第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第八章平面解析几何（综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第一章集合与常用逻辑用语、不等式～第八章平面解析几何 综合训练（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量,,若,则（   ） A．-3 B．2 C．3 D．5 3．设,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h）,其中k为常数．在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增 加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 5．设双曲线的右焦点为F,左,右顶点分别为,,M为C上一点,且轴,点N在线段MF上,直线交y轴于H点,直线交y轴于G点,O为坐标原点,若,则C的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 6．若是正方体的面上的一个动点,则下列结论不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为,且,直线与曲线交于两点,则（　　） A．为奇函数 B．的定义域和值域相同 C． D．的最大值为2 8．已知且满足,则下列结论正确的有（ ） A．的最大值为 B．的最小值为2e C．的最大值为 D．的最小值为2e 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F,点在C上,则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若,则 D． 10．已知等比数列的各项均为正数,且公比,则（    ） A． B． C． D． 11．如图所示,在圆锥PO中,PO为高,AB为底面圆的直径,圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形,C为母线PA的中点,点M为底面上的动点,且,点O在直线PM上的射影为H,当点M运动时,则有（    ） A．三棱锥体积的最大值为 B．直线PA与直线CH不可能垂直 C．点H的轨迹长度为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知为虚数单位,则复数的虚部是 ． 13．已知,,则= . 14．已知函数设,,若关于的不等式恰有一个整数解,则的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分） 已知等差数列的公差为,前项和为,且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和,求使得的的最小值. 16．（15分） 如图,在四棱锥中,侧棱长均为,四边形是矩形,. (1)证明：平面平面. (2)求二面角的正弦值. 17．（15分） 在中,角的对边分别为,且. (1)求角的大小； (2)若,求的取值范围； (3)如图,若,点分别在边上,将沿着线段对折,顶点恰好落在边上的点,当时,求重叠部分的面积. 18．（17分） 已知椭圆的长轴长为,离心率为,直线与轴交于点,与相交于两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1,且,求m的值； (3)是否存在,使恒为定值？若存在,求出与的值；若不存在,请说明理由． 19．（17分） 已知函数和函数__________有相同的最大值,请在以下的函数：①,②,③中选择一个函数填入横线中,并完成下列问题. (1)求的值； (2)当时,恒成立,求实数的取值范围； (3)证明：存在实数,使函数,共有4个不相同的零点,按从小到大的顺序为,则. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式～第八章平面解析几何 综合训练（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合,所以. 故选C. 2．已知平面向量,,若,则（   ） A．-3 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解析】因为,所以,则,所以.故选C. 3．设,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若,则,当且仅当时,等号成立,故“”是“”的充分条件；取,,则,但,故“”不是“”的必要条件；综上可得“”是“”的充分不必要条件.故选A. 4．一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h）,其中k为常数．在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增 加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意,,, , 因为,所以,所以,所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加4小时.故选B. 5．设双曲线的右焦点为F,左,右顶点分别为,,M为C上一点,且轴,点N在线段上,直线交y轴于H点,直线交y轴于G点,O为坐标原点,若,则C的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为轴,轴,则,所以,则,同理.因为,则,即,得,所以.故选A 6．若P是正方体的面上的一个动点,则下列结论不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】P是正方体的面上的一个动点,对于A,在正方体中当点与重合时,为平行四边形,则,A成立；对于B,在正方体中若,那么共面,因为是面上的一个动点,则不能在同一平面,B不成立；对于C,在正方体中当点与重合时,平面,因为平面,所以,C成立；对于D,在正方体中当点与重合时,平面,因为平面,所以,又,,平面,所以平面,因为平面,所以,D成立；故选B. 7．已知函数的定义域为,且,直线与曲线交于两点,则（　　） A．为奇函数 B．的定义域和值域相同 C． D．的最大值为2 【答案】D 【解析】对于A,因为,所以,,所以,令,则,即,所以,所以为偶函数,错误；对于B,由A知函数的定义域为,值域为,错误；对于C,由,得,即表示单位圆不含点和,由题意,直线与单位圆有两个交点,所以圆心到直线的距离,解得,当直线过点时,可得,当直线过点时,可得,所以,错误；对于D,由弦长公式可得,又,所以当,即直线过原点时,取最大值,为2,正确.故选D 8．已知且满足,则下列结论正确的有（ ） A．的最大值为 B．的最小值为2e C．的最大值为 D．的最小值为2e 【答案】B 【解析】,,构造函数, ,∵,∴函数是上的增函数,∴,即,故．对于A选项,,令,显然在上单调递增,故无最大值,所以A错误；对于B选项,由,得,当且仅当时,取等号,所以的最小值为2e,所以B正确；对于C选项,,令,显然,在上单调递减,故无最大值,所以C错误；对于D选项,,当且仅当时,取等号,则的最小值为,所以D错误.故选B. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F,点在C上,则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若,则 D． 【答案】BCD 【解析】对于A,B,由抛物线方程为,则焦点,准线方程为,故A错误,B正确；对于C,将代入,得,则,故C正确；对于D,由抛物线定义得,当时,取等号,故D正确.故选BCD. 10．已知等比数列的各项均为正数,且公比,则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可知：的公比,,则,由于,故,故,故A正确,B错误,,故,故D正确,C错误,故选AD. 11．如图所示,在圆锥PO中,PO为高,AB为底面圆的直径,圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形,C为母线PA的中点,点M为底面上的动点,且,点O在直线PM上的射影为H,当点M运动时,则有（    ） A．三棱锥体积的最大值为 B．直线PA与直线CH不可能垂直 C．点H的轨迹长度为 D．的最大值为 【答案】AC 【解析】设圆锥的底面半径为,高为,母线长为.由题可知,所以.因为,所以.因为,所以.对于Ａ,因为平面,平面,则,因平面,故平面,则三棱锥的体积,当且仅当时等号成立.故三棱锥体积的最大值为,故Ａ正确；对于B,由上已证平面,因平面,所以因为点O在直线PM上的射影为H,所以由且平面,得平面,因平面,则,又,连接OC,又C为PA的中点,故,又平面,所以平面,因平面,故恒成立,即B不正确；对于C,由选项B可知平面.因为平面,平面,所以,因过点C且与PA垂直的平面仅有一个,则H点的轨迹为以OC为直径的圆（除去两点）．因为,所以H点的轨迹周长为,故C正确；对于D,方法一：由选项B可知因,则点必在圆内,设,则,,,令,则.当时,,在上单调递增；所以,故D错误.方法二：,当且仅当 即时,取等.因为,所以,即,故D错误.故选AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．．已知为虚数单位,则复数的虚部是 ． 【答案】 【解析】,所以复数的虚部是. 13．已知,,则= . 【答案】 【解析】由于,所以,由于,,所以,. 14．已知函数设,,若关于的不等式恰有一个整数解,则m的最大值是 ． 【答案】12 【解析】作出函数的图象如图所示,有,.对于方程,令,则.因为,所以方程有两个不同的实数根,设为,,且,所以的解集为.由于,则,.当时,,所以,,则,由图可知的解为或,此时关于的不等式的解中至少有2个整数,不符合题意；当时,,.由函数的图象可知,当时,对应的值唯一.因为的解恰有一个整数,所以这个整数为,所以,即,此时,即的最大值是12.    四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分） 已知等差数列的公差为,前项和为,且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和,求使得的的最小值. 【解析】（1）由于, 故解得（3分） 所以.（5分） （2）由（1）知,所以, 则数列是以4为首项,3为公差的等差数列； 所以.（8分） 由,得, 即, 则,或, 又因为,所以的最小值为4. （13分） 16．（15分） 如图,在四棱锥中,侧棱长均为,四边形是矩形,. (1)证明：平面平面. (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）连接交于点,记的中点分别为,连接, 在中,是的中点, 所以, 因为平面,所以平面,（3分） 因为平面,所以, 在矩形中,, 因为平面,所以平面,（5分） 因为平面,所以, 由,同理得,又, 所以,即,（6分） 因为平面,所以平面, 因为平面,所以平面平面.（8分） （2）作,垂足为, 以为坐标原点,分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为,, 所以,, 所以,（10分） 设是平面的法向量,则,即,可取, 设是平面的法向量,则,即,可取,（13分） ,则, 故二面角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 在中,角的对边分别为,且. (1)求角的大小； (2)若,求的取值范围； (3)如图,若,点分别在边上,将沿着线段折,顶点B恰好落在边上的点,当时,求重叠部分的面积. 【解析】（1）由,得, 所以,即, 所以,（3分） 又,所以,所以． 又,所以．（5分） （2）,, 由余弦定理可得 ,所以,（8分） 当且仅当时,等号成立, 又因为,则,所以的取值范围为；（10分） （3）由,知为等边三角形,由及,得, 设,则． 在中,由余弦定理可得, 即,解得．（12分） 同理,在中,由余弦定理可得． 又, 所以．（15分） 18．（17分） 已知椭圆的长轴长为,离心率为,直线与轴交于点,与相交于两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1,且,求的值； (3)是否存在,使恒为定值？若存在,求出与的值；若不存在,请说明理由． 【解析】（1）由题意知,,解得,, 所以的标准方程为．（4分） （2）由的斜率为1,则直线的方程为． 设,, 联立,消去得,, 其中,解得, 所以,,（6分） 所以, 因为,所以,解得．（9分） （3）①当直线的斜率不为0时,设其方程为, 联立,消去得,, 其中, 所以,,（11分） 所以 ． 当,即时,,即；（14分） ②当直线的斜率为0时,不妨取,, 若,则, 此时 ,即． 综上,存在,使得恒为定值,即,.（17分） 19．（17分） 已知函数和函数__________有相同的最大值,请在以下的函数：①,②,③中选择一个函数填入横线中,并完成下列问题. (1)求的值； (2)当时,恒成立,求实数的取值范围； (3)证明：存在实数,使函数,共有4个不相同的零点,按从小到大的顺序为,则. 【解析】（1）定义域为,, 令,解得, 若,在上,上, 所以有最小值无最大值,不满足题意,故, 所以当时,,函数单调递增； 当时,,单调递减, 所以最大值为.   （3分）    对于①,定义域,, 令,解得,因为 所以时,,函数单调递减； 时,,函数单调递增； 所以无最大值,所以不满足题意. 对于③,定义域,因为 所以,恒单调递增；无最大值, 所以不满足题意. 对于②定义域,, 令,解得,因为, 所以时,,函数单调递增； 时,,函数单调递减； 所以的最大值为,所以满足题意, 所以,解得.（5分） （2）因为,当时,, 所以,,且,整理得：, 即,,       令, 则,   （7分）  （i）当时,,,单调递减,又, 所以当时,,,所以； 当时,,,所以, 所以满足题意；（8分） （ii）当时,由于,,所以, 又,所以时,,而, 所以不满足题意；（9分） （iii）当时,此时恒成立,故在上有, 此时恒成立,所以不满足题意.       综上所述,的取值范围为.（10分） （3）设,, 与的零点相当于与与的交点, ,当时,,函数单调递增, 当时,,函数单调递减, ,,；     ,当时,,函数单调递增, 当时,,函数单调递减, ,,；       又, 所以、图如下：    设与相交于点,由图象可知：  ,（13分） ①.当时,, 不妨设交点分别为：,,, 又 因为,所以,同理     所以,,所以,即, 因为、、、均大于零, 所以,所以得证； （16分）    ②当时,将①中的、两点互换,即与互换,结论不变.     综上所述,得证,存在实数使题干要求成立. （17分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $