第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【解题思路】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【解答过程】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2．（5分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由充分、必要条件的判断，结合不等式求解即可判断. 【解答过程】由，可得， 可得：，也即且， 可得，可得， 若，取，显然不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（5分）（2025·河南·模拟预测）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的包含关系得到不等式即可. 【解答过程】由题意，可得，. 故选：D. 4．（5分）（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故， 故选：D. 5．（5分）（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【解答过程】当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 6．（5分）（2025·安徽蚌埠·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的基本运算即可求解. 【解答过程】因为集合， 所以，. 故选：B. 7．（5分）（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【解题思路】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【解答过程】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 8．（5分）（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论，进行求解即可. 【解答过程】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【解答过程】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 10．（6分）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 11．（6分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【解题思路】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【解答过程】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·上海金山·二模）已知集合，则 . 【解题思路】根据交集的定义求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 【解题思路】根据分式不等式解法求解即可. 【解答过程】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 14．（5分）（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 1 . 【解题思路】由基本不等式可得，，故，再结合基本不等式可得，进而可得. 【解答过程】设， 则，，，， 因为，所以,， 当且仅当时两个不等式同时取等号， 所以， 又， 当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号， 故的最大值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 16．（15分）（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【解答过程】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2）， ， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 17．（15分）（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 【解题思路】（1）将两边平方后利用基本不等式证明； （2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由得， 当且仅当时等号成立， 所以； （2）由已知，则， 则 ， 当且仅当，即一个为，一个为时等号成立. 所以的最小值. 18．（17分）（2025·全国·模拟预测）设函数 ． (1)求的解集； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）分区间讨论去掉绝对值号求解即可； （2）求出的最小值，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）当时，，恒成立，则； 当时，，，即， 解得； 当时，不成立，则． 综上，不等式的解集为． （2）令， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 即的值域为． 所以不等式恒成立，可转化为恒成立， 即，解得， 即实数的取值范围为． 19．（17分）（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【解答过程】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 2．（5分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（2025·河南·模拟预测）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 6．（5分）（2025·安徽蚌埠·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．（5分）（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 11．（6分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·上海金山·二模）已知集合，则 . 13．（5分）（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 14．（5分）（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分）（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 18．（17分）（2025·全国·模拟预测）设函数 ． (1)求的解集； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$