第一章特殊平行四边形训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 训练 一、单选题 1．已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 3．如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 5．如图，菱形的周长为，对角线，交于点，为的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，交于点O，，根据图中尺规作图痕迹，判断（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（   ） A． B． C． D．3 8．如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A．8 B．12 C．16 D．18 9．如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点M，N分别在线段上，且，，且，若，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A．xy B． C． D． 二、填空题 11．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． 12．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为 13．如图，在矩形中,，点F是上一动点(包括端点E，C)，点P是的中点，连接，则的最小值为 ． 14．如图，已知正方形的顶点B在直线上，点A在第一象限，且点A的纵坐标为3，则点B的坐标为 ． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，．线段与关于过点O的直线对称，点A的对应点在线段上，交于点G，则与的面积比为 ． 三、解答题 16．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 17．【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 18．如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． (1)尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 19．在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 20．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形?训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B A B C C A 1．C 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 首先求出，然后求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 3．D 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 4．A 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了菱形的性质求解，根据菱形周长先求出，是直角三角形，结合为的中点即可得出结果． 【详解】解：菱形的周长为， ， 四边形为菱形， ， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 故选：． 6．A 【分析】本题考查菱形的性质，尺规作图，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角等，由菱形的性质可得，由尺规作图痕迹，可得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得出，最后根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， 由尺规作图痕迹，可得， ∴， ∴. ∵，即点O是的中点，是直角三角形， ∴， ∴． 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，取的中点H，连接，过点N作于K，由菱形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，可得，可求，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，过点N作于K， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵M、N分别为线段的中点，点H是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 先证明是的中位线得，再根据菱形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了正方形的性质与直角坐标系中坐标的求解，解题的关键是求解出正方形的边长． 由面积可求解出正方形的边长，由此可求解坐标． 【详解】解：正方形的面积为25， ∴， 解得， 即正方形的边长为5， ∵正方形的两边与坐标轴的正半轴重合， ∴点C的坐标为． 故选：C ． 10．A 【分析】在上取一点P，使得，过C作于Q，先根据三角形全等得出，根据等腰三角形的性质求出，从而求出，再根据勾股定理列出等式，化简即可得出为定值． 【详解】解：在上取一点P，使得，过C作于Q，如图： 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理可知，， ， 整理得：， 的值是不变的． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，合理的构造全等三角形是本题解题的关键． 11． 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 12． 【分析】连接，并延长交于点H，连接，根据得，证明和全等得，进而得，由勾股定理得，再证明是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出结果． 此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，并延长交于点H，连接，如图所示∶ ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得∶ ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：． 13． 【分析】连接，取的中点，过点作于点，连接， 判定四边形，都是正方形，是中位线，得到点P的运动轨迹为，根据垂线段最短原理，当P与重合时，最短，此时解答即可． 本题考查了中位线，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．明确的最小值的情况是解题的关键． 【详解】解：连接，取的中点，过点作于点，连接， ∵矩形中,， ∴，，， ∴四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴点P的运动轨迹为， 根据垂心段最短原理，当P与重合时，最短，此时 故答案为：． 14． 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点交轴于点，证，可得，根据已知条件可得点坐标，根据列方程，求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作，交的延长线于点交轴于点，如图所示： 则， ， 在正方形中，， ， ， ， ， 顶点B在直线上， 设点坐标为， ， ∴， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解方程等，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15． 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，设交于点H，正确地求出的长是解题的关键，由菱形的对角线交于点O ，且，，得， ， ，求得，由轴对称的性质得垂直平分，与关于直线对称，则，设交于点H，由，求得，所以，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形， 对角线，相交于点O，，， ， ，． ． ． 线段与关于过点O的直线对称，点A的对应点在线段上， 垂直平分，与关于直线对称 ． 设交于点H， 则，． ， ． ． ． ． 故答案为∶ ． 16．(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 17．(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明得到，进而得到即可得到结论； （2）先由勾股定理求得，再利用三角形的等面积求得，进而利用勾股定理求解即可； （3）取的中点O，连接，，先证明四边形是矩形得到，则的最小值等于的最小值；再根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，由，当点C、P、O共线时取等号得到的最小值即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，则； （2）解：由（1）知， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：取的中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故的最小值等于的最小值； ∵，，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵，当点C、P、O共线时取等号， ∴的最小值为， 故的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在的上方作，交于点 F，则即为所求； （2）由题意得四边形为平行四边形，根据平行四边形的周长是20，可得，则，进而可得，则，可知四边形为菱形． 本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的周长是20， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 19．(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据勾股定理求解即可；②根据正方形的性质得到，根据轴对称的性质得到垂直平分，易证，由全等三角形的性质可得，求得，再根据勾股定理求得的长即可； （2）由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到求得，即，最后根据邻补角求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，, ∵A和关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：或（不合题意舍弃）． （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵四边形, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关识点是解题的关键． 20．(1)的面积 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理求三角形面积； （2）通过折叠和平行四边形性质证明四边形是等腰梯形； （3）分情况讨论直角三角形中不同角为直角时的长度． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ， 由（1）得：， 设，则，在Rt中，由勾股定理得， 解得：， ， ∴的面积； （2）证明：由折叠的性质得：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若不平行于 ∴四边形是梯形 ∵ ∴四边形是等腰梯形 （3）解：分 4 种情况： 如图，当时，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的中点， 在 中，， ； 如图，当时， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 在同一直线上， ， 中，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去。 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$