九年级下册 第3章 第2课时圆的对称性-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第2课时 圆的对称性 新课 圆的对称性 1.圆是轴对称图形， 是它的对称轴. 2.圆是中心对称图形，对称中心为 3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等. 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等. 几何语言： 等弧→等弦、等圆 等圆心角→等弧、 等弦→等圆心角、等弧 心角 等弦 等孤 >等弦 .AB=A'B', ∠1=∠2， .AB=A'B', 0 等圆心角 知识点圆的对称性 变式1 如图，在⊙O中，AB=AC,∠ABC= 例1如图，AB是⊙O的直径， 60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. AD=CD,∠COB=40°，则∠A 的度数是 例2如图，点A,B,C在⊙O上，AB=8,AC=4,变式2如图，AB,CD为⊙O的两条弦，AB= D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点， CD.求证：∠AOC=∠BOD. ∠PBD=∠PCA,连接PA,PB,PC,PD,当BD 的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等 腰三角形？并加以证明 ●>1440 第三章圆 课堂检 基础过关 1.下列说法正确的是 2.如图，AB是⊙O的直径，BC, A.等弧所对的弦相等 CD,DA是⊙O的弦，且BC= B.相等的弦所对的弧相等 CD=DA,则∠BCD的度数 C.相等的圆心角所对的弧相等 是 D.相等的圆心角所对的弦相等 3.如图，AB,AC,BC都是⊙O的弦，∠AOC=4.如图，在⊙O中，已知AB=BC,且AB:AC= ∠BOC,求证：∠ABC=∠BAC. 3：4,求∠AOC的度数. 能力检测 6.如图，⊙O的半径是2，直线1与⊙O相交于 5.如图，A,B是⊙0上的两点，∠AOB=120°，C A,B两点，M,N是⊙O上的两个动点，且在 是AB的中点.求证：四边形AOBC是菱形 直线l的异侧，若AB=2√2，求四边形MANB 的面积的最大值， ●>1454高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 如答图，则有xQ一xA=x一， 第2课时 圆的对称性 第3课时 垂径定理 【新课学习】 〔新课学习) 1.任意一条过圆心的直线2.圆心 1.平分平分直径CDL弦ABAE 3.弧弦 BE AC=BC AD=BD 4.AB=ANB'∠1=∠2AB=A'B'AB= 2.垂直AE=BE,AB不是直径 A'B∠1=∠2AB=A'B CD⊥AB. AC=BC AD=BD 答图 【例155 【例1】解：连接OC,如答图， ∴.x-1=2-（-2),解得x=5, 【变式1】证明：AB=AC,,AB=AC, .'CD⊥AB,∴.CE=DE -e+3= 5 5 2F(5,2) :∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形. EB=9,AE=1, .AB=10, ②当AQ为平行四边形AEQF的对角线 ..AB-AC-BC. OC=0A=5. 时，AQ,EF的中点重合， ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC ∴.OE=4. 【例2】解：当BD=4时，△PAD是以AD为 2 底边的等腰三角形. 在Rt△OCE中， 7 CE=W√OC2-OE=3 2, 证明：：P是优弧BAC的中点. .PB=PC,即PB=PC. .CD=2CE=6. F-1,-7: 又：BD=AC=4,∠PBD=∠PCA, 【变式1】解：如答图，连接 ∴.△PBD≌△PCA,∴.PA=PD. OA,:直径CD⊥弦AB, ③当AE为平行四边形AFEQ的对角线 时，AE,FQ的中点重合， ∴△PAD是以AD为底边的等腰三角形 ∴AE=BE=2AB=4, 寸2--2+1，解得=-3， 【变式2】证明：AB=CD,AB=CD. .OA=√AE+OE 2 2 ∴.∠AOB=∠COD √/4+32=5， 答图 -+a= .·∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 2 ×(-3)2+3×( 即⊙O的半径为5..ED=OD-OE=2. 即∠AOC=∠BOD. 3)=、27 【例2】解：设⊙O的半径是r, F(-3,- 【课堂检测 点C是AB的中点，OC过圆心O, 综上，点F的坐标为(5，号)或(-1， 1.A2.120 .OC⊥AB.AB=4,CD=1, 3.证明：∠AOC=∠BOC,.AC=BC 子)或(-3，-2. ∴.∠ABC=∠BAC ∴BC-=号AB=2,0C=OD-CD=T-1. 4.解：如答图，连接OB. 在Rt△BOC中，OB=OC+BC, AB=BC, ∴7=(，-1)+2.解得=名 第三章 圆 AB:AC-3:4, ∠AOB:∠BOC: ∴OD=5 第1课时 圆 ∠AOC=3:3:4. 答图 【新课学可列 ∠AOB+∠BOC+∠AOC-360°， 1.圆的相关概念：(1)定点定长圆心 4 【变式2】解：如答图，连接 半径(2)圆上线段圆心两(3)半 ∠A0C=360°×0=144 OA.:D为AB的中点，C 圆大于 5.证明：如答图，连接OC 为拱门最高点，线段CD经 几何语言：(1)⊙O圆心半径 C是AB的中点， 过拱门所在圆的圆心，AB (2)CD,AB AB (3)BCD,CDA 1m,.CD⊥AB,AD=BD R ∠AOB=120°， CBA,DAB =0.5m,设拱门所在圆的半 答图 .∠AOC=∠BOC=60° 2.>= 又OA=OC=OB, 径为rm,则OA=OC=rm, 【例1(1)AC,BC,AD,BD,CD .△OAC和△OBC都是等边三角形. CD=2.5m,.OD=(2.5-r)m, (2)OC,OA,OB (3)AB (4)CD,AB .'.AC=OA=OB=BC. ∴.=0.5+(2.5-r）2.解得r=1.3. (5)AC-AD,BC-BD ∴四边形OACB是菱形. .拱门所在圆的半径为1.3m 【变式1直径：AB;半径：OA,OB,OC: 6.解：如答图，过点O作OC 【例3】解：设弧AB 弦：CD,AB; ⊥AB于点C,交圆于点 所在的圆的半径为 劣弧：AD,CD,BC,ADC,BCD D,E. rcm,如答图，作OE 【例2】A 【变式2】2≤a≤6 四边形MANB由 ⊥AB于E,连接 E OA,OC, 【课堂检测】 △MAB与△NAB组成， 答图 1.B2.C3.(1)上(2)圆内(3)圆外 .S因边形MMNB=SAMB十 则OA=rcm,OC=(r十32)cm, SANB· .OE⊥AB,.AE=EB=100cm 4.(1)圆内(2)r<3(3)r=3 由图可知，当点M与点D重合，点N 在Rt△OAE中， 5.30°60°6.45°4√27.A8.25 与点E重合时，四边形MANB的面积 OE=OA2-AE=2-1002, 9.证明：四边形ABCD是矩形， 在Rt△OCE中， ..OA=OC,OB=OD,AC=BD. 最大，最大值为2×22X(CD+DD- OE=OC-CE=(r+32)2-(100+ ..OA=OC=OB=OD. .点A,B,C,D在以点O为圆心，OA的长 2AB:DE-2×22X(2+2)=42. 40),则2-1002=(r+32)2-1402. 解得r=134,即弧AB所在的圆的半径为 为半径的圆上. 134cm. 26