三等角模型（共5小题） 1．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，请写出线段，，之间的数量关系________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)发生了变化，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义和同角的余角相等得到，然后根据可证得，从而推出，，结合，即可证得结论； （2）同（1）可证得，，结合，即可证得结论； （3）同（1）可证得，，结合，即可证得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：发生了变化，，证明如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图1，．以点为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求C点的坐标； (2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； (3)如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持与轴负半轴交于点与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到和的等量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 4．如图， 等腰中，，点A、B分别在坐标轴上． (1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标； (2)如图②，若交x轴于点M， 过C点作交y轴于D点．求证：； (3)如图③，若点A的坐标为，点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴正半轴上运动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的长度不变，的值为2． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）如图：作轴于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据y轴上点的坐标特征即可求出B点的坐标； （2）证明得到，结合图形即可证明结论； （3）证明得到，证明得到，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图1：作轴于H，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴B点的坐标为． （2）解：如图2：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：的长度不变，的值为2． 如图：作轴于G， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）①已知这两个三角形都是直角三角形且有一组对应边相等，只需要再找一组对应角相等即可，结合已知条件，通过同角的余角相等即可证明，进而可由得证；②由①可知，利用线段的和差关系进一步分析即可证明． （2）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． （3）参考（1），先证，再利用三角形全等的性质，结合图形中线段之间的和差关系分析即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）、、的关系为：； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． （3）、、的关系为：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等和三角形全等的判定与性质，熟练掌握用证明三角形全等是解题的关键． 题型三 手拉手模型（共4小题） 1．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 2．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，求得，证明，即可得到结论； （2）根据得出，再根据“”即可得到结论； （3）由（2）知，，推出是等边三角形，得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为正三角形， ， ， 在和中 ， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ． （3）证明：∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 4．如图所示，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接、，求证： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识． （1）根据等边三角形的性质，得到，，，然后证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）由全等三角形的对应角相等，得到，证得，即可得到； （3）证得，得到是等边三角形，易得； （4）过作于，于，证明即可得到． 【详解】（1）证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （4）证明：过作于，于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 题型四 半角模型（共4小题） 1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 2．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 3．先阅读材料，再结合要求回答问题． 【问题情景】 如图，在四边形中，，．、分别是、上的点，且线段、、满足．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接．先证明，再证明，可得出与之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】 若将问题情景中条件“”改为“”（如图2），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)【实际应用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以 的速度前进，后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处且相距 ．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 【答案】(1) (2)仍然成立；证明见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、方向角等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）延长到，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，由此即可得证； （3）连接，延长、相交于点，先根据方向角可得，，再求出，，然后根据（2）的结论计算即可得． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）仍然成立，证明如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：连接，延长、相交于点， 由题意得：，，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 由题意得：（海里），（海里），海里， ∴， ∴符合【探索延伸】中的条件， ∴． 4．（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，则可证明，得到；进一步证明，得到，则可证明，再根据三角形周长计算公式求解即可； （2）延长到H，使得，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明； （3）延长到G，使得，连接，证明，得到；再证明，得到；根据周角的定义可推出，即． 【详解】解：（1）如图所示，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：；； （2）如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 对角互补模型（共2小题） 1．（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 2．已知，平分． (1)在图1中，若，求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得，从而证明； （2）在上截取，连接，证明，则，然后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴； 在中，，中， ， ∴， ∴ ∴． （2）（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 题型六 倍长中线法模型（共6小题） 1．八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据定理证明即可； （2）延长至点Q，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系得，即可得到结论； （3）延长至点M，使得，连接，先证明，根据全等三角形的性质得，，再由得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，是的中线，，，设，延长至点Q，使，连接， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴x的取值范围是； 故答案为：； （3）证明：如图，延长至点M，使得，连接， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． （1）直接写出可能的长=_____； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于，交于，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】：（3）如图3，在和中，，，且，连接为中点，连接并延长交于，，，求的面积． 【答案】（1）3或5；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）延长至点，使，连接，如图所示，先证，由全等三角形性质结合三角形三边关系即可得到答案； （2）延长到，使，连接，如图所示，先证，由全等三角形性质结合等腰三角形性质即可得到答案； （3）延长到，使得，连接，如图所示，先证，再由全等三角形性质、平行线性质得到相关角度与线段关系，再证明，从而得证，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ∵边的长度为奇数， ∴或5， 故答案为：3或5； （2）， 理由如下： 延长到，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）延长到，使得，连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及倍长中线解决几何问题、中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰三角形判定与性质、平行线性质、互补、互余及三角形面积公式等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运算是解决问题的关键． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定 ，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，连接，根据定理证明 ，可得结论； （2）延长至点，使得，连接．证明 ，得出，，，得出 ，得出，即可证明结论． （3）延长交于点，延长到，使得，连接，证明 ，得出，，证明 ，得出，，即可证明结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， 是中点， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， 同可知， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 4．综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】 (3)如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，试求的长度． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决本题的关键是掌握证明三角形全等的方法． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选A； （2）解：，即， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长，交于点， 平分， ， ， 在和中， ， ，． 在和中， ， ． ， ， ，， ． 2．【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若3，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线-倍长中线法、全等三角形的判定与性质，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，根据（1）中可得，即可得到，即可解答； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ； （3）解：如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 1．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置？请通过计算说明； (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到？请直接写出结果． 【答案】(1)点运动到点，理由见解析 (2)点，运动秒后，可得到等边 (3)，运动的时间为秒或秒或秒或秒时，为直角三角形 【分析】（1）求出点运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程即可； （3）分、两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：点运动到点， 理由：当点运动到点时，， ∵点的速度为， ∴点的运动路程为， ∵， ∴， ∴点运动到点； （2）由题意得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴时，为等边三角形， ∴， 解得，， 则点，运动秒后，可得到等边； （3）当时，， ∴， ∴，即， 解得，， 当时，， ∴， ∴，即， 解得，， 当秒时，点是的中点，则，为直角三角形， 当秒时，点是的中点，则，为直角三角形， 综上所述，，运动的时间为秒或秒或秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． 2．如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由： ②判断线段和线段的关系，并证明你的结论． (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，理由见解析；②线段和线段长度相等，且互相垂直 (2)或 【分析】本题考查的是动态几何，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据题中条件，利用“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”判定； ②由可推出线段和线段长度相等，进一步可推出线段和线段互相垂直； （2）根据，确定若与全等，则需满足或，再列方程组求解即可． 【详解】（1）①，理由如下： ， ， 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 当时，， ， ， ， ． ②线段和线段长度相等，且互相垂直，理由如下： ， ，， ， ， ， 线段和线段长度相等，且互相垂直． （2）由题知，，，，， ， ， 若与全等，则需满足或， 即或， 解得或， 当时，；或当时，． 3.是两条相互垂直的直线，四边形的顶点分别在上，且． (1)如图1，当时，点B到的距离分别为________； (2)如图2，当点C在射线上运动，点A在射线上运动，射线在内部时，作于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直的全等模型，是解题的关键： （1）作，证明，得到，即可得出结果； （2）作，证明，得到，再根据，得到即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵是两条相互垂直的直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B到的距离分别为1和3； （2），是定值，理由如下： 作于点，由题意可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点，交于，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质： （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）如图（见解析），先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ∴； （2）证明：如图，过点A作于点D，作于点G，连接， 由（1）已证：， ， ， ， 点A在的角平分线上， 即平分． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 6．综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．      B．     C．      D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 【答案】（1）C（2）（3）5 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质可知，由题意可证，所以即可得出答案 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：C； （2）， 即， ， ， ， 故答案为：； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 故线段的长为5； 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $