九年级上册 第2章 第7课时一元二次方程的根与系数的关系(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 第7课时一元二次方程的根与系数的关系 A基础巩固●。· 落实课标 B能力提升。。· 灵活应用 1.设一元二次方程x2一3x十2=0的两根为x1, 7.在解一元二次方程x2十px十q=0时，小红看 x2,则x1十x2一x1x2的值为 ( 错了常数项q,得到方程的两个根是一3,1，小 A.1 B.-1 C.0 D.3 明看错了一次项系数，得到方程的两个根是 2.关于x的一元二次方程3x2一2x十m=0有两 5,一4，则原来的方程是 根，其中一根为x=1,则这两根之积为 A.x2+2x-3=0 B.x2十2x-20=0 C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0 A言 B号 C.1 D-青 8.已知x1,x2是方程x2-5x十6=0的两根，则 x+5x1+6的值为 3.设一元二次方程5x2一1=4x的两根为x1, 9.已知方程x2一(k一1)x一6=0是关于x的一 x2,则x1十x2= ’x1x2= 元二次方程，若方程的一个根是一3，求k的 4.若x=一1是方程x2+x十m=0的一个根，则 值及方程的另一个根. 此方程的另一个根是 5.若方程x2一3x一1=0的两根为x1,x2,求 x十2的值 10.设x1,x2是一元二次方程2x2一x一3=0的 两个根，求下列代数式的值： (1)x3+x; (2)+; X1 T2 6.若x1,x2是一元二次方程2x2-5x十1=0的 (3)x+x2-3x1x2. 两个根，求(c1一3)(x2一3)的值. 18 第二章一元二次方程 11.已知关于x的一元二次方程x2一(m一2)x C拓展应用●。· 深度思考 +2m-8=0. 12.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x (1)求证：不论m取何实数，此方程总有两 +m2-1=0. 个实数根. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若平行四边形ABCD的两边AB,AD的 (2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足 长是关于该方程的两个实数根 x+x=9,求实数m的值. ①当m为何值时，四边形ABCD是菱 形？求出这时菱形的边长； ②若AB的长为3，那么平行四边形 ABCD的周长是多少？ 19高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 4.有两个不相等的实数根5.1926.2 即x2十x一2=0 8.解：x2-14x+48=0,(x-6)(x-8)=0 7.解：(1)x2-3x-5=0, 解得x1=一2，x2=1. 1=6,x2=8,不妨令a=6,b=8, .a=1,b=-3,c=-5, .原方程的解为=一2，x2=1. :菱形对角线互相垂直平分， .△=9-4X1×(-5)=29>0, 12.(1)①2√5 菱形边长=√32十4=5. c=3±v29 + 21 1 9.解：(1)一 (2)西-3a=1 x=3+29 (2)证明：mx+2z+2n=0, (3)3x(x+2)=2x+4变形得 2 ,-3-2四 2 这里a=m,6=2,6=名 3x(x+2)-2(x+2)=0. (2)2x2-10x-3=0, .(x+2)(3x-2)=0, 1 a=2,b=-10,c=-3, 六A=(2)2-4m·2n=4r-2mm, 2 .△=(-10)2-4×2X(-3)=124>0, 解得x=一2，=3 m+子i,dA=m+分- 2=1 10.解：(1)10 x= 10±w1245±√31 2X2 2 2mn=(m-n)2≥0， (2)由题意，得前n行所有点数的和为 西-5+③ ,=5虹 关于x的“菱系一元二次方程”mx 2+4+6+…+2(n-2)+2(n-1)+ 2 2 +2x+宁0=0必有实数根。 2n=2[1+2+3+…+(n-2)+(n (3)-2x2+3x-6=0, 1）+=2×m,t1D=n(n+1. 2 ∴.a=-2,b=3,c=-6, .△=32-4×(-2)X(-6)=-39<0, 第6课时用因式分解法求解 (3)不能，理由：假设能为120，则n(n +1)=120,即n2+n-120=0, .原方程无解。 一元二次方程 (4):x2-2x+3-2=0, 解得n=二1土481 2 即x2-2x+1=0, 1A2A3西=号函=-3 .a=1,b=-2,c=1, 4.解：(1)5.x2-7x=0,x(5x-7)=0, n为正整数，前n行的点数和不能 .△=(-2)2-4×1×1=0. .7 为120. x1=0,x2=5 .x1=x2=1. (2)(x+1)2=3(x+1), 第7课时一元二次方程的根 8.B9.k≠-1 10.(1)证明：△=6-4ac=(3k+1)2- (x+1)2-3(x+1)=0, 与系数的关系 4(2k2+2k)=9k2十6k十1-8k-8k= (x+1)(x-2)=0,.x1=-1,x2=2. k2-2k+1=(k-1)2>0, (3)(4x-3)(2x+1)=0, 1A2D3号 一4=0 ∴.4x-3=0或2x十1=0. 5.解：x2-3x一1=0，x十x2=3, ∴无论k取何值，方程总有实数根. 3 (2)解：①若a=6为底边长，则b,c为 x·=-1,4十4=3 3. 腰长，则b=c,则△=0，∴.(k一1)2=0， (4)3y(y-1)=2y-2, 解得=1. 6.解：22-5x+1=0,十=多， 此时原方程化为x2一4x十4=0， 3y(y-1)-2(y-1)=0, 1 x1=x2=2,即b=c=2.此时 (y-1)(3y-2)=0,y=1,2= 3 1·x4=2’ △ABC三边长为6,2,2，不能构成三 (x1-3)(x2-3)=x1x2-3x1-3x2+9 5.B6.0或-1 角形，故舍去； 7.解：(1)x2-x-3x+3=0, =1x-3(1十x2)+9 ②若a=6为腰长，则b,c中有一个为 x(x-1)-3(x-1)=0, =75+9=2, 腰长， (x-1)(x-3)=0, 7.B8.25 设b=a=6, x一1=0，或x-3=0, 9.解：设方程x2一(k一1)x一6=0的另一 代人方程，得62-6(3k十1)+2+2k .x1=1,x2=3. 个根是a, =0, (2)x2+8x-4x-32=0, 解得=3或5， x(x十8)-4(x+8)=0, ÷巴第科任。 则原方程化为x2一10x十24=0或x2 (x十8)(x-4)=0, ∴的值为0，方程的另一个根为2. -16x十60=0，解得x1=4,x2=6或 x+8=0,或x一4=0， x1=6,x2=10, .x1=一8，x2=4. 10,解：由题意得西十=7， 即b=6,c=4,或b=6,c=10, (3)(y-3)2+y2-9=0 此时△ABC三边长为6,6,4或6,6， (y-3)2+(y-3)(y+3)=0, 10,能构成三角形 2y(y-3)=0,·y1=0,y2=3. k=3或5. ①或+4=红+'-2a西=（号）月 (4)(x-7)(x+3)=0, 11.解：(1)换元 x一7=0，或x+3=0, -2x(-) (2)设x2十x=y,则原方程可化为y x1=7,x2=一3. +y-6=0, 2号+-+2西 (5)(2x十3)2-3(2x+3)=0, 解得为=一3,2=2. (2x+3)·2x=0, 13 当y=-3时，x2十x=一3， 3 -6 即x2十x十3=0. ∴a=-是a=0 2 △=2-4ac=1-4×1×3=-11<0, (6)(x+5-4)(x+5+2)=0, (3)+云-3=-3×(- x2+x十3=0无实数根.当y=2 x十1=0，或x+7=0, 31 时，x2十x=2, .x1=-1,x2=-7. 4 36 参考苔案 11.（1)证明：.△=(m-2)2-4(2m-8) (x-2)(3x十5)=0， 24x2-260x+600=(1- =m2-12m+36=(m-6)2>0, 5 号)×20X x一2=0，或3x十5=0，=2，x2= .无论m取何值，方程总有两个实 3 30, 数根， (8)方程可变形为2一6y-3=0, 整理，得6x2-65x十50=0， (2)解：①平行四边形AB,CD是菱 ∴a=2,b=-6,c=-3, 解方程，得x1= 形，∴.AB=AD, ,6-4ac=(-6)2-4X2X(-3)=60>0, 6,=10(不合题 ∴.△=0，即(m一6)2=0，解得m=6, ÷y=二（-)告60=6±2压- 意，含去).则2x=号3x=号 方程化为x2一4x十4=0， 2×2 解得x1=x2=2,∴菱形的边长为2. 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 3±压，即=3+压，=3二西 5 ②设AD=a, 2 2 2 3 cm,2 cm. AB=3,且AB,AD的长是方程 2.解：(1)(x十4)(x+1)=0,x+4=0,或 x2-(m-2)x十2m-8=0的两个实数 x+1=0,.x1=-4,x2=-1. 第9课时应用一元二次方程(2) 根.∴3+a=m-2,3a=2m-8, (2)(x十5)(x-2)=0,x+5=0,或x 2=0,x1=-5,x2=2. 1.B2.x(x-1)=90 ∴.消去m,得a=2,即AD=2, 3.x(x-12)=864 .平行四边形ABCD的周长为 (3)(x+9)(x+1)=0,x十9=0，或x十 4.(12-x)x(12-x)=32 2(AB+AD)=2×(2+3)=10. 1=0,.x1=-9,x2=-1. 5.解：设原正方形的边长为x,根据题图可 12.解：(1)方程有实数根，.△≥0， (4)(x-5)(x-1)=0,x-5=0,或x 知，剩余部分为矩形，一边长为(x一6)》 ∴.(2m-1)2-4×1×(m2-1)≥0， 1=0,.x1=5,x2=1. m,另一边长为(x一8)m,因此可列方程 解得m≤。 (5)(x+6)(x-3)=0,x+6=0,或x- (x-6)(x-8)=624. 3=0,.x1=-6,x2=3. (2).方程的两实数根分别为x1,x2, 解此方程：x2-14x+48=624, (6)(x-5)(x-2)=0,x-5=0,或x (x-7)2=625,x-7=士25， .x1+x2=-2m+1,xx2=m2-1, 2=0,∴.x1=5,x2=2. x十x=9, (7)x2-x-12=0,(x-4)(x+3)=0, x1=-18(舍去)，x2=32, .(x1十x2)2-2x1x2=9, 答：正方形的边长为32m. .x-4=0,或x十3=0 6.解：设活动场地垂直于墙的边长为xm, (-2m+1)2-2(m2-1)=9, .1=4,x2=-3. 则另一边长为(40一2x)m, 解得m=3或m=-1,:m≤号， (8)x(x-1)=30,x2-x-30=0, 依题意，得x(40一2x)=182, (x十5)(x-6)=0, ..m=-1. 整理，得x2-20x+91=0, x十5=0，或x一6=0，x1=一5，x2=6. 解得x=7,x2=13. 微专题3一元二次方程阶段训练 当x=7时，40一2x=26>25,不合题 第8课时应用一元二次方程(1) 1.解：(1)移项，得2x2=16, 意，舍去；当x=13时，40-2x=14< 1.A2.C3.x2+(x+6.8)2=10 两边同除以2，得x2=8, 25,符合题意. 4.20% 两边开平方，得x=士22， 答：活动场地的长为14m,宽为13m. 5.解：(1)设每个月生产成本的下降率都 7.D8.24cm32cm 所以x1=2√2，x2=-2√2. 为x, 9.解：(1)，栅栏的全长为49m,且中间共 (2)两边开平方，得x-5=士3√2， 依题意，得500(1一x)2=405, 留两个1m宽的小门， 即x-5=3√2，或x-5=-3√2， 解得=0.1=10%，x2=1.9(不符合 .AB=49-3x+2=(51-3x)(m), 所以x1=3√2+5，x=-3√2+5. 题意，舍去) 故答案为(51一3x). (3)配方，得x2一2x十1=48， 答：每个月生产成本的下降率为10%. (2)依题意，得(51-3x)x=210, 即(x-1)2=48, (2)405×(1一10%)=364.5（万元）. 整理，得x2一17x+70=0, 364.5<365, 两边开平方，得x-1=士4√5， 解得x1=7,x2=10. ∴该厂长的目标能实现 即x-1=4√5，或x-1=-45, 当x=7时，AB=51一3x=30>25,不 6.D7.B8.(28-x)(10-x)=243 合题意，舍去，当x=10时，AB=51 所以=4√3+1，x2=-4√3+1. 9.1+x+x2=36 3x=21<25,符合题意， (4)原方程可变形为x2一8x=0, 10.解：设这块铁皮的宽是xcm,则长是 答：栅栏BC的长为10m x(x一8)=0，x=0,或x一8=0， 2xcm,根据题意，得 (3)不可能，理由如下： x1=0,x2=8. 5(x-10)(2x-10)=500, 依题意，得(51-3x)x=240, (5)两边同除以200， 解得x1=15,x2=0(舍去)，∴.2x=30, 整理，得x2一17x十80=0， 得(1-x)2=0.81, 答：这块铁皮的长是30cm,宽是 :△=(-17)2-4×1×80=-31<0， 两边开方，得1一x=士√0.81， 15cm. .方程没有实数根， 1-x=士0.9， 11.解：设原正方形空地的边长为xm, '.矩形围栏ABCD面积不可能达到 即x=1士0.9，所以x1=0.1,x2=1.9. 根据题意得(x一4)(x一2)=63， 240m2. (6)移项，得(2x一1)2一(5一x)2=0, 整理，得x2-6x十8=63， 10.解：当运动时间为t秒时，PB=(16 (2x-1+5-x)(2x-1-5+x)=0, 配方，得(x-3)2=64,x-3=士8， 3t)cm,CQ=2t cm. (x十4)(3x-6)=0, 解得x=一5（不合题意，舍去），2=11. x十4=0，或3x一6=0， 答：原正方形空地的边长为11m. (1)依题意，得号×(16-3+2)×6 x1=-4,x2=2. 12.(20-6x)(30-4x) =33,解得t=5. (7)移项，得3x(x一2)十5x-10=0, (24x2-260x+600) 答：P,Q两点从出发开始到5秒时，四 方程可变形为3x(x一2)十5(x一2)=0， 解：根据题意，得 边形PBCQ的面积为33cm. 37