九年级上册 第1章 微专题2 特殊平行四边形的综合应用(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 微专题2特殊平行四边形的综合应用 A基础巩固●·· 落实课标 5.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线 BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是 1.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD= 直线BD上的动点，OE⊥AB于点E,OF⊥ 60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一 AD于点F. 个动点，则PE十PB的最小值为 ( (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积； A.1 (2)如图1，当点O在对角线BD上运动时， B.√3 OE十OF的值是否发生变化？请说明 C.2 理由； (3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上 D.√5 时，OE十OF的值是否发生变化？若不 2.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB 变，请说明理由；若变化，请探究OE,OF 上且BE=1,F为对角线AC上一动点，则 之间的数量关系. △BFE周长的最小值为 A.5 B.6 C.7 图 D.8 3.如图，正方形ABCD的边长为12，点E,F 分别为AB,BC上的动点(E,F均不与端点 重合)，且AE+CF=4,P是对角线AC上 的一个动点，则PE十PF的最小值 是 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AC=10,P 是AD上不与A和D重合的一个动点，过点 P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则 PE十PF值为 10 第一章特殊平行四边形 B能力提升·● 灵活应用 7.(1)如图1，锐角三角形ABC中，分别以AB, AC为边向外作等边三角形ABE和等边 6.如图，点G是正方形ABCD对角线CA延长 线上的任意一点，以AG为边作一个正方形 三角形ACD,连接BD,CE,试猜想BD与 CE的大小关系，并说明理由； AEFG,连接EB,GD,EB和GD相交于 点H. (1)求证：△EAB≌△GAD; (2)求证：BE⊥DG; (3)若AB=3√2，AG=3,求EB的长. 【深入探究】 D (2)如图2，△ABC中，∠ABC=45°，AB= 5cm,BC=3cm,分别以AB,AC为边向 外作正方形ABNE和正方形ACMD,连 接BD,求BD的长； (3)如图3，在(2)的条件下，以AC为直角边 在线段AC的左侧作等腰直角三角形 ACD,直接写出BD的长， 11参考苔案 ∴.△OAM≌△ODN(ASA), ∠DAE=∠CNE, SAOAM=SAODN ∠AED=∠NEC, EH/BD,EH=合BD, ∴.S阴影=SAODM十S△DN=S△DM十 DE=CE, 同理FG∥BD,FG-ZBD,EF∥AC, SAQM=SAOAD= .△ADE≌△NCE(AAS), 4S正方形ABCD= 1 年×42=4. .'.AD=NC. EF=号AC.∴EH∥FG,EH=FG, .'AM=MN,且MN=NC+MC, .四边形EFGH是平行四边形 ∴.AM=NC+MC=AD+MC. 第8课时正方形的性质与判定(2) 又.AC=BD,.EH=EF, (2)解：(1)中AM=AD+MC仍然成立. .口EFGH是菱形. 1.A2.D3.C 4.AC⊥BD(答案不唯一) 11.证明：如答图，连接BD,AC交于点O, 微专题1中点四边形 :H,G分别是AD,CD的中点， 5.有一组邻边相等的矩形是正方形 平行四边形菱形 矩形正方形 .HG∥AC, 6.证明：，四边形ABCD是矩形， 1.D2.D3.C4.205.菱形 ·∠D=∠DAB=90°， 6.证明：，H,G分别是AD,CD的中点， HG=合AC AE平分∠DAB,∠EAF=45°， 同理EF∥AC ,EF⊥AB, HG∥AC,HG=号AC .∠D=∠DAF=∠F=90°， 同理EF∥AC,EF-之AC, EF=AC, .四边形AFED是矩形， HE∥BD, :∠EAF=45°，∠F=90°， ∴.HG∥EF,HG=EF, ∴.HG∥EF,HG=EF ∠AEF=45°， .四边形EFGH是平行四边形 .四边形EFGH是平行四边形. ∴.∠EAF=∠AEF,∴.AF=EF, G,F分别是CD,BC的中点， :四边形ABCD是菱形， .矩形ADEF是正方形 .GF∥DB. ,.∠AOD=90° 7.D8.①②③④ 又，AC⊥BD,.∠DOC=90°， 又'HG∥AC,HE∥DB, 9.证明：如答图，连接CD, ∠HGF=90°，.☐EFGH是矩形. ∴.∠EHG=90° 在Rt△ABC中，∠ACB 7.(1)证明：E,F,G,H分别是AC,BC, ,∴.□EFGH是矩形 =90°，且DE⊥AC, BD,AD的中点， DF⊥CB,.四边形 EF=号AB,GH=2AB, 微专题2特殊平行四边形的综合应用 CEDF是矩形， 1.B2.B3.4/134.4.8 :∠BAC和∠ABC的 ..EF=GH, 5.解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD 平分线交于点D, 同理EH=FG,∴.四边形EFGH是平 .CD是∠ACB的平分 答图 行四边形。 AG-AC:BG-BD-X16-8, 线，又，DE⊥AC,DF⊥CB, (2)③ DE=DF,四边形CEDF是正方形. 8.证明：如答图，连接 由勾股定理，得AG=√AB一BG=6, BD. ∴.AC=2AG=2X6=12, 10.解：(1)描出四个点如答图所示； 由图可得OA=OC :E,H分别是AB 5Sm=合AC.BD=合×12×16 =1,OB=OD=2, AD的中点， =96. AC⊥BD,.四边形 .EH∥BD, (2)不变.理由：如答图1，连接AO,则 ABCD是菱形. EH-BD. (2)能.当AC=BD SAaD=SAAm+SAAO,号BD·AG= 同理FG∥BD, 时，菱形ABCD是 正方形， FG=合BD,EH∥FG,EH=FG. 2AB:OE+号AD:OP, ..OA=OB=OC=OD=2, ∴四边形EFGH是平行四边形 即×16×6=×10·0E+× 变动后的A点坐标为(2,0)，C点坐 9.证明：如答图，连接BD,AC 标为（一2,0）或A点坐标为(-2,0)， 10·OF,解得OE+OF=9.6,是定值， :E,H分别是 C点坐标为(2,0) 即OE+OF的值不变， AB,AD的中点， 11.(1)证明：如 A ∴.EH∥BD, 答图，延长 AE,BC交于 EH-BD, 点N, M 同理FG∥BD 四边形 答图 ABCD是正方形， FG-Z BD: 答图1 答图2 ∴.AD∥BC,∴.∠DAE=∠ENC EF∥AC,EF=AC (3)变化.如答图2，连接AO,则S△BD 又：AE平分∠DAM, ∴.EH∥FG,EH=FG =SAABO-SAADO .∠DAE=∠MAE, ,∴.∠ENC=∠MAE. ,∴.四边形EFGH是平行四边形 BD·AG-号AB.0E7AD.OE, 在△AMN中，'∠ENC=∠MAE, 又，四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD 即号×16×6=号×10·0B-合× ..AM=MN. ,E是CD边的中点，∴DE=CE. ∴EH=EF,.□EFGH是菱形 10·OF, 在△ADE和△NCE中， 10.解：四边形EFGH是菱形，证明如下： 解得OE-OF=9.6,.OE,OF之间的 E,H分别是AB,AD的中点， 数量关系为OE-OF=9.6. 33 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 6.(1)证明：，四边形ABCD,AGFE是正 ∴.AE=CE=AF=CF,.四边形 在Rt△BCG中，BC=CG十BG, 方形，AB=AD,AE=AG,∠DAB= AECF是菱形； 即a2=82+(16-a)2,解得a=10, ∠EAG=90°， (2)解：如答图，连接EF交AC于点O! 即菱形的边长是10. .∠EAB=∠GAD, .∠DAB+∠EAD=∠EAG+ ∠EAD, 第二章 一元二次方程 即∠EAB=∠GAD, 答图 第1课时一元二次方程(1) .△EAB≌△GAD .在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 1.B2.C3.①③4.x2=15.k≠3 (2)证明：由(1)得△EAB≌△GAD, ∠B=30°，BC=10, 6.解：(1)4x2+8x-25=0, .∠AEB=∠AGD, AC-BC-5,AB-/3AC-5/3, 二次项系数、一次项系数及常数项分别 .∠EMH=∠AMG, 是4,8，-25. ∴.∠EHG=∠EAG=90°，.EB⊥GD ,四边形AECF是菱形， (2)3x2-7x+1=0, (3)解：，△EAB≌△GAD, ..OA-OC,OE-OF, 二次项系数、一次项系数及常数项分别 .'EB=GD, 又E是BC的中点， 是3，-7,1. 四边形ABCD是正方形，AB=3√2， .OE是△ABC的中位线， 7.C8.29.x2+12x-15=0 .BD⊥AC,AC=BD=√2AB=6, 六0E-=号AB-5 10.解：设宽为xm,则长为(x+10)m, 2 ,EF=55, ∴∠D0G=90°，0A=0D=号BD=3, 依题意列方程x(x十10)=875. 菱形AECF的面积为？AC·EF ∴.x2+10x=875, .'AG=3,..OG=OA+AG=6, ∴.列出的一元二次方程为x2+10x ∴.GD=√OD+OG=3√5， 合×5×5-25y9 875=0. 2 ∴.EB=3√5. 11.解：(1)当a-4≠0，即a≠4时， 10.证明：(1)在□ABCD中，AB=CD, 7.解：(1)BD=CE,理由是：'△ABE和 ∠A=∠C,AB∥CD, 方程为一元二次方程 △ACD是等边三角形，.AE=AB, (2)当a-4=0,且2a-1≠0时， ∴∠ABD=∠CDB. AC=AD,∠BAE=∠CAD=60°， 方程为一元一次方程， BE平分∠ABD, .∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即a=4时，原方程为一元一次方程 即∠EAC=∠BAD, ∠ABE=合∠ABD. 12.解：常数项为0，∴.m2一1=0， ∴.△EAC≌△BAD,.BD=CE; DF平分∠CDB, .m=士1， (2)如答图，连 ·∠CDF= 方程是一元二次方程， 接EB,EC, 2∠CDB, .m-1≠0，.m≠1，.m=-1. 四边形 .∠ABE=∠CDF, 13.解：(1).1+(-1)=0,3十（-3)=0， ACMD和四边 .△ABE≌△CDF(ASA) .方程x2+2x十3=0的“对称方程 形ABNE是正 (2),△ABE≌△CDF,.AE=CF, 是-x2+2x-3=0, 方形， ,四边形ABCD是平行四边形， 故答案为-x2+2x-3=0. ∴.AE=AB,AD=AC, .AD∥BC,AD=BC (2)由-8x2-x=1, ∠EAB=∠DAC=90°， ∴DE∥BF,DE=BF, 可得-8x2-x-1=0, ∴.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, .四边形DFBE是平行四边形 方程8x+(m-3)x-n=0与-8x2 即∠EAC=∠BAD, AB=DB,BE平分∠ABD, x一1=0互为“对称方程”， .△EAC≌△BAD,∴.BD=CE. .BE⊥AD,即∠DEB=90°. .m-3=-1,-n+(-1)=0, .平行四边形DFBE是矩形 解得m=2,n=一1， .∠EBA=∠ABC=45°， ∴.∠EBC=90°， 11.AB-AD .(m十n)2=(2-1)2=1. :AE=AB=5,∠EAB=90°， 12.解：如答图所 C(F) 示，过点C作 第2课时一元二次方程(2) .BE=5√/2， CG⊥AB,交 1.B2.A3.C4.35.66.2025 ,BC=3,∴.EC=√EB2+BC=√59， AB的延长线 A(E) 答图 7.B8.C9.1,-1 ,∴.BD=EC=59; 于点G, 10.解：一个实数根的倒数恰好是它本 (3)BD=(5√2-3)cm. ,四边形ABCD是菱形， 身，.这个实数是1或一1， ∴.AB=BC=CD=DA, 把x=1代入原方程，得1十m十1+2 第9课时《特殊平行四边形》 当点E与点A重合，点F与点C重合 热门考点整合应用 时，线段EF最长是8√5，即AC=EF 0,解得m=之 1.C2.C3.A4.205.22.5 =8√5，当EF⊥BC时，线段EF最短 把x=一1代入原方程，得1-(m+1) 6.57.38.23 是8，∴S陵形ABCD=AD·EF=AB·CG 9.(1)证明：四边形ABCD是平行四边 (EF是AD边上的高)，且EF=8, +2=0, 形，∴AD=BC, .CG=8, 解得m=合故m的值为合或-名 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E 在Rt△ACG中，AC=8√5，CG=8, 11.x2+(x+1)2=72 是BC边的中点，AE=合BC=CE, ∴.AG=V√AC-CG=√/(85)-8 x2+x-24=0 同理，AF=2AD=CR, =16,设AB=BC=a, 解：(1)不能.因为三角形的边长不可 则BG=AG-AB=16-a, 能小于或等于0. 34