九年级上册 第2章 第1课时一元二次方程(1)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

第二章一元二次方程 第1课时 一元二次方程(1)》 新课学 1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 (a,b,c为常数，a≠0)的形 式，这样的方程叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分别称为二 次项、 和 分别称为二次项系数和一次项系数。 知识点①一元二次方程的定义 例1下列方程中，一元二次方程共有（ 变式1下列方程是一元二次方程的是( ①x2-2x-1=0;②a.x2+bx+c=0; A.(x+1)2=x2+7 @号+35=0④2=0： B.a.x2+bx+5=0 C.m2-2m=3 ⑤(x-1)2+y2=2;⑥(x-1)(x-3)=x2. A.1个B.2个C.3个D.4个 D+2-1=0 例2若方程(a-1)x2十x一9=0是关于x的一 变式2若方程(m十2)xm一1=0是关于x的 元二次方程，求a的取值范围. 元二次方程，求m的值. 知识点2一元二次方程的一般形式 例3关于x的一元二次方程5x2+2x一1=0的变式3把方程x(x+1)=3(x一2)化成一般式 二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )ax2+bx十c=0(a>0)的形式，求a,b,c的值. A.5,-2,-1 B.5,2,-1 C.-5,2,1 D.-5,-2,-1 ●>20● 第二章 一元二次方程 课堂检 圆基础过关 1.下列方程是一元二次方程的是 2.如果方程(k一2)x2一3kx一1=0是一元二次 A.2x2+y=1 B.x2-2x=3 方程，则k不可能是 C.x2=(x-1)2 0=6 A.0 B.2 C.-2 D.1 3.将下列一元二次方程化为一般形式，并写出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项 (2)4x2-7=x; (1)2x2-9-6x=0; (3)x(x+3)=3x-1; (4)4=x(x-5). 能力检测 4.一个长方形的面积为9m,并且长比宽多8m, 5.一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边的 设长方形的宽为xm,则可列方程为( 长相差2，设较长的直角边长为x,根据题意， A.2x(x+8)=9B.2[x十(x+8)]=9 列方程得x2十(x一2)2=10，化成一般形式 C.x(x-8)=9 D.x(x+8)=9 得 6.(教材P31改编)如图（单位：m),矩形地面 7.关于x的方程mx2-3x=2x2十x-1. 的长为8m,宽为5m,现准备在地面的正中 (1)当m为何值时，原方程为一元二次方程； 间铺设一块面积为28m的地毯，四周未铺 (2)当m为何值时，原方程为一元一次方程. 地毯的条形区域的宽度都相同，设未铺地毯 区域宽为xm,根据题意，得方程 ,化为一元二次方程的一般 形式为 x ●>21《●参考案 【变式1】证明：四边形ABCD是矩形， 第9课时《特殊平行四边形》 解得m=2. ∴∠BAD=∠CDA=90°， 热门考点整合应用 【例3】B ,AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 〔知识体系了 【变式3】解：x(x十1)=3(x一2)变形，得 ·∠EAD=1 x2-2x+6=0,.a=1,b=-2,c=6. 2 ∠BAD=45°， ①直角②相等③相等④直角 ⑤相等 ⑥互相垂直⑦平分一组对角 【课堂检测) ∠EDA=2∠CDA=45, ⑧相等⑨互相垂直 ⑩相等①直角 1.B2.B ∠EAD=∠EDA,AE=DE, 【基础巩固 3.(1)解：一般形式为2x2-6x-9=0, :∠EAD+∠EDA+∠AED=180°， 二次项系数为2，一次项系数为一6， 1.C2.C3.A4.B5.B6.2 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 7.证明：四边形ABCD是菱形， 常数项为一9. 又：四边形AEDF为平行四边形， ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, (2)解：一般形式为4x-x-7=0, .四边形AEDF是正方形 二次项系数为4，一次项系数为一1， .BE=BF,..AE=CF, 【例2】C 常数项为一7. (DA=DC, 【变式2】证明：四边形ABCD是正方 在△DAE和△DCF中，∠A=∠C, (3)解：一般形式为x2+1=0, 形，.AB=AD,∠A=∠B=90°， AE-CF, 二次项系数为1，一次项系数为0， DF=AP,∴.AB-AP=AD-DF ∴.△DAE≌△DCF(SAS), 常数项为1. ∴.BP=AF (4)解：一般形式为x2-5x-4=0, .DE=DF,∴.∠DEF=∠DCF 又BQ=AP,∴.△APF≌△BQP, 二次项系数为1，一次项系数为一5， 【能力提升】 常数项为一4. .FP=PQ. 8.A9.D 同理PF=PQ=QE=EF 4.D5.x2-2x-48=0 10.解：(1)证明：四边形ABCD是平行 6.(8-2x)(5-2x)=28 .四边形EFPQ是菱形 四边形，AD∥BC 2x2-13x+6=0 ,△APF≌△BQP,∠AFP=∠BPQ. .∠AFO=∠EBO. :∠AFP+∠APF=90°， 7.解：(1)由原方程得(m一2)x2一4x+1=0, O是BF的中点，.OB=OF ,该方程是一元二次方程， ∴.∠BPQ+∠APF=90°. 在△AOF和△EOB中， .m-2≠0，解得m≠2 ∴.∠FPQ=90°，∴.菱形EFPQ是正方形 ∠AFO=∠EBO, (2).(m-2)x2-4x十1=0为一元 【课堂检测 ∠AOF=∠BOE, 次方程，∴.m-2=0,解得m=2. 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) OF=OB, 3.证明：四边形ABCD是菱形， ,∴.△AOF≌△EOB(AAS),∴.OA=OE 第2课时 一元二次方程(2)】 .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD OB=OF,.四边形ABEF是平行 汇新课学可】 ,BE=DF,∴OE=OF, 四边形.，AB=AF,.四边形ABEF 相等 .四边形AECF是菱形..OE=OA, 是菱形 ∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC, (2).AD∥BC, 【例1】A 【变式1】B .∠BAD+∠ABC=180°， 【例20 【变式2】1 .菱形AECF是正方形 ∠BAD=120°，∴.∠ABE=60° 【例3】23 【变式3】G 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠BAE=90°， ,'在菱形ABEF中，AB=BE=AF= 【例4】232.32.4 【变式4】-13340.363.33.4 ,EF⊥BC于点F,∠F=90°， EF,.△ABE是等边三角形， ..AE=AB. 33 .∠F=∠ABC=∠BAE=90°， .四边形ABFE是矩形， :在平行四边形ABCD中，AD=BC, 课堂检测】 BD平分∠ABC, AB=CD,..EC=DF=1. 1.(1)-1(2)D2.C3.D .∠ABD=∠DBC=45°， .AB=CD,AB=EF,.'.CD=EF 4.解：当x=2时，5x-24x十28=0，所以方 :AE∥BC,∴∠AEB=∠EBF=45, .AB+BC+CD+AD-22, 程5.x2一24x+28=0的一个根是x=2; .∠ABE=∠AEB=45°，.AB=AE, .AB+BE+1+CD+AF+1=22, 当x=2.5时，5.x2-24x十28=-0.75， .四边形ABFE是正方形 .4AB=20,.AB=AE=5. 当x=3时，5x2-24x十28=1，所以方程 5.(1)证明：，DE⊥BC,.∠DFB=90°， 即AE的长为5. 5x2一24x十28=0的另一个根的范围是 ∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB, 2.5<x<3. .AC∥DE, 第二章 元二次方程 5.(1)D(2)56.D 又m∥AB,即CE∥AD,∴.四边形 7.(x+3)(x+1) (x+3)(x+1)=65. ADEC是平行四边形，.CE=AD. 第1课时 一元二次方程(1) x2+4x-62=0 6 (2)①解：四边形BECD是菱形，理由： 【新课学习 ,D为AB中点， 1.ax2+bx+c=0 第3课时用配方法求解 .AD=BD,由(1)得CE=AD 2.一次项常数项ab 一元二次方程(1) BD=CE,又BD∥CE, 【例1】B【变式1】C 江新课学习】 四边形BECD是平行四边形， 【例2】解：，(a-1)2十x一9=0是关于x 完全平方式配方 ,∠ACB=90°，D为AB中点， 的一元二次方程， 【例1】(1)解：x=±√9，x=-3,x2=3. :.CD-BD-7AB, .二次项系数a一1≠0，.a≠1. 【变式2】解：(m十2)xm-1=0是关于 (2)解：x=士√/25，x1=一5，x2=5. .四边形BECD是菱形 x的一元二次方程，：(m=2, (3)解：x+1=士√2， ②45 m+2≠0， x1=-1+√2，x2=-1-√2. 5