九年级上册 第2章 第2课时一元二次方程(2)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

参考案 【变式1】证明：四边形ABCD是矩形， 第9课时《特殊平行四边形》 解得m=2. ∴∠BAD=∠CDA=90°， 热门考点整合应用 【例3】B ,AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 〔知识体系了 【变式3】解：x(x十1)=3(x一2)变形，得 ·∠EAD=1 x2-2x+6=0,.a=1,b=-2,c=6. 2 ∠BAD=45°， ①直角②相等③相等④直角 ⑤相等 ⑥互相垂直⑦平分一组对角 【课堂检测) ∠EDA=2∠CDA=45, ⑧相等⑨互相垂直 ⑩相等①直角 1.B2.B ∠EAD=∠EDA,AE=DE, 【基础巩固 3.(1)解：一般形式为2x2-6x-9=0, :∠EAD+∠EDA+∠AED=180°， 二次项系数为2，一次项系数为一6， 1.C2.C3.A4.B5.B6.2 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 7.证明：四边形ABCD是菱形， 常数项为一9. 又：四边形AEDF为平行四边形， ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, (2)解：一般形式为4x-x-7=0, .四边形AEDF是正方形 二次项系数为4，一次项系数为一1， .BE=BF,..AE=CF, 【例2】C 常数项为一7. (DA=DC, 【变式2】证明：四边形ABCD是正方 在△DAE和△DCF中，∠A=∠C, (3)解：一般形式为x2+1=0, 形，.AB=AD,∠A=∠B=90°， AE-CF, 二次项系数为1，一次项系数为0， DF=AP,∴.AB-AP=AD-DF ∴.△DAE≌△DCF(SAS), 常数项为1. ∴.BP=AF (4)解：一般形式为x2-5x-4=0, .DE=DF,∴.∠DEF=∠DCF 又BQ=AP,∴.△APF≌△BQP, 二次项系数为1，一次项系数为一5， 【能力提升】 常数项为一4. .FP=PQ. 8.A9.D 同理PF=PQ=QE=EF 4.D5.x2-2x-48=0 10.解：(1)证明：四边形ABCD是平行 6.(8-2x)(5-2x)=28 .四边形EFPQ是菱形 四边形，AD∥BC 2x2-13x+6=0 ,△APF≌△BQP,∠AFP=∠BPQ. .∠AFO=∠EBO. :∠AFP+∠APF=90°， 7.解：(1)由原方程得(m一2)x2一4x+1=0, O是BF的中点，.OB=OF ,该方程是一元二次方程， ∴.∠BPQ+∠APF=90°. 在△AOF和△EOB中， .m-2≠0，解得m≠2 ∴.∠FPQ=90°，∴.菱形EFPQ是正方形 ∠AFO=∠EBO, (2).(m-2)x2-4x十1=0为一元 【课堂检测 ∠AOF=∠BOE, 次方程，∴.m-2=0,解得m=2. 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) OF=OB, 3.证明：四边形ABCD是菱形， ,∴.△AOF≌△EOB(AAS),∴.OA=OE 第2课时 一元二次方程(2)】 .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD OB=OF,.四边形ABEF是平行 汇新课学可】 ,BE=DF,∴OE=OF, 四边形.，AB=AF,.四边形ABEF 相等 .四边形AECF是菱形..OE=OA, 是菱形 ∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC, (2).AD∥BC, 【例1】A 【变式1】B .∠BAD+∠ABC=180°， 【例20 【变式2】1 .菱形AECF是正方形 ∠BAD=120°，∴.∠ABE=60° 【例3】23 【变式3】G 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠BAE=90°， ,'在菱形ABEF中，AB=BE=AF= 【例4】232.32.4 【变式4】-13340.363.33.4 ,EF⊥BC于点F,∠F=90°， EF,.△ABE是等边三角形， ..AE=AB. 33 .∠F=∠ABC=∠BAE=90°， .四边形ABFE是矩形， :在平行四边形ABCD中，AD=BC, 课堂检测】 BD平分∠ABC, AB=CD,..EC=DF=1. 1.(1)-1(2)D2.C3.D .∠ABD=∠DBC=45°， .AB=CD,AB=EF,.'.CD=EF 4.解：当x=2时，5x-24x十28=0，所以方 :AE∥BC,∴∠AEB=∠EBF=45, .AB+BC+CD+AD-22, 程5.x2一24x+28=0的一个根是x=2; .∠ABE=∠AEB=45°，.AB=AE, .AB+BE+1+CD+AF+1=22, 当x=2.5时，5.x2-24x十28=-0.75， .四边形ABFE是正方形 .4AB=20,.AB=AE=5. 当x=3时，5x2-24x十28=1，所以方程 5.(1)证明：，DE⊥BC,.∠DFB=90°， 即AE的长为5. 5x2一24x十28=0的另一个根的范围是 ∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB, 2.5<x<3. .AC∥DE, 第二章 元二次方程 5.(1)D(2)56.D 又m∥AB,即CE∥AD,∴.四边形 7.(x+3)(x+1) (x+3)(x+1)=65. ADEC是平行四边形，.CE=AD. 第1课时 一元二次方程(1) x2+4x-62=0 6 (2)①解：四边形BECD是菱形，理由： 【新课学习 ,D为AB中点， 1.ax2+bx+c=0 第3课时用配方法求解 .AD=BD,由(1)得CE=AD 2.一次项常数项ab 一元二次方程(1) BD=CE,又BD∥CE, 【例1】B【变式1】C 江新课学习】 四边形BECD是平行四边形， 【例2】解：，(a-1)2十x一9=0是关于x 完全平方式配方 ,∠ACB=90°，D为AB中点， 的一元二次方程， 【例1】(1)解：x=±√9，x=-3,x2=3. :.CD-BD-7AB, .二次项系数a一1≠0，.a≠1. 【变式2】解：(m十2)xm-1=0是关于 (2)解：x=士√/25，x1=一5，x2=5. .四边形BECD是菱形 x的一元二次方程，：(m=2, (3)解：x+1=士√2， ②45 m+2≠0， x1=-1+√2，x2=-1-√2. 5 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 【变式1】 (1)解：x=±√7，=一√7，x2=√7. 两边开军方得十号士。 1 叶=士， 2 (2)解：x2=25,x1=5,x2=-5. 所以=521，=二5-1 所以=二V15-3 2 x2=15-3 2 2 2 (3)解：移项，得12(3-2x)2=3, 两边都除以12，得(3-2)=子， 5.(1)0 (2)5或6 (2)解：整理，得2x2+4x=3, 方程变形为父十2x=号， 1 :3-2x是号的平方根3-2x=土 第4课时用配方法求解 一元二次方程(2) 配方，得(x+1)= 2， 即3-2x=号，或3-2x= 1 5 x=4 【新课学习 开平方，得x+1=±0， 2 为子 等式的性质 所以a=二2+10 %=20 【例1】解：原方程变形为x2十4x= 1 2 2 【例2】(1)解：移项，得x2+6x=-5, 6.解：(1)-1 配方，得x2+6x+32=-5十32， 配方，得6a+2=号+4， (2)设AC,BD相交于点O,:ACLBD, (x+3)2=4,x+3=士2， ∴四边形ABCD的面积为2AC.OD+ 所以x1=-5,x2=-1. 两边开平方，得x十2=土3 2, (2)解：移项，得x2一5x=一4， ,=-2-30 AC.OB-TAC.BD. 52, 配方，得2-5x+(号)2=-4+（ 所以=-2+ 2 2 ,AC+BD=10,.BD=10-AC, 【变式1】解：原方程变形为x2-2x= 3 “四边形ABCD的面积为号AC·(10 -= 4 配方，得x2-2x十1= 3+1, -AC)= AC+5AC --(AC 两边开平方，得x一号-士号， 即(x-1)=2 5+罗 所以x1=4,x2=1. 所以=士9， 【变式2】(1)解：移项，得x2-4x=-3, x-1- 3,=1+6 :-号AC-5)<0,∴当AC=5时， 3 配方，得x2-4x十22=-3十2， 四边形ABCD的面积最大，最大值 【例2】解：原方程变形为x+子x=1, 2 (x-2)2=1, 为2。 两边开平方，得x一2=土1， 配方，得+号+（号产=1+（， .x1=1,x2=3. (2)解：移项，得x2-3x=一1， 即x+= 第5课时用公式法求解一元二次方程 9 汇新课学习】 配方，得2-3x+(2)=-1+(受， 开平方，得x叶号=士四， 1 3, 1.x=-b±VB-4a =-1-10 2a 所以=一1+0 3 3 2.b2-4ac(1)>(2)=(3)< 两边开平方，得一昌=士9， 【变式21解：原方程变形为2-号= 3.(1)a,b,c(2)△(3)△≥0△<0 【例1】解：方程化为x2一3x一4=0. 4-3+5,=3,5 5 a=1,b=-3,c=-4, 2 21 6 3 △=-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0. 【课堂检测 ∴x=-b吐yF-4ac_-(-3)±25 1.C2.A3.D 4.(1)解：两边同除以5，得(x-2)2=7, 开平方，得x一哥= 2a 2×1 6， -3,即4=4=-1 两边开平方，得x一2=士√7， 所以西=5+3 6 ,x2=5-13 6 【变式1】解：原方程可变形为3x2一4x一2 即x-2=√7，或x一2=-√7， 【课堂检测了 =0.a=3,b=-4,c=-2, 所以G=√7+2，x2=-√7+2. 1.A2.A3.x1=4,x2=-5 △=16-4×3×(-2)=40>0， (2)解：两边开平方，得 4.解：(1)二 (2)移项，得2x2一8x=一3，二次项系数 =4结40=4生2⑩=2±⑩ 2(2x-5)=士3(3x-1) 2×3 6 3 整理，得4x一10=士(9x一3)， 化为1，得x2-4x= 3 2 即4x-10=9x-3,或4x-10=-9x+3, 即1=2+10 3 0,4210 3 7 配方，得2一4红十4=号十4，因此(0 【例2】解：方程化为x十2x十1=0， 所以=方西=1 -2=号由此得x一2=或一2 .a=1,b=2,c=1, (3)解：移项，得x2一4x=96, △=-4ac=22-4X1×1=0, 配方，得x2-4x十22=96十22， 即(x-2)2=100, V0,解得1=2+10 b 2 2 六西==2a=一2X1-1. 两边开平方，得x-2=士10，x=2士 x2=2- /10 【变式2】解：方程化为x一6x十9=0. 10,所以x1=12,x2=-8. 2 ,'a=1,b=-6,c=9, (4)解：移项，得x2+x=1, 5.(1)解：方程变形为+32=是， △=b-4ac=(-6)2-4×1X9=0, 配方，得父+z+-1+子 配方，得x+3x+9=5, -6 44 即(x+P=， 即(x+名)P=只，两边开平方，得 【例3】解：方程化为2x2-2x+1=0. a=2,b=-2,c=1, 6数学·九年级·全册（北师大版） 第2课时一元二次方程(2) 新课 ·元二次方程的根（解）：能使方程左右两边 的未知数的值. 知识点①一元二次方程的根（解） 变式1 一元二次方程x(x+1)=12的解为 例1方程x2一2x=0的根是 A.0,2 B.1,-2 A.3,4 B.3,-4 C.-1,2 D.-2,3 C.-3,4 D.-3,-4 例2若关于x的一元二次方程x2+2x十m十1= 变式2若x=1是方程x2-2x十a=0的根，则a= 0有一个解为-1，则m的值为。 知识点2估计一元二次方程的解 例3观察下表，探索x2=5的正数解的大致 变式3 观察下表，一元二次方程x2一x=1.1 范围： 的一个近似解是 ( 2 1 3 4 2 1.41.51.6 1.7 1.8 1.9 x2 1 4 9 16 x2-x0.560.750.961.191.441.71 A.0.11 B.1.19 C.1.67 D.1.73 因为4<5<9，所以 <x< 例4下面用“夹逼法”探索x2一x=3的正数解的 变式4 一块矩形花圃的面积是1m,长比宽多 取值范围： 3m,求花圃的长.小明的解题过程如下：设花圃 第一步： 的长为xm,列方程为x(x一3)=1，整理得x2 3x一1=0.小明列方程后，想知道花圃的长是多 0 2 3 少，下面是他的探索过程： x2-x 0 2 6 12 第一步： 故 1 2 3 第二步： x2-3x-1 -3 -3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 故 <x< x2-x 2.31 2.64 2.99 3.36 3.75 第二步： 故 <x< x 3.1 3.2 3.3 3.4 利用这种方法继续往下探索，可以得到方程x一 x2-3x-1 -0.69 -0.36 -0.01 x=3更加精确的正数解. 故 <x< (1)请你帮小明填表，完成他未完成的部分； (2)通过以上探索，估计出矩形花圃长的整数部 分为 ,十分位为 ●22● 第二章 一元二次方程 课堂检列 圆基础过关 1.(1)关于x的方程x2-k.x-12=0的一个根为2.若关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠ 3,则k的值为 0)有一个根为1，则下列结论正确的是( ) (2)在数1,2,3,4中，是方程x2+x-20=0的 A.a+6+c=1 B.a-b+c=0 根的为 ( C.a+6+c=0 D.a-6+c=1 A.1 B.2 C.3 D.4 3.根据下列表格中的对应值： 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 -0.03 0.09 判断方程ax2十bx十c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 4.观察下表： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5x2- 24x+28 28 17.25 9 3.25 0 0.75 1 5.25 12 从表中你能得出方程5x2一24x十28=0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写 出方程根的取值范围， 能力检测 5.(1)已知m是一元二次方程x2-2x-2=0的6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0 一个根，则代数式2m2一4m+2025的值为 (a≠0)有一根为x=2025,则一元二次方程 ( a(x-1)2十bx-b十2=0必有一根为( A.2021 B.2023 A.x=2023 C.2025 D.2029 B.x=2024 (2)已知关于x的一元二次方程a.x2一36x一5=0 C.x=2025 有一个根为2，则4a-6b=, D.x=2026 7.有一个面积为65m的矩形，将它的一边剪短3m,另一边剪短1m,恰好变成一个正方形，那么 这个正方形的边长是多少米？如果设剪短后的正方形的边长为x,那么原来矩形的长是 m,宽是 m.根据题意，可列方程为 整理，得 估算剪短后的正方形的边长为 m. ●>23●