3.1 圆的基本概念和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

3.1 圆的基本概念和性质 【考点1圆的有关概念】 【考点2 求圆中弦的条数】 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【考点5 求圆弧的度数】 【考点6点与圆的位置关系】 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【考点1圆的有关概念】 【典例1】如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．由，，得，，根据等边对等角得，从而，再利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的概念和性质定理等，连接，根据圆心角的度数可知它所对的弧的度数，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，再由三角形的内角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵若所对的圆心角的度数为， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴所对的圆心角的度数为， 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）连接，，由等边对等角可得出， ，由全等三角形的性质，连接，，再证明，由全等三角形得出，由等腰三角形三线合一即可得出． （2）由等腰三角形三线合一得出，由勾股定理求出，设，再利用勾股定理得出，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：连接，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 在，， ∴， ∴， ∴的半径长为5． 【考点2 求圆中弦的条数】 【典例2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式2-1】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 【变式2-2】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 【变式2-3】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【典例3】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直径是最长的弦即可求解． 【详解】解：∵若的直径长为，点，在上， ∴的长不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键． 【变式3-1】已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10． 【变式3-2】已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【典例4】如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．13 B．14 C．12 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选：D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，P点是以点A为圆心、2为半径的圆上的任意动点，以为直角边作等腰直角，且点Q在第二象限，的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，过点O，在的左侧作，取，连接，，过A作轴，过B作轴，连接，证明，得出，，则可求，根据两点间距离公式可求出，证明，得出，则点Q在以B为圆心，2为半径的上运动，故当A、Q、B三点共线，且Q在A、B之间时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点O，在的左侧作，取，连接，，过A作轴，过B作轴，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为直角边作等腰直角， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点Q在以B为圆心，2为半径的上运动， ∴当A、Q、B三点共线，且Q在A、B之间时，最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，两点间距离公式等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形，判断出Q在以B为圆心，2为半径的圆上运动是解题的关键． 【变式4-2】如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点，连接，，，由，推出，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【考点5 求圆弧的度数】 【典例5】如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式5-1】如图，都是上的点，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，弧弦圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧弦圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧弦圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-2】如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，弧与圆心角之间的关系，根据，则可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：C． 【变式5-3】如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 知识点3 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【考点6点与圆的位置关系】 【典例6】已知的直径是6，点P到圆心O的距离是6，则点P与的位置关系是（  ） A．点P 在内 B．点 P 在上 C．点P 在外 D．点 P是圆心 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 根据：①点在圆外．②点在圆上．③点在圆内，即可判断 【详解】解：直径为6， 半径， 点P到圆心O的距离d是6， ， 点在外． 故选：C． 【变式6-1】已知的半径为3，平面内有一个点P，若点P在外，则在的长可能为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查点和圆的位置关系，根据点P在外可得大于半径，从而可以解答本题． 【详解】解：的半径为3，点在外， ， 故选：A． 【变式6-2】在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 【答案】点A在的内部 【分析】本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．若的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在上；当时，点P在内；当时，点P在外．先根据勾股定理半径，与进行比较即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴点A在的内部， 故答案为：点A在的内部． 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 【典例7】已知点P在⊙O外，且P点到⊙O最大距离是6，最小距离是2，则⊙O的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平面内一点与圆上各点的距离问题，应先将最大距离与最小距离的点的位置确定下来，再来求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，与圆交于、两点， 则， 设圆的半径为， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【变式7-1】平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 【变式7-2】如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，进而得出答案． 【详解】解：根据点P在内时，圆的直径是，所以半径是4． 故答案为：4． 【变式7-3】平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 【变式7-4】已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径． 【详解】解：如图， 圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8， 圆的直径为， 该圆的半径是3． 故选：B． 一、单选题 1．下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可． 【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意； B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意； D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 连接，由直角三角形斜边中线定理可得，然后可得是等边三角形，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故选：D． 3．已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义，掌握圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合成为解题的关键． 根据圆的定义可知：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，结合的长可判断垂直平分线上点到点A和B的距离等于2的点有2个即可解答． 【详解】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，而， ∴垂直平分线上点到点A和B的距离的点有2个， ∴经过A、B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 4．圆的半径是一条（　　） A．直线 B．射线 C．线段 【答案】C 【分析】本题考查了圆的半径的定义“连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径”，据此选择答案即可． 【详解】解：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径， 故选：C． 5．已知的半径是，则中最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长的弦长直径是． 故选：D 6．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（    ） A．半径是厘米 B．直径是厘米 C．周长是厘米 D．面积是厘米 【答案】A 【分析】此题考查了圆的认识，根据用圆规画圆的方法解题即可，熟练掌握圆的认识是解题的关键． 【详解】用圆规画圆的步骤为： ()把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离，这距离就是半径； ()把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上； ()把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出了一个圆； 故有圆的半径为厘米， 故选：． 7．如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边，三角形内角和定理，连接，根据，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ，根据三角形内角和定理即可求得 【详解】解：如图，连接， ∴ 设， 在中， 故选：D． 8．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【答案】A 【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解． 【详解】解：由题意得 解得：， 解得：， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键． 9．如图，的半径，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据半径相等，结合已知条件可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的半径相等，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 10．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ） A．2 B．5 C．1 D．5或1 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当点在圆外时；②当点在圆内时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图1，当点在圆外时，此时，， 此圆的半径为； ②如图2，当点在圆内时，此时，， 此圆的半径为； 综上可知，此圆的半径为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了求一点到圆上点距离的最值，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 11．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于（　　）    A．36° B．30° C．18° D．24° 【答案】D 【分析】连接，如图所示，由圆中半径相等及已知，由等腰三角形的判定与性质，结合三角形外角性质得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    ， 在等腰中，， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质，数形结合，找准各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，      ∴设小圆的半径为，大圆的半径， ∵像素，， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【答案】A 【分析】取点，连接，连接交于E，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，取点，连接，连接交于E，    是的中点，O是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， 当点P与点E重合时，最小为， 的最小值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 14．如图所示，为的弦，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握这些知识是解本题的关键． 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：为的弦， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，四边形为菱形，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，以及圆的相关概念，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，，推出，再根据勾股定理算出，推出，根据，即可解题． 【详解】解：连接，交于点，如图所示： 四边形为菱形，， ，，，， ，， ， ， ． 则阴影部分的面积是． 故答案为：． 16．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围． 【详解】解：∵， ∴在以B为圆心4为半径的圆上运动； ∵四边形为矩形， ∴； 延长到E，使，连接，交于点F、G； ∵N为的中点， ∴； 当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长； ∵，， ∴； ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， 则线段长度的取值范围是．    故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 圆的基本概念和性质 【考点1圆的有关概念】 【考点2 求圆中弦的条数】 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【考点5 求圆弧的度数】 【考点6点与圆的位置关系】 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【考点1圆的有关概念】 【典例1】如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 【变式1-1】如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 【考点2 求圆中弦的条数】 【典例2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式2-1】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2-2】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【考点3求过圆内一点的最长弦】 【典例3】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【变式3-2】已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【变式3-3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【考点4求一点到圆上点距离的最值】 【典例4】如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．13 B．14 C．12 D．28 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，P点是以点A为圆心、2为半径的圆上的任意动点，以为直角边作等腰直角，且点Q在第二象限，的最小值是 ． 【变式4-2】如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 【考点5 求圆弧的度数】 【典例5】如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，都是上的点，若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 知识点3 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【考点6点与圆的位置关系】 【典例6】已知的直径是6，点P到圆心O的距离是6，则点P与的位置关系是（  ） A．点P 在内 B．点 P 在上 C．点P 在外 D．点 P是圆心 【变式6-1】已知的半径为3，平面内有一个点P，若点P在外，则在的长可能为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-2】在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 【考点7利用点与圆的位置关系求半径】 【典例7】已知点P在⊙O外，且P点到⊙O最大距离是6，最小距离是2，则⊙O的半径为 ． 【变式7-1】平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为 ． 【变式7-2】如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ． 【变式7-3】平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【变式7-4】已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 一、单选题 1．下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 2．如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 3．已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．圆的半径是一条（　　） A．直线 B．射线 C．线段 5．已知的半径是，则中最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 6．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（    ） A．半径是厘米 B．直径是厘米 C．周长是厘米 D．面积是厘米 7．如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 9．如图，的半径，，则（    ）    A． B． C． D． 10．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ） A．2 B．5 C．1 D．5或1 11．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于（　　）    A．36° B．30° C．18° D．24° 12．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 二、填空题 14．如图所示，为的弦，，则的度数为 ． 15．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，四边形为菱形，若，则阴影部分的面积是 ． 16．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$