九年级下册 第2章 第11课时二次函数与一元二次方程(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第11课时二次函数与一元二次方程(1) 新课学 1.二次函数与一元二次方程的关系： △=b2-4ac 方程ax2+bx十c=0(a≠0) 抛物线y=ax2+bx十c(a≠0) △>0 有 的实数根 与x轴有2个交点 △=0 有 的实数根 与x轴有1个交点 △<0 没有实数根 与x轴没有交点 2.二次函数图象与坐标轴的交点与一元二次方程根的关系 二次函数y=ax2十bx十c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx十c=0的根.若抛物线 y=ax2十bx十c与x轴的交点为(m,0),(n,0),则方程a.x2+bx十c=0的解为x= 2= 抛物线y=ax2十bx十c与y轴有且只有 个交点( 知识点二次函数与一元二次方程的关系 例1如图是二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的变式1二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象 图象，根据图象解答下列问题： 如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx十c=0的两个实数根； (1)写出方程ax2十bx十c=0的两个根； (2)写出y的值随x值的增大而减小时自变量x(2)写出y的值随x值的增大而减小时自变量x 的取值范围； 的取值范围； (3)若方程ax2十bx十c=有两个不相等的实数(3)若方程ax2十bx十c=k没有实数根，写出飞 根，求的取值范围. 的取值范围. ●>134 第二章二次函数 例2设二次函数y=ax2+bx-b一a(a,b是常数 变式2已知二次函数y=x2-2mx十m2+3(m a≠0)： 是常数)： (1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没 说明理由； 有公共点； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线x=一1，(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位 求这个函数图象与x轴交点的坐标， 长度后，得到的图象与x轴只有一个公共点？ 课堂检利 基础过关 1.抛物线y=x2一5x十6与x轴的交点情况是 2.抛物线y=x2一2x十1与y轴的交点个数是 ( A.有两个交点 B.只有一个交点 A.0 B.1 C.没有交点 D.无法判断 C.2 D.3 3.若方程ax2十bx十c=0的根为x1=-2,x2= 4.若抛物线y=一kx2+4x一2与x轴有交点，则 1,则抛物线y=ax2+bx十c与x轴的交点为 的取值范围为 坐标 能力检测 5.某课外活动小组利用几何画板研究二次函数y=x2十bx十c的图象. (1)小明输入b=2,c=一3得到图1所示的抛物线，标记该抛物线的顶点为C,与x轴的交点为 A,B,点A在点B的左侧，求点A,B,C的坐标； (2)小东先输入b=一2，当输入c= 时，该图象与x轴只有一个交点； (3)小林任意输入b,c得到如图2所示的图象.观察图1，图2中的两条抛物线，你认为它们有哪些 相同的性质？写出两条即可. 图2 ●>13540高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） MN=C,器-AN=24-C 得36a十4=1，解得a= ,∴，k<2时，方程ax2十bx十c=k有两个不 相等的实数根 BH=x,心 x 24-BC .抛物线的函数表达式为y= 【变式1】解：(1)当y=0时，函数图象与x 24 12 轴的两个交点的横坐标即方程ax2十bx+ ∴Bc-2-号 6)2+4= 12x+x+1. c=0的两个根，由图可知，方程的两个根 (2)矩形面积y=BH·BC= 11 为x1=-1,x2=3. (24号)= (2)当y=号时，立x-6y+4= 3 (2)根据函数图象，在对称轴x=1的左 x2+24x, 解得x1=4,x2=8. 侧，y的值随x值的增大而减小，此时， 当x=一名=25时y的值最大，最 船向右偏移航线，∴x=8, x1. ∴.8-6=2(m), (3)方程ax2+bx十c=k没有实数根，即 大值是4ac二-30. 船中心偏离航道中心2m 函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图象与直线 Aa 【课堂检测】 y=k无交点，此时k<一2. 1.解：(1)由题意，得(130-100)×80= .当k<一2时，方程ax2十bx十c=k无实 第10课时 二次函数的应用(2) 2400(元)，即商家降价前每星期的销 数根 【新课学习】： 售利润为2400元。 【例2】解：(1)令y=0,.0=ad+bx-b-a, 【例1】解：设每间客房的日租金提高10x (2)由题意，得y=130-工×20十80- △=62-4·a[-(a+b)]=b+4ab+ 元，则每天客房少出租2x间.设装修后客 5 4a2=(2a+b)2≥0， 房日租金总收人为y元，则 一4x十600，y与x之间的函数关系 ,方程有两个不相等实数根或两个相等 y=(180+10x)·(40-2x) 式为y=-4x+600. 实数根，二次函数图象与x轴的交点的 即y=-20(x-1)2+7220. (3)设每星期的销售利润为w元，由题 个数为1或2. x≥0，且40-2x>0,.0≤x<20 意，得w=(x-100)y=(x-100)(-4x (2)·二次函数图象的对称轴是直线x= 当x=1时，yx=7220. +600)=-4(x-125)2+2500, b 这时每间客房的日租金为180十10×1= ∴.当每件售价定为125元时，每星期的销 1,.- 2a =-1,∴.b=2a 190(元). 售利润最大，最大销售利润为2500元. ∴.二次函数为y=a.x2+2ax-3a, 装修后比装修前日租金总收入增加7220一 2.解：(1)建立平面直角坐标系如答图所示， 令y=0,则ax2十2ax-3a=0(a≠0)， 40×180=20(元). y个 解得=一3,2=1，.这个函数图象与 答：每间客房的日租金提高到190元时， x轴交点的坐标为（一3,0），(1,0) 客房日租金的总收入最高；比装修前日租 【变式2】(1)证明：，△=(-2m)2-4×1 金总收入增加20元， X(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0, 【变式1】解：(1)由题意可设y=kx十b, .方程x2-2mx十m2十3=0没有实数 则十女 k=-20, 4m 根，即不论m为何值，该函数的图象与x 答图 轴没有公共点. ∴.y=-20x+800.∴.W=(x-10)y= 由题意可得，顶点坐标为(0,0)，设抛物 (2)解：y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+ (x-10)(-20x+800) 线的表达式为y=ax2,把点坐标（一2， 3,把函数y=(x一m)2+3的图象沿y轴 即W=-20x2+1000x-8000. 2)代人，得a=一0.5， 向下平移3个单位长度后， (2)一20<0，.W有最大值. .抛物线的函数表达式为y=一0.5x2 得到函数y=(x一m)2的图象，它的顶点 当x= 1000 2X(-20)=25时， (2)当水面下降1m,即当y=-3时， 坐标是(m,0),此时，这个函数图象与x轴 只有一个公共点， W#大做=-20×252+1000×25-8000= 一3=一0.5x2,解得x=士√6，所以水 面宽度增加到2√6m ∴.把函数y=x2一2mx十m2十3的图象沿 4500. 答：商品的销售价定为25元/件时利润最 ∴.水面宽度增加了(2√6-4)m. y轴向下平移3个单位长度后，得到的函 大，最大利润是4500元， 数的图象与x轴只有一个公共点. 【例2】解：(1)设抛物线的函数表达式为 第11课时二次函数与一元二次方程(1)月 【课堂检测】 y=a.x2+bx+c(a≠0)， 【新课学习 1.A2.B3.(-2,0),(1,0) A(-3,0),B(3,0),C(0,3), 1.两个不相等两个相等 4.k≤2且k≠0 /0=9a-3b+c, 2.m n 1 0 c 5.解：(1)当b=2,c=一3时，二次函数的 ∴.0=9a+3b十c,解得 b=0, 【例1】解：(1)函数图象与x轴的两个交 表达式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4, (3=0+0+c, ∴.C(-1,-4),当y=0时，x2+2x-3 c=3, 点的横坐标即方程ax2十bx十c=0的两 个根，由图可知，方程的两个根为x1=1, =0,解得x1=-3,x2=1,点A在点 ,.抛物线的函数表达式为y=一 3 x2十3. x2=3. B的左侧，A(-3,0),B(1,0). (2)能，理由：当x=2时，y=一 3×2+3 (2)根据函数图象，在对称轴的右侧，y随 (2)输人b=一2时，抛物线的函数表达 x的增大而减小，此时x≥2. 式为y=x2一2x十c, 号-1=号>0.5， 5 2 (3).'a.x2十bx十c=有两个不相等的实数 ,图象与x轴只有一个交点，则△= 根，∴.抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与直线 4一4c=0,则c=1,故答案为1. ∴，暴雨后这艘船能从这座石拱桥下通过 y=有两个交点，根据函数图象易知， (3)从图象上看，它们都是轴对称图形； 【变式2】解：(1)根据题意知，抛物线的顶 当>2时，无交点； 它们的开口都朝上；它们都可以由y= 点坐标为(6,4)，经过(12,1)，设抛物线表 当k=2时，只有一个交点； x的图象平移得到.（任意两条即可） 达式为y=a(x-6)2十4，把(12,1)代人， 当k<2时，有两个交点， 24.