第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】. 故答案为： 2．已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 3．若，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 4．已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 5．不等式的解集为 ． 【答案】或. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 6．已知，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 7．设，，则满足 条件 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】将不等式两边平方即可求解. 【详解】由，得， 所以，即， 所以. 故答案为:. 8．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 9．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 10．已知集合A，B，C均是集合的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合的个数为 . 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、组合数的计算 【分析】根据集合子集个数结论，得到集合A，B，C的总数，再用组合知识计算即可. 【详解】集合A，B，C均是集合的非空真子集,则集合A，B，C的总数为. 然后从30个中任选3个组成集合即可.则组合数为：. 故答案为：. 11．已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列的通项，结合不等式性质求出的最小值. 【详解】依题意，， 则，即，而，因此， 当时，取，不等式成立， 所以的最小值是. 故答案为： 12．设是一个非空集合，集合是集合的若干个子集所组成的新集合，即且，其中表示集合中元素的个数，若满足： （1），； （2）对于中的任意两个元素，，其交集； （3）对于中的任意两个元素，，其并集； 则称是集合上的一个拓扑结构．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①集合是集合上的一个拓扑结构； ②集合是集合上的一个拓扑结构； ③集合是集合上的一个拓扑结构； ④集合上仅有3个拓扑结构且分别为，，． 【答案】①③ 【知识点】集合新定义 【分析】根据新定义排除错误说法，根据新定义确定正确说法. 【详解】对于②，因为，因此②错误；对于④，易知集合，，均是集合上的拓扑结构，但是集合也是集合上的一个拓扑结构，因此④错误；对于①③，通过逐项验证，易发现是正确的，故答案是①③． 【点睛】此题是集合的新定义问题，很好地体现了高考命题从能力立意到素养提升的命题导向，具有一定的指引性．解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、分式不等式 【分析】由分式不等式求解，及指数函数的值域，确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意， ， 故选：C 14．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、利用Venn图求集合、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得集合,然后求交集. 【详解】由图知，阴影部分表示的集合为， 或，. 或或，， . 故选：B 15．若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、既不充分也不必要条件 【分析】首先得，故问题转换为了是的什么条件，分充分、必要两种情况说明即可. 【详解】令，求导得恒成立， 所以是上的增函数， 所以， 当时，有，这表明不是的充分条件， 当时，有，这表明不是的必要条件， 所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 16．（2025·上海黄浦·三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、函数新定义、集合新定义 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知不等式的解集为． (1)求实数的取值范围； (2)若为负实数，且的最大值为，正实数，满足，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】基本不等式求和的最小值、绝对值三角不等式 【分析】（1）由绝对值三角不等式和绝对值的性质可得，即，解不等式即可得出答案. （2）由基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为 ， 所以，当且仅当时取等号， 由得或， 即实数的取值范围为．（7分） （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当且，即或时等号成立．（14分） 18．（14分）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、向量的线性运算的几何应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得，根据辅助角公式结合角的范围可得结果. （2）根据条件可得，两边同时平方结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）∵，∴， ∵， ∴， ∴. ∵，∴， ∴，即，故. ∵，∴， ∴，故.（7分） （2） ∵，∴， ∴，即. ∵，， ∴，即. ∴，即， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为.（14分） 19．（14分）（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据集合中元素的个数求参数、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可； （2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围. 【详解】（1），令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为；（7分） （2）由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围.（14分） 20．（18分）（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）通过导数求函数在区间上的单调性即可； （2）通过导数确定函数的单调性及极值，以及是在处的切线，再分类讨论和即可； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明即可. 【详解】（1）因为，求导得， 所以在上为单调递增函数，因此；（4分） （2）因为，所以，而， 因为，表示过点， 斜率为的直线，故是在处的切线， 而存在极值点，又因为，所以， 当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，此时与在上均为单调递增函数， 因此当时，恒成立， 即， 当时，则有，显然成立，当时，则有， 因为，所以； 当时，此时 此时，不符题意舍去； 综上，实数的取值范围为；（11分） （3）证明：先证明必要性（）： 若为上的单调递增函数，则任取， 由题意可得， 因为，所以或或或， 因为为上的单调递增函数， 所以或或或， 所以，所以或成立． 同时对为上的单调递减函数，同理可证． 下面证明充分性（）： 当与其中一式成立时，不可能为常值函数， 先任取，总有或 假设存在，使得， 记，则， 因为存在，则或， 不妨设，则，否则当， 此时，矛盾； 进而可得，则，，因此①． 最后证明为上的单调递减函数，任取，且，需考虑如下情况： 情况一：若，同上述可得，， 所以． 情况二：若，则， 否则，，由此矛盾， 因为，同情况一可得矛盾， 所以． 情况三：若，则，否则， 记，否则， 记， 则，， 同理若，所以， 由①可得：． 情况四：若，同上述可得，． 综上，恒成立．（当为上的单调递增函数时，同理可证）（18分） 21．（18分）已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 【答案】(1)无 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）方法一：写出集合及其所有三元子集，逐一检验每个子集是否满足条件即可； 方法二：证明集合存在“幸福集”的必要条件为，得出结论即可； （2）方法一：先确定和各应满足的范围，然后根据范围穷举，找到所有的三元“幸福集”； 方法二：写出三元“幸福集”的一般特征，由（1）给赋值，根据一一列举即可； （3）给集合中的元素排序，利用反证法，假设集合没有“幸福集”，推出矛盾，进而证明原命题成立. 【详解】（1）方法一： 当时，，由，得或或或， 逐一比较与的大小，都不满足，所以集合无“幸福集”. 方法二： 设（，且）为集合的一个三元“幸福集”， 则，，，由，得，所以， 当时，的最小值为4，即集合中的最大元素与最小元素之差至少是4. 因为，且集合， 因此集合中至少要有5个元素（提示：集合中的元素是连续自然数），即，即. 由上述结论可知，当时，集合无“幸福集”.（6分） （2）方法一： 当时，，若存在，使得， 则，所以（当，时取等号），，则，， ①若，则，，所以或， 当时，为奇数且，故只能取7，而时，，与矛盾； 当时，为偶数且，故只能取8，而时，，与矛盾. ②若，则，，当时，无解； 当时，无解；当时，，故， 从而得到了一个集合，为. ③若，则，， 当时，无解；当时，无解；当时，，故或， 从而得到了两个集合，为，. ④若，则，，当时，，故， 从而得到了一个集合，为； 当时，，故，从而得到了三个集合，为，，. ⑤若，则，， 此时，，故，从而得到了四个集合，为，，，. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11. 方法二： 由（1）中的证明过程可知，集合的三元“幸福集”为（，且）， 当时，， ①当，时，可取4，5，6，7，则集合的三元“幸福集”为，，，； ②当，时，，则集合的三元“幸福集”为； ③当，时，可取4，5，6，则集合的三元“幸福集”为，，； ④当，时，可取4，5，则集合的三元“幸福集”为，； ⑤当，时，，则集合的三元“幸福集”为. 因此，集合的三元“幸福集”的个数为11.（6分） （3）当时，若集合中的元素个数为， 设集合且. 利用反证法，假设集合没有“幸福集”， 即对于集合中任意三个元素，均有， 则，， 记，于是， 所以, 又， 所以， 与矛盾， 所以假设不成立，从而集合必有“幸福集”.（6分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，集合，则 . 2．已知集合，，则 ． 3．若，，且，则的最小值为 ． 4．已知全集，集合，则 ． 5．不等式的解集为 ． 6．已知，则的范围是 ． 7．设，，则满足 条件 8．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ． 9．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 10．已知集合A，B，C均是集合的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合的个数为 . 11．已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是 . 12．设是一个非空集合，集合是集合的若干个子集所组成的新集合，即且，其中表示集合中元素的个数，若满足： （1），； （2）对于中的任意两个元素，，其交集； （3）对于中的任意两个元素，，其并集； 则称是集合上的一个拓扑结构．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①集合是集合上的一个拓扑结构； ②集合是集合上的一个拓扑结构； ③集合是集合上的一个拓扑结构； ④集合上仅有3个拓扑结构且分别为，，． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 14．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 15．若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 16．（2025·上海黄浦·三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知不等式的解集为． (1)求实数的取值范围； (2)若为负实数，且的最大值为，正实数，满足，证明：． 18．（14分）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 19．（14分）（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 20．（18分）（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 21．（18分）已知集合，集合，记集合中的元素个数为.若集合中存在三个元素，使得，则称集合为集合的一个“幸福集”. (1)当时，判断集合是否有“幸福集”； (2)当时，写出集合的三元“幸福集”的个数，并列举； (3)当时，若集合中的元素个数为，证明：集合必有“幸福集”. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $$